Funciones lineales y modelos lineales

Pendiente y ordenada en el origen

La pendiente mide la inclinación de una recta. Si $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son dos puntos de la recta, la pendiente es

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Una pendiente positiva indica una recta creciente, una negativa, una decreciente, y $m=0$ da una recta horizontal. Una recta vertical no tiene pendiente y no es la gráfica de una función. La ordenada en el origen es el valor de $y$ cuando $x=0$, es decir, el punto donde la recta corta el eje $y$.

Formas de escribir la ecuación de una recta

Para pasar de una forma a otra basta con despejar. Por ejemplo, la recta de pendiente $-3$ que pasa por $(1,4)$ es $y-4=-3(x-1)$, es decir, $y=-3x+7$. En forma general es $3x+y-7=0$. Si te piden la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, calcula primero $m$ y después sustituye uno de los puntos en $y-y_1=m(x-x_1)$.

Rectas paralelas y perpendiculares

Las paralelas tienen la misma inclinación, y por eso nunca se cortan. Las perpendiculares forman un ángulo recto: la pendiente de una es la inversa de la otra con el signo cambiado. Si $m_1=\frac{2}{5}$, una perpendicular tiene $m_2=-\frac{5}{2}$.

Funciones a trozos

A veces una situación sigue una regla en un intervalo y otra distinta en el siguiente. Se describe con una función a trozos, que lleva una fórmula por cada intervalo. Un aparcamiento puede cobrar $1,50$ € por hora durante las cuatro primeras horas y $3$ € por cada hora a partir de entonces:

$$C(t)=\{\begin{array}{ll}1,5t& \text{si }0\le t\le 4\\ 6+3(t-4)& \text{si }t>4\end{array}$$

Para calcular $C(5)$ se elige el trozo al que pertenece $t=5$: $C(5)=6+3\cdot 1=9$ €. Para dibujarla, representa cada fórmula solo en su intervalo. En la CPG se hace introduciendo cada fórmula con su intervalo de $x$.

Modelos lineales

Un modelo lineal es una función $f(x)=mx+c$ que describe una situación real. Se resuelve en tres pasos: traducir el enunciado a una función, resolver con matemáticas e interpretar el resultado en el contexto. En el modelo:

• $m$ es la tasa de cambio: lo que aumenta (si $m>0$) o disminuye (si $m<0$) la variable dependiente por cada unidad de la independiente. Hay que dar su unidad, por ejemplo «euros por kilo».
• $c$ es el valor inicial: lo que vale la variable cuando $x=0$, como una cuota fija.

Si $c=0$, la relación es de proporcionalidad directa y $m=\frac{y}{x}$ es la constante de proporcionalidad.

Punto de intersección de dos rectas

Dos modelos se igualan donde sus gráficas se cortan. Para hallar ese punto, iguala las dos expresiones y resuelve para $x$, o dibuja las dos rectas con la CPG y halla el punto de corte. Después sustituye $x$ en cualquiera de las dos funciones para obtener la coordenada $y$. En un contexto de oferta y demanda, ese punto es el equilibrio del mercado: el precio al que lo que se quiere comprar coincide con lo que se quiere vender.