IB Aplicaciones e Interpretación NM · Funciones · Apartado 7 de 7

Funciones circulares: seno, coseno, amplitud, periodo y modelos periódicos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El seno y el coseno son las funciones de los fenómenos que se repiten: mareas, temperaturas a lo largo del día, la altura de una noria. Una función $f (x) = a sin (b x) + c$ se describe con tres números: la amplitud, el periodo y la altura del eje medio. Aprende a leerlos en una gráfica y a escribirlos en un modelo.

Las gráficas del seno y del coseno

Las funciones $f (x) = sin x$ y $f (x) = cos x$ están definidas para todo valor de $x$ , y sus valores siempre están entre $- 1$ y $1$ . Su dominio es $R$ y su recorrido es $[- 1, 1]$ . Los valores se repiten cada vez que $x$ avanza una vuelta completa: son periódicas.

Grados o radianes. En el IB cada pregunta indica en qué unidad está $x$ , y tu calculadora tiene que estar configurada igual. En esta página lo escribiremos siempre: en grados la vuelta completa es $36 0^{\circ}$ y en radianes es $2 π$ . Una calculadora en el modo equivocado da resultados falsos aunque tu planteamiento sea correcto.

$x$ en grados	$0$	$90$	$180$	$270$	$360$
$sin x$	$0$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$cos x$	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$1$

La gráfica del coseno es la del seno desplazada hacia la izquierda $9 0^{\circ}$ . El seno pasa por el origen; el coseno empieza en su valor máximo, $1$ , en $x = 0$ .

Amplitud, periodo y eje medio

En los modelos se usa la forma $f (x) = a sin (b x) + c o f (x) = a cos (b x) + c$

Con ellos, el máximo vale $c + ∣ a ∣$ , el mínimo $c - ∣ a ∣$ y el recorrido es $[c - ∣ a ∣, c + ∣ a ∣]$ . Si $a < 0$ , la gráfica está invertida respecto de la de $sin x$ (o $cos x$ ).

Gráfica de f(x) = 2·sen(3x) + 1 con x en grados de 0 a 360, máximos en 30 y 150 con valor 3, mínimos en 90 y 270 con valor −1, eje medio y = 1, amplitud 2 y periodo 120

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Leer los elementos de un modelo

Sea $f (x) = 3 sin x + 1$ , con $x$ en grados.

a) Escribe la amplitud.

b) Escribe el periodo, en grados.

c) Escribe la ecuación del eje medio y da su valor $y$ .

d) Escribe el valor mínimo y el valor máximo de $f$ .

Solución

Comparamos con $f (x) = a sin (b x) + c$ : aquí $a = 3$ , $b = 1$ y $c = 1$ .

a) La amplitud es $∣ a ∣ = 3$ .

b) El periodo es $\frac{360}{b} = \frac{360}{1} = 360$ grados.

c) El eje medio es $y = c$ , es decir, $y = 1$ .

d) El máximo es $c + ∣ a ∣ = 1 + 3 = 4$ y el mínimo es $c - ∣ a ∣ = 1 - 3 = - 2$ .

Respuesta: a) $3$ ; b) $36 0^{\circ}$ ; c) $y = 1$ ; d) mínimo $- 2$ y máximo $4$ .

Ejemplo 2 Medio

Profundidad del agua en un puerto

La profundidad del agua en la entrada de un puerto, en metros, $t$ horas después de la medianoche, se modeliza con $h (t) = a sin (b t) + c$ donde el argumento $b t$ se mide en grados. La profundidad máxima es $8$ m, la mínima es $2$ m y entre dos pleamares consecutivas pasan $12$ horas.

a) Halla $a$ , $b$ y $c$ , con $a > 0$ .

b) Halla la profundidad a las $t = 1$ horas.

Solución

a) La amplitud y el eje medio salen del máximo $M = 8$ y el mínimo $m = 2$ : $a = \frac{8 - 2}{2} = 3 c = \frac{8 + 2}{2} = 5$ El periodo es $12$ horas, así que $b = \frac{360}{12} = 30$ El modelo es $h (t) = 3 sin (30 t) + 5$ .

b) Sustituimos $t = 1$ , con la calculadora en grados: $h (1) = 3 sin (3 0^{\circ}) + 5 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 5 = 6, 5$

Respuesta: $a = 3$ , $b = 30$ , $c = 5$ ; a la una de la madrugada la profundidad es de $6, 5$ m.

Ejemplo 3 Difícil

La noria

El punto más bajo de una noria está a $2$ m del suelo y su radio es de $10$ m. Una vuelta completa tarda $8$ minutos. Una persona sube en el punto más bajo en el instante $t = 0$ . Su altura sobre el suelo, en metros, $t$ minutos después, se modeliza con $h (t) = - 10 cos (\frac{π t}{4}) + 12$ donde el argumento está en radianes.

a) Comprueba que el periodo es $8$ y halla la altura máxima.

b) Halla la altura a los $2$ minutos.

c) Halla la altura a $1$ minuto. Redondea a dos cifras decimales.

d) Halla los instantes de la primera vuelta ( $0 \leq t \leq 8$ ) en los que la persona está a $17$ m del suelo.

Solución

a) Aquí $b = \frac{π}{4}$ y el periodo es $\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{π /4} = 8$ minutos. El eje medio es $c = 12$ y la amplitud es $10$ , así que la altura máxima es $12 + 10 = 22$ m.

b) $h (2) = - 10 cos (\frac{π}{2}) + 12 = - 10 \cdot 0 + 12 = 12$ . A los $2$ minutos está a $12$ m del suelo, la altura del centro.

c) $h (1) = - 10 cos (\frac{π}{4}) + 12 = - 10 \cdot \frac{2}{2} + 12 \approx 4, 93$ m, con la calculadora en radianes.

d) Resolvemos $h (t) = 17$ : $- 10 cos (\frac{π t}{4}) + 12 = 17 \Rightarrow cos (\frac{π t}{4}) = - \frac{1}{2}$ En $0 \leq \frac{π t}{4} \leq 2 π$ las soluciones del coseno son $\frac{2 π}{3}$ y $\frac{4 π}{3}$ . Entonces $t = \frac{4}{π} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{8}{3} t = \frac{4}{π} \cdot \frac{4 π}{3} = \frac{16}{3}$ Esto es $t \approx 2, 67$ y $t \approx 5, 33$ minutos. Con la CPG se obtiene lo mismo hallando los cortes de la gráfica con la recta $y = 17$ .

En el examen: la calculadora tiene que estar en radianes, porque el argumento lo da en radianes. Cuando pide los instantes de una vuelta, hay dos soluciones; dar solo una pierde puntos.

Errores típicos

Resumen

$sin x$ y $cos x$ son periódicas y toman valores entre $- 1$ y $1$ .
En $f (x) = a sin (b x) + c$ : amplitud $∣ a ∣$ , eje medio $y = c$ y periodo $360/ b$ (grados) o $2 π / b$ (radianes).
Máximo $c + ∣ a ∣$ y mínimo $c - ∣ a ∣$ ; con ellos se hallan $a = \frac{M - m}{2}$ y $c = \frac{M + m}{2}$ .
Mira siempre si el enunciado da el ángulo en grados o en radianes y configura la calculadora en consecuencia.
Las ecuaciones $f (x) = valor$ tienen varias soluciones por ciclo: usa la gráfica con la CPG para no perder ninguna.

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