Funciones: dominio, recorrido y características de su gráfica

Función, dominio y recorrido

Una función $f$ es una regla que a cada número $x$ de un conjunto le hace corresponder un único número $y=f(x)$. La variable $x$ es la variable independiente (la que eliges) y $y$ es la variable dependiente (la que resulta). Si $f(x)=3x-2$, entonces $f(4)=10$: el número $10$ es la imagen de $4$.

El dominio depende de la fórmula y también del contexto. En $f(x)=\frac{10}{x-4}$ no puedes dividir entre cero, así que $x\ne 4$. En un modelo de coste, $x$ puede ser el número de unidades vendidas y solo tiene sentido con $x\ge 0$. Un enunciado también puede limitarlo de forma explícita, como en $0\le x\le 8$.

Intervalos

Para escribir dominios y recorridos se usan intervalos. Un extremo incluido se marca con corchete hacia dentro y uno excluido con corchete hacia fuera; el infinito nunca se incluye.

Para unir dos intervalos se usa $\cup$. Por ejemplo, $x\ne 4$ se escribe $]-\infty ,4[\cup ]4,\infty [$. El conjunto de todos los reales es $\mathbb{R}$.

Gráfica de una función

La gráfica de $f$ es el conjunto de puntos $(x,f(x))$ de un plano con ejes. Para dibujarla a mano, haz una tabla de valores, sitúa los puntos y únelos con una línea. En el examen lo normal es obtenerla con la CPG.

Para leer el dominio en una gráfica, mira qué valores de $x$ cubre la curva de izquierda a derecha. Para leer el recorrido, mira qué alturas $y$ alcanza de abajo arriba. Si el extremo es un punto relleno, se incluye; si es un punto hueco, no.

Cortes con los ejes y signo

El corte con el eje $y$ es el punto $(0,f(0))$. Como mucho hay uno, porque $x=0$ da un único valor.

Los cortes con el eje $x$ son los puntos donde $f(x)=0$. Sus abscisas se llaman ceros de la función o raíces de la ecuación $f(x)=0$. Puede haber ninguno, uno o varios.

El signo de una función dice dónde $f(x)>0$ (la gráfica está por encima del eje $x$) y dónde $f(x)<0$ (por debajo). Los ceros separan esas zonas.

Crecimiento, máximos y mínimos

Una función es creciente en un intervalo si, al avanzar hacia la derecha, la gráfica sube; es decreciente si baja. Estos intervalos se dan siempre en valores de $x$.

Un máximo local es un punto más alto que todos los de su alrededor; un mínimo local es uno más bajo que todos los de su alrededor. Se da con sus dos coordenadas. El mayor valor de $y$ de toda la gráfica es el máximo absoluto (si existe), y el menor, el mínimo absoluto.

Simetría: funciones pares e impares

Una función es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ del dominio: su gráfica es simétrica respecto del eje $y$ (como $x^2$ o $x^4$). Es impar si $f(-x)=-f(x)$: su gráfica es simétrica respecto del origen (como $x$ o $x^3$). Para comprobarlo, sustituye $x$ por $-x$ y simplifica. Muchas funciones no son ni pares ni impares.

Asíntotas, una primera idea

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca cada vez más sin llegar a tocarla. La función $f(x)=\frac{10}{x-4}$ tiene una asíntota vertical en $x=4$, porque cuando $x$ se acerca a $4$ el valor $|f(x)|$ crece sin límite, y una asíntota horizontal en $y=0$, porque para $x$ muy grande $f(x)$ se acerca a $0$. Las asíntotas limitan el dominio o el recorrido: aquí el recorrido no incluye al $0$. Las verás con detalle en el apartado de potencias enteras.