IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 2

107 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Término general y propiedades de las progresiones

Ejercicio 1 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

a) El primer término de una progresión aritmética es $- 16$ y el término undécimo es 39.

Calcule el valor de la diferencia común de la progresión.

b) El tercer término de una progresión geométrica es 12 y el quinto término es $\frac{16}{3}$ .

Todos los términos de la progresión son positivos. Calcule el valor de la razón común de la progresión.

Ver solución

a) Progresión aritmética con $u_{1} = - 16$ y $u_{11} = 39$ .

$u_{11} = u_{1} + 10 d$ , es decir, $39 = - 16 + 10 d$ .
$10 d = 55$ , luego $d = 5, 5$ .

b) Progresión geométrica con $u_{3} = 12$ y $u_{5} = \frac{16}{3}$ .

$u_{5} = u_{3} r^{2}$ , ya que hay dos pasos entre el tercer y el quinto término.
$\frac{16}{3} = 12 r^{2}$ , luego $r^{2} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ .
Así $r = \pm \frac{2}{3}$ ; como todos los términos son positivos, $r > 0$ y $r = \frac{2}{3}$ .

Resultado: a) $d = 5, 5$ ; b) $r = \frac{2}{3}$

Ejercicio 2 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2015

Solo una de las siguientes cuatro progresiones es aritmética y solo una de ellas es geométrica.

$a_{n} = 1; 2; 3; 5; \dots$

$b_{n} = 1; \frac{3}{2}; \frac{9}{4}; \frac{27}{8}; \dots$

$c_{n} = 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \dots$

$d_{n} = 1; 0, 95; 0, 90; 0, 85; \dots$

a) Indique qué progresión es

(i) aritmética;

(ii) geométrica.

b) Para otra progresión geométrica $e_{n} = - 6; - 3; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4}; \dots$

(i) escriba la razón;

(ii) encuentre el valor exacto del décimo término.

Dé su respuesta en forma de fracción.

Ver solución

a) Una progresión es aritmética si la diferencia entre términos consecutivos es constante, y geométrica si el cociente entre términos consecutivos es constante.

$a_{n}$ : $2 - 1 = 1$ y $3 - 2 = 1$ , pero $5 - 3 = 2$ . No es aritmética. Cocientes: $2, 1, 5, 1, 67$ , tampoco geométrica.
$b_{n}$ : $\frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$ , $\frac{9/4}{3/2} = \frac{3}{2}$ , $\frac{27/8}{9/4} = \frac{3}{2}$ . Cociente constante: geométrica.
$c_{n}$ : diferencias $- \frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{6}$ , no constantes; cocientes $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ , no constantes. Ninguna de las dos.
$d_{n}$ : $0, 95 - 1 = - 0, 05$ , $0, 90 - 0, 95 = - 0, 05$ , $0, 85 - 0, 90 = - 0, 05$ . Diferencia constante: aritmética.

(i) aritmética: $d_{n}$ . (ii) geométrica: $b_{n}$ .

(i) Razón: $r = \frac{- 3}{- 6} = \frac{1}{2}$ . Comprobación: $\frac{- 3/2}{- 3} = \frac{1}{2}$ .
(ii) Término general $e_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ , con $u_{1} = - 6$ : $e_{10} = - 6 (\frac{1}{2})^{9} = - \frac{6}{512} = - \frac{3}{256}$

Resultado: a) (i) $d_{n}$ ; (ii) $b_{n}$ . b) (i) $r = \frac{1}{2}$ ; (ii) $e_{10} = - \frac{3}{256}$ .

Ejercicio 3 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

La siguiente tabla muestra los cinco primeros términos de tres progresiones: $u_{n}$ , $v_{n}$ , y $w_{n}$ .

$n$	1	2	3	4	5
$u_{n}$	10	20	40	80	160
$v_{n}$	10	20	30	60	100
$w_{n}$	10	20	30	40	50

a) Indique cuál de estas progresiones es

(i) aritmética;

(ii) geométrica.

b) Halle el valor exacto del 11.º término de la progresión geométrica.

c) Halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética.

Ver solución

$u_{n}$ : cocientes $\frac{20}{10} = \frac{40}{20} = \frac{80}{40} = \frac{160}{80} = 2$ . Es geométrica con $r = 2$ .
$v_{n}$ : diferencias $10, 10, 30, 40$ y cocientes $2, 1, 5, 2$ ; no es ninguna de las dos.
$w_{n}$ : diferencias todas iguales a $10$ . Es aritmética con $d = 10$ .

(i) aritmética: $w_{n}$ . (ii) geométrica: $u_{n}$ .

b) Con $u_{1} = 10$ y $r = 2$ : $u_{n} = 10 \cdot 2^{n - 1}$ , luego $u_{11} = 10 \cdot 2^{10} = 10 \cdot 1024 = 10240$

c) Con $w_{1} = 10$ y $d = 10$ usamos $S_{n} = \frac{n}{2} (2 w_{1} + (n - 1) d)$ : $S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 10 + 19 \cdot 10) = 10 \cdot 210 = 2100$

Resultado: a) (i) $w_{n}$ ; (ii) $u_{n}$ . b) $u_{11} = 10240$ . c) $S_{20} = 2100$ .

Ejercicio 4 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2014

Considere la progresión $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots\dots, u_{n}, \dots\dots$ donde $u_{1} = 600, u_{2} = 617, u_{3} = 634, u_{4} = 651$ .

La progresión continúa de la misma manera.

a) Encuentre el valor de $u_{20}$ .

b) Encuentre la suma de los primeros 10 términos de la progresión.

Ahora considere la progresión $v_{1}, v_{2}, v_{3}, \dots\dots, v_{n}, \dots\dots$ donde $v_{1} = 3, v_{2} = 6, v_{3} = 12, v_{4} = 24$

Esta progresión continúa de la misma manera.

c) Encuentre el valor exacto de $v_{10}$ .

d) Encuentre la suma de los primeros 8 términos de esta progresión.

$k$ es el valor más pequeño de $n$ para el cual $v_{n}$ es mayor que $u_{n}$

e) Calcule el valor de $k$ .

Ver solución

Primera progresión: las diferencias son $617 - 600 = 17$ , $634 - 617 = 17$ , $651 - 634 = 17$ ; es aritmética con $u_{1} = 600$ y $d = 17$ .

a) $u_{20} = u_{1} + 19 d = 600 + 19 \cdot 17 = 600 + 323 = 923$ .

b) $S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 600 + 9 \cdot 17) = 5 (1200 + 153) = 5 \cdot 1353 = 6765$ .

Segunda progresión: los cocientes son $\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{24}{12} = 2$ ; es geométrica con $v_{1} = 3$ y $r = 2$ .

c) $v_{10} = 3 \cdot 2^{9} = 3 \cdot 512 = 1536$ .

d) $S_{8} = \frac{3 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765$ .

Buscamos el menor $n$ con $v_{n} > u_{n}$ , es decir $3 \cdot 2^{n - 1} > 600 + 17 (n - 1)$ . Se puede resolver con la CPG comparando las dos sucesiones en una tabla.
$n = 8$ : $v_{8} = 3 \cdot 128 = 384$ y $u_{8} = 600 + 7 \cdot 17 = 719$ . Todavía $v_{8} < u_{8}$ .
$n = 9$ : $v_{9} = 3 \cdot 256 = 768$ y $u_{9} = 600 + 8 \cdot 17 = 736$ . Ya $v_{9} > u_{9}$ .
Como $v_{n}$ crece más rápido y antes no se cumple, $k = 9$ .

Resultado: a) $u_{20} = 923$ . b) $S_{10} = 6765$ . c) $v_{10} = 1536$ . d) $S_{8} = 765$ . e) $k = 9$ .

Ejercicio 5 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2008

El primer término de una progresión aritmética es 0 y la diferencia común es 12.

a) Encuentre el valor del término 96 de la progresión.

El primer término de una progresión geométrica es 6. El sexto término de la progresión geométrica es igual al 17.º término de la progresión aritmética dada arriba.

b) Escriba una ecuación usando esta información.

c) Calcule la razón común de la progresión geométrica.

Ver solución

a) 1. $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ con $u_{1} = 0$ y $d = 12$ . 2. $u_{96} = 0 + 95 \cdot 12 = 1140$ .

Resultado a): $u_{96} = 1140$ .

b) 1. El término 17 de la progresión aritmética es $u_{17} = 16 \cdot 12 = 192$ . 2. En la progresión geométrica $v_{n} = v_{1} r^{n - 1}$ , con $v_{1} = 6$ , el sexto término es $6 r^{5}$ . 3. Igualando: $6 r^{5} = 192$ .

Resultado b): $6 r^{5} = 192$ .

c) 1. Despejamos: $r^{5} = \frac{192}{6} = 32$ . 2. $r = 532 = 2$ (porque $2^{5} = 32$ ).

Resultado c): $r = 2$ .

Resultado: $u_{96} = 1140$ ; ecuación $6 r^{5} = 192$ ; $r = 2$ .

Ejercicio 6 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2015

El segundo término de una progresión aritmética es 30. El quinto término es 90.

a) Calcule

(i) la diferencia común de la progresión;

(ii) el primer término de la progresión.

El primero, segundo y quinto términos de esta progresión aritmética son los primeros tres términos de una progresión geométrica.

b) Calcule el séptimo término de la progresión geométrica.

Ver solución

a) Con $u_{2} = u_{1} + d = 30$ y $u_{5} = u_{1} + 4 d = 90$ :

Restamos: $3 d = 60$ , luego $d = 20$ .
$u_{1} = 30 - 20 = 10$ .

Resultado a): (i) $d = 20$ ; (ii) $u_{1} = 10$ .

b) 1. Los tres primeros términos de la progresión geométrica son $10, 30, 90$ . 2. Razón: $r = \frac{30}{10} = 3$ (y $\frac{90}{30} = 3$ , coherente). 3. Séptimo término: $v_{7} = 10 \cdot 3^{6} = 10 \cdot 729 = 7290$ .

Resultado b): $v_{7} = 7290$ .

Resultado: $d = 20$ ; $u_{1} = 10$ ; $v_{7} = 7290$ .

Ejercicio 7 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2003

Ana y Juan van a nadar a la piscina.

Ambos hacen el primer largo de la piscina en 2 minutos.

Por cada largo que Juan nada, tarda 6 segundos más que el anterior.

Por cada largo que Ana nada, tarda 1,05 veces el tiempo que tardó en hacer el anterior.

a) (i) Calcule el tiempo que tarda Juan en hacer el tercer largo.

(ii) Compruebe que Ana tarda 2,205 minutos en hacer el tercer largo.

b) Calcule el tiempo que tarda Ana en hacer un total de 10 largos de piscina.

Ver solución

a) (i) Los tiempos de Juan forman una progresión aritmética con $u_{1} = 2$ min y $d = 6$ s $= 0, 1$ min.

$u_{3} = 2 + 2 \cdot 0, 1 = 2, 2$ min.
$2, 2$ min son $2$ min y $12$ s.

(ii) Los tiempos de Ana forman una progresión geométrica con $u_{1} = 2$ y $r = 1, 05$ .

$u_{3} = 2 \cdot 1, 0 5^{2} = 2 \cdot 1, 1025 = 2, 205$ min.

Queda demostrado.

Resultado a): (i) Juan tarda $2$ min $12$ s en el tercer largo; (ii) Ana tarda $2, 205$ min.

b) 1. Suma geométrica: $S_{10} = \frac{2 ( 1 , 0 5 ^{10} - 1 )}{1 , 05 - 1}$ . 2. $S_{10} = \frac{2 \cdot 0 , 628895}{0 , 05} \approx 25, 16$ min.

Resultado b): Ana tarda aproximadamente $25, 2$ minutos.

Resultado: Juan: 2 min 12 s; Ana: 2,205 min; total de Ana $\approx 25, 2$ min.

Ejercicio 8 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2012

Parte A

El Anfiteatro Green Park fue construido en forma de herradura y tiene 20 filas.

El número de asientos en cada fila aumenta en una cantidad fija, $d$ , en comparación con el número de asientos en la fila anterior. El número de asientos en la sexta fila, $u_{6}$ , es 100, y el número de asientos en la décima fila, $u_{10}$ , es 124.

$u_{1}$ representa el número de asientos en la primera fila.

a) (i) Escriba una ecuación para $u_{6}$ en función de $d$ y $u_{1}$ .

(ii) Escriba una ecuación para $u_{10}$ en función de $d$ y $u_{1}$ .

b) Escriba el valor de

(i) $d$ ;

(ii) $u_{1}$ .

c) Encuentre el número total de asientos en el anfiteatro.

Unos años más tarde, se agregó un segundo nivel para aumentar la capacidad del anfiteatro en otros 1600 asientos. Cada fila tiene cuatro asientos más que la fila anterior.

La primera fila en este nivel tiene 70 asientos.

d) Encuentre el número de filas en el segundo nivel del anfiteatro.

Parte B

Frank está en el anfiteatro y recibe un mensaje de texto a las 12:00. Cinco minutos después reenvía el mensaje de texto a tres personas. Cinco minutos después, esas tres personas reenvían el mensaje de texto a tres personas nuevas. Suponga que este patrón continúa y cada vez se envía el mensaje de texto a personas que no lo han recibido antes.

El número de personas nuevas que reciben el mensaje de texto forma una progresión geométrica.

$1, 3, \dots$

a) Escriba los siguientes dos términos de esta progresión geométrica.

b) Escriba la razón común de esta progresión geométrica.

c) Calcule el número de personas que recibirán el mensaje de texto a las 12:30.

d) Calcule el número total de personas que habrán recibido el mensaje de texto a las 12:30.

e) Calcule la hora exacta en la que un total de 29524 personas habrán recibido el mensaje de texto.

Ver solución

Parte A

a) El término general es $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

(i) $u_{6} = u_{1} + 5 d$ , y vale $100$ : $u_{1} + 5 d = 100$ .

(ii) $u_{10} = u_{1} + 9 d$ , y vale $124$ : $u_{1} + 9 d = 124$ .

b) Restamos las dos ecuaciones: $(u_{1} + 9 d) - (u_{1} + 5 d) = 124 - 100$ , es decir, $4 d = 24$ .

(i) $d = 6$ .

(ii) De $u_{1} + 5 \cdot 6 = 100$ se obtiene $u_{1} = 70$ .

c) Hay 20 filas. Usamos $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ :

$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 70 + 19 \cdot 6) = 10 (140 + 114) = 10 \cdot 254 = 2540$ .

El anfiteatro tiene $2540$ asientos.

d) En el segundo nivel $u_{1} = 70$ , $d = 4$ y la suma debe ser $1600$ :

$\frac{n}{2} (2 \cdot 70 + (n - 1) \cdot 4) = 1600$
$n (70 + 2 (n - 1)) = 1600 \Rightarrow n (2 n + 68) = 1600 \Rightarrow 2 n^{2} + 68 n - 1600 = 0 \Rightarrow n^{2} + 34 n - 800 = 0$ .
Factorizando, $(n - 16) (n + 50) = 0$ , luego $n = 16$ (la solución $n = - 50$ no es válida).

El segundo nivel tiene $16$ filas.

Parte B

a) Cada término se obtiene multiplicando por 3: $1, 3, 9, 27, \dots$ Los dos siguientes son $9$ y $27$ .

b) $r = \frac{3}{1} = 3$ .

c) Los mensajes se envían cada 5 minutos: a las 12:00 corresponde el término 1, a las 12:05 el término 2, etc. Las 12:30 son $30/5 = 6$ intervalos después, es decir, el término $n = 7$ :

$u_{7} = 1 \cdot 3^{6} = 729$ .

d) Total hasta las 12:30 = suma de los 7 primeros términos:

$S_{7} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{7} - 1 )}{3 - 1} = \frac{2187 - 1}{2} = 1093$ .

e) Buscamos $n$ con $S_{n} = \frac{3 ^{n} - 1}{2} = 29524$ :

$3^{n} - 1 = 59048 \Rightarrow 3^{n} = 59049$ .
Como $59049 = 3^{10}$ , $n = 10$ .
El término 10 corresponde a $9$ intervalos de 5 minutos después de las 12:00, es decir, $45$ minutos: las 12:45.

Resultado: A: a) (i) $u_{1} + 5 d = 100$ ; (ii) $u_{1} + 9 d = 124$ ; b) $d = 6$ , $u_{1} = 70$ ; c) $2540$ asientos; d) $16$ filas. B: a) $9, 27$ ; b) $r = 3$ ; c) $729$ personas; d) $1093$ personas; e) a las $12 : 45$ .

Ejercicio 9 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2011

Parte A

Una progresión geométrica tiene 1024 como primer término y 128 como cuarto término.

a) Demuestre que la razón común es $\frac{1}{2}$ .

b) Encuentre el valor del undécimo término.

c) Encuentre la suma de los primeros ocho términos.

d) Encuentre el número de términos en la progresión para los cuales la suma de los primeros términos excede 2047,968.

Parte B

Considere la progresión aritmética $1, 4, 7, 10, 13, \dots$

a) Encuentre el valor del undécimo término.

b) La suma de los primeros $n$ términos de esta progresión es $\frac{n}{2} (3 n - 1)$ .

(i) Encuentre la suma de los primeros 100 términos en esta progresión aritmética.

(ii) La suma de los primeros $n$ términos es 477.

a) Muestre que $3 n^{2} - n - 954 = 0$ .

b) Usando su calculadora de pantalla gráfica o de otra manera, encuentre el número de términos, $n$ .

Ver solución

Parte A

a) $u_{4} = u_{1} r^{3}$ , luego $128 = 1024 r^{3}$ y $r^{3} = \frac{128}{1024} = \frac{1}{8}$ . Por tanto $r = 3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ . Queda demostrado.

b) $u_{11} = 1024 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1024}{1024} = 1$ .

c) $S_{8} = \frac{1024 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{8} )}{1 - \frac{1}{2}} = 2048 (1 - \frac{1}{256}) = 2048 - 8 = 2040$ .

d) $S_{n} = 2048 (1 - (\frac{1}{2})^{n}) > 2047, 968$ :

$2048 (\frac{1}{2})^{n} < 2048 - 2047, 968 = 0, 032$ .
$(\frac{1}{2})^{n} < \frac{0 , 032}{2048} = \frac{1}{64 000}$ , es decir, $2^{n} > 64000$ .
Como $2^{15} = 32768 < 64000$ y $2^{16} = 65536 > 64000$ , el menor $n$ es $16$ (se comprueba también con una tabla de la CPG).

El número de términos es $16$ .

Parte B

a) $d = 3$ y $u_{1} = 1$ : $u_{11} = 1 + 10 \cdot 3 = 31$ .

b) (i) $S_{100} = \frac{100}{2} (3 \cdot 100 - 1) = 50 \cdot 299 = 14950$ .

(ii) (a) Igualamos $\frac{n}{2} (3 n - 1) = 477$ :

$n (3 n - 1) = 954$
$3 n^{2} - n = 954$
$3 n^{2} - n - 954 = 0$ . Queda demostrado.

b) Resolvemos la ecuación con la CPG (o con la fórmula): $n = \frac{1 \pm 1 + 4 \cdot 3 \cdot 954}{6} = \frac{1 \pm 107}{6}$ , que da $n = 18$ o $n = - \frac{53}{3}$ . Como $n$ debe ser un entero positivo, $n = 18$ .

Resultado: A: b) $u_{11} = 1$ ; c) $S_{8} = 2040$ ; d) $16$ términos. B: a) $31$ ; b) (i) $14950$ ; (ii) $n = 18$ .

Ejercicio 10 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2019

El primer día que está en el hospital, a Kiri le dan $u_{1}$ miligramos (mg) de un medicamento determinado.

La cantidad de medicamento que le dan a Kiri va aumentando cada día, siempre en la misma cantidad ( $d$ ). El séptimo día le dan 21 mg de medicamento y el undécimo día le dan 29 mg.

a) Escriba una ecuación, en función de $u_{1}$ y $d$ , que represente la cantidad de medicamento que le dan

(i) el séptimo día;

(ii) el undécimo día.

b) Escriba el valor de $d$ y el valor de $u_{1}$ .

Kiri toma este medicamento durante 30 días.

c) Calcule la cantidad total del medicamento (en mg) que habrá tomado.

Ted también está ingresado en el hospital y el primer día le ponen una inyección de 20 mg de antibiótico. La cantidad de antibiótico que le dan a Ted va disminuyendo un 50 % cada día.

Es decir, el segundo día a Ted le ponen una inyección de 10 mg de antibiótico, el tercer día le ponen 5 mg, y así sucesivamente.

d) (i) Halle la cantidad de antibiótico (en mg) que le ponen a Ted el quinto día.

(ii) La cantidad diaria de antibiótico que le ponen a Ted será por primera vez inferior a 0,06 mg el $k$ .º día. Halle el valor de $k$ .

(iii) A partir de lo anterior, halle la cantidad total de antibiótico (en mg) que le habrán dado a Ted durante esos $k$ primeros días.

Ver solución

a) Los aumentos diarios son constantes, así que $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

(i) Séptimo día: $u_{1} + 6 d = 21$ .

(ii) Undécimo día: $u_{1} + 10 d = 29$ .

Resultado a): $u_{1} + 6 d = 21$ y $u_{1} + 10 d = 29$ .

b) 1. Restamos las dos ecuaciones: $4 d = 8$ , luego $d = 2$ . 2. $u_{1} + 12 = 21$ , por lo que $u_{1} = 9$ .

Resultado b): $d = 2$ mg; $u_{1} = 9$ mg.

c) 1. $S_{30} = \frac{30}{2} (2 \cdot 9 + 29 \cdot 2)$ . 2. $S_{30} = 15 (18 + 58) = 15 \cdot 76 = 1140$ mg.

Resultado c): $1140$ mg.

d) Las dosis de Ted forman una progresión geométrica con $v_{1} = 20$ y $r = 0, 5$ .

(i) $v_{5} = 20 \cdot 0, 5^{4} = 20 \cdot 0, 0625 = 1, 25$ mg.

(ii) 1. Imponemos $20 \cdot 0, 5^{k - 1} < 0, 06$ , es decir, $0, 5^{k - 1} < 0, 003$ . 2. Con la CPG (tabla de valores o resolviendo la desigualdad) o con logaritmos: $k - 1 > \frac{ln 0 , 003}{ln 0 , 5} \approx 8, 38$ . 3. El menor entero es $k - 1 = 9$ , luego $k = 10$ . Comprobación: $v_{9} = 0, 078 > 0, 06$ y $v_{10} = 0, 039 < 0, 06$ .

(iii) 1. $S_{10} = \frac{20 ( 1 - 0 , 5 ^{10} )}{1 - 0 , 5} = 40 (1 - \frac{1}{1024})$ . 2. $S_{10} \approx 39, 96 \approx 40, 0$ mg.

Resultado d): (i) $1, 25$ mg; (ii) $k = 10$ (décimo día); (iii) $\approx 40, 0$ mg.

Resultado: $d = 2$ , $u_{1} = 9$ ; Kiri toma $1140$ mg; Ted: $1, 25$ mg el quinto día, $k = 10$ y $\approx 40, 0$ mg en total.

Ejercicio 11 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2016

Prachi está de vacaciones en Estados Unidos. Está visitando el Gran Cañón.

Cuando llega a la parte más alta del cañón deja caer una moneda por un precipicio.

La moneda, en su caída, recorre una distancia de 5 metros en el primer segundo, de 15 metros en el siguiente segundo, de 25 metros en el tercer segundo y sigue cayendo de esta manera.

Estas distancias que la moneda va recorriendo en cada segundo forman una progresión aritmética.

a) (i) Escriba la diferencia común, $d$ , de esta progresión aritmética.

(ii) Escriba la distancia que recorre la moneda en el cuarto segundo.

b) Calcule la distancia que recorre la moneda en el segundo número 15.

c) Calcule la distancia total que recorre la moneda en los 15 primeros segundos de caída.

Dé la respuesta en kilómetros.

Prachi deja caer la moneda desde una altura de 1800 metros sobre el suelo.

d) Calcule el tiempo, redondeando al número entero de segundos más próximo, que tardará la moneda en llegar al suelo.

Prachi acude a una oficina de turismo cercana. Se inauguró a principios de 2015 y en el primer año tuvo ya 17000 visitantes. Se espera que el número de personas que acuden a esta oficina de turismo vaya aumentando un 10 % cada año.

e) Calcule cuántas personas se espera que acudan a la oficina de turismo en 2016.

f) Calcule el número total de personas que se espera que hayan acudido a la oficina durante los 10 primeros años tras su inauguración.

Ver solución

Las distancias $5, 15, 25, \dots$ forman una progresión aritmética con $u_{1} = 5$ .

(i) La diferencia común es la resta de dos términos consecutivos: $d = 15 - 5 = 10$ m.
(ii) Cuarto segundo: $u_{4} = u_{3} + d = 25 + 10 = 35$ m.

Fórmula del término general: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Para $n = 15$ : $u_{15} = 5 + 14 \cdot 10 = 145$ m.

Suma de los $n$ primeros términos: $S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ .
$S_{15} = \frac{15}{2} (5 + 145) = 1125$ m.
Pasamos a kilómetros dividiendo entre 1000: $1, 125$ km $\approx 1, 13$ km.

La suma en forma general es $S_{n} = \frac{n}{2} [2 \cdot 5 + (n - 1) \cdot 10] = 5 n^{2}$ .
Imponemos $S_{n} = 1800$ : $5 n^{2} = 1800 \Rightarrow n^{2} = 360 \Rightarrow n \approx 18, 97$ .
Redondeando al entero más próximo: $n = 19$ segundos.

e) Cada año el número de visitantes se multiplica por $1, 10$ (progresión geométrica con $v_{1} = 17000$ en 2015).

Para 2016: $v_{2} = 17000 \cdot 1, 1 = 18700$ personas.

Suma de los $n$ primeros términos de una geométrica: $S_{n} = \frac{v _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ , con $r = 1, 1$ .
$S_{10} = \frac{17000 ( 1 , 1 ^{10} - 1 )}{0 , 1} \approx 270936$ .

Resultado: a) (i) $d = 10$ m; (ii) 35 m. b) 145 m. c) $1, 125$ km ( $\approx 1, 13$ km). d) 19 s. e) 18 700 personas. f) $\approx 270936$ personas ( $\approx 271000$ ).

Ejercicio 12 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2013

El lunes Paco va a entrenar a una pista de atletismo. La primera vuelta a la pista la corre en 120 segundos.

A partir de ahí, cada vuelta que corre Paco tarda 10 segundos más que en la vuelta anterior.

a) Halle el tiempo, en segundos, que tarda Paco en correr la quinta vuelta.

Paco tarda 260 segundos en correr la última vuelta.

b) Halle cuántas vueltas ha corrido Paco el lunes.

c) Halle el tiempo total, en minutos, que ha estado corriendo Paco el lunes.

El miércoles Paco lleva a Lola al entrenamiento. Ambos corren la primera vuelta a la pista en 120 segundos. Cada vuelta que corre Lola tarda 1,06 veces del tiempo que tardó en la vuelta anterior.

d) Halle el tiempo, en segundos, que tarda Lola en correr la tercera vuelta.

e) Halle el tiempo total, en segundos, que tarda Lola en correr las cuatro primeras vueltas.

Como antes, cada vuelta que corre Paco tarda 10 segundos más de lo que tardó en la vuelta anterior. Al cabo de un determinado número de vueltas, Paco corre cada vuelta en menos tiempo que Lola.

f) Halle a partir de qué vuelta sucede esto.

Ver solución

a) Los tiempos de Paco forman una progresión aritmética con $u_{1} = 120$ y $d = 10$ .

$u_{5} = 120 + 4 \cdot 10 = 160$ s.

Imponemos $u_{n} = 260$ : $120 + (n - 1) \cdot 10 = 260$ .
$(n - 1) \cdot 10 = 140 \Rightarrow n - 1 = 14 \Rightarrow n = 15$ vueltas.

Suma de la aritmética: $S_{15} = \frac{15}{2} (120 + 260) = 2850$ s.
En minutos: $2850/60 = 47, 5$ min.

d) Los tiempos de Lola forman una progresión geométrica con $v_{1} = 120$ y $r = 1, 06$ .

$v_{n} = v_{1} r^{n - 1}$ .
$v_{3} = 120 \cdot 1, 0 6^{2} = 134, 832 \approx 134, 83$ s ( $\approx 135$ s).

$S_{4} = \frac{120 ( 1 , 0 6 ^{4} - 1 )}{1 , 06 - 1}$ .
$S_{4} \approx 524, 95$ s ( $\approx 525$ s).

Tiempo de Paco en la vuelta $n$ : $u_{n} = 120 + 10 (n - 1) = 110 + 10 n$ . Tiempo de Lola: $v_{n} = 120 \cdot 1, 0 6^{n - 1}$ .
Buscamos el menor $n$ con $110 + 10 n < 120 \cdot 1, 0 6^{n - 1}$ . Se puede hacer con una tabla de la CPG o resolviendo la desigualdad con las dos gráficas.
Comprobamos valores: $n = 12$ : Paco $230$ , Lola $\approx 227, 8$ (todavía es más rápida Lola). $n = 13$ : Paco $240$ , Lola $\approx 241, 5$ (ya Paco es más rápido).

Resultado: a) 160 s. b) 15 vueltas. c) 47,5 min. d) $\approx 134, 83$ s ( $\approx 135$ s). e) $\approx 524, 95$ s ( $\approx 525$ s). f) a partir de la vuelta 13.

Progresiones aritméticas: término y suma

Ejercicio 13 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2005

A continuación aparecen los cinco primeros términos de una progresión aritmética.

$2, 6, 10, 14, 18$

a) Escriba el sexto número de esta progresión.

b) Calcule el término que ocupa el lugar 200.

c) Calcule la suma de los 90 primeros términos de la progresión.

Ver solución

La diferencia entre términos consecutivos es $6 - 2 = 4$ , así que $u_{1} = 2$ y $d = 4$ .

a) $u_{6} = u_{5} + d = 18 + 4 = 22$ .

b) $u_{200} = u_{1} + 199 d = 2 + 199 \cdot 4 = 2 + 796 = 798$ .

c) $S_{90} = \frac{90}{2} (2 \cdot 2 + 89 \cdot 4) = 45 (4 + 356) = 45 \cdot 360 = 16200$ .

Resultado: a) $u_{6} = 22$ ; b) $u_{200} = 798$ ; c) $S_{90} = 16200$

Ejercicio 14 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2001

Los primeros cuatro términos de una progresión aritmética se muestran a continuación.

$1, 5, 9, 13, \dots\dots$

a) Escriba el enésimo término de la progresión.

b) Calcule el término 100 de la progresión.

c) Encuentre la suma de los primeros 100 términos de la progresión.

Ver solución

La diferencia común es $d = 5 - 1 = 4$ y $u_{1} = 1$ .

a) $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 1 + 4 (n - 1) = 4 n - 3$ .

b) $u_{100} = 4 \cdot 100 - 3 = 397$ .

c) $S_{100} = \frac{100}{2} (u_{1} + u_{100}) = 50 (1 + 397) = 50 \cdot 398 = 19900$ .

Resultado: a) $u_{n} = 4 n - 3$ ; b) $u_{100} = 397$ ; c) $S_{100} = 19900$

Ejercicio 15 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2012

El décimo término de una progresión aritmética es 32 y la diferencia común es $- 6$ .

a) Halle el primer término de la progresión.

b) Halle el término 21 de la progresión.

c) Halle la suma de los 30 primeros términos de la progresión.

Ver solución

a) $u_{10} = u_{1} + 9 d$ , luego $32 = u_{1} + 9 (- 6)$ y por tanto $u_{1} = 32 + 54 = 86$ .

b) $u_{21} = u_{1} + 20 d = 86 + 20 (- 6) = 86 - 120 = - 34$ .

c) $S_{30} = \frac{30}{2} (2 \cdot 86 + 29 \cdot (- 6)) = 15 (172 - 174) = 15 \cdot (- 2) = - 30$ .

Resultado: a) $u_{1} = 86$ . b) $u_{21} = - 34$ . c) $S_{30} = - 30$ .

Ejercicio 16 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

El primer término de una progresión aritmética es 3 y el séptimo término es 33.

Calcule

a) la diferencia común;

b) el término 95.º de la progresión;

c) la suma de los primeros 250 términos.

Ver solución

a) $u_{7} = u_{1} + 6 d$ , es decir, $33 = 3 + 6 d$ , luego $d = \frac{30}{6} = 5$ .

b) $u_{95} = u_{1} + 94 d = 3 + 94 \cdot 5 = 3 + 470 = 473$ .

c) $S_{250} = \frac{250}{2} (2 \cdot 3 + 249 \cdot 5) = 125 (6 + 1245) = 125 \cdot 1251 = 156375$ .

Resultado: a) $d = 5$ ; b) $u_{95} = 473$ ; c) $S_{250} = 156375$ .

Ejercicio 17 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2009

Considere la siguiente progresión: $57, 55, 53, \dots, 5, 3$

a) Encuentre el número de términos de la progresión.

b) Encuentre la suma de la progresión.

Ver solución

a) $d = 55 - 57 = - 2$ . El último término es $3$ :

$57 + (n - 1) (- 2) = 3$
$- 2 (n - 1) = - 54$
$n - 1 = 27 \Rightarrow n = 28$ .

b) $S_{28} = \frac{28}{2} (57 + 3) = 14 \cdot 60 = 840$ .

Resultado: a) $28$ términos; b) $840$ .

Ejercicio 18 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

Un cometa gira alrededor del Sol y se ve desde la Tierra cada 37 años. La primera vez que se vio el cometa desde la Tierra fue en el año 1064.

a) Halle en qué año se vio el cometa desde la Tierra por quinta vez.

b) Determine cuántas veces se ha visto el cometa desde la Tierra hasta el año 2014.

Ver solución

Los años de aparición forman una progresión aritmética con $u_{1} = 1064$ y $d = 37$ .

$u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .
Quinta vez: $u_{5} = 1064 + 4 \cdot 37 = 1064 + 148 = 1212$ .

Buscamos el mayor $n$ con $u_{n} \leq 2014$ : $1064 + 37 (n - 1) \leq 2014$ .
$37 (n - 1) \leq 950 \Rightarrow n - 1 \leq 25, 67 \Rightarrow n \leq 26, 67$ .
Como $n$ es entero, $n = 26$ (en el año $1064 + 25 \cdot 37 = 1989$ fue la última aparición antes de 2014).

Resultado: a) año 1212. b) 26 veces.

Ejercicio 19 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2006

Los primeros tres términos de una progresión aritmética son $2 k + 3, 5 k - 2$ , y $10 k - 15$ .

a) Muestre que $k = 4$ .

b) Encuentre los valores de los primeros tres términos de la progresión.

c) Escriba el valor de la diferencia común.

d) Calcule el vigésimo término de la progresión.

e) Encuentre la suma de los primeros 15 términos de la progresión.

Ver solución

a) En una progresión aritmética la diferencia entre términos consecutivos es constante: $u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2}$ .

$(5 k - 2) - (2 k + 3) = (10 k - 15) - (5 k - 2)$ .
Simplificamos cada lado: $3 k - 5 = 5 k - 13$ .
Agrupamos: $8 = 2 k$ , luego $k = 4$ .

Queda demostrado.

b) Con $k = 4$ :

$u_{1} = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
$u_{2} = 5 \cdot 4 - 2 = 18$
$u_{3} = 10 \cdot 4 - 15 = 25$

c) $d = 18 - 11 = 7$ .

d) $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , luego $u_{20} = 11 + 19 \cdot 7 = 11 + 133 = 144$ .

e) $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ :

$S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 11 + 14 \cdot 7) = \frac{15}{2} (22 + 98) = \frac{15}{2} \cdot 120 = 900.$

Resultado: b) $11, 18, 25$ ; c) $d = 7$ ; d) $u_{20} = 144$ ; e) $S_{15} = 900$

Ejercicio 20 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2004

El término $n$ -ésimo de una progresión aritmética viene dado por $u_{n} = 63 - 4 n$ .

a) Calcule los valores de los dos primeros términos de esta progresión.

b) ¿Qué término de la progresión es $- 13$ ?

c) La suma de dos términos consecutivos de la progresión, $u_{k}$ y $u_{k + 1}$ es 34. Halle $k$ .

Ver solución

$u_{1} = 63 - 4 \cdot 1 = 59$
$u_{2} = 63 - 4 \cdot 2 = 55$

b) Igualamos $u_{n} = - 13$ : $63 - 4 n = - 13$ , luego $4 n = 76$ y $n = 19$ .

$u_{k} = 63 - 4 k$ y $u_{k + 1} = 63 - 4 (k + 1) = 59 - 4 k$ .
Su suma: $(63 - 4 k) + (59 - 4 k) = 122 - 8 k$ .
Imponemos $122 - 8 k = 34$ : $8 k = 88$ , luego $k = 11$ .

Resultado: a) $u_{1} = 59, u_{2} = 55$ ; b) $n = 19$ ; c) $k = 11$

Ejercicio 21 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

El sexto término de una sucesión aritmética es 24. La diferencia común es 8.

a) Calcule el primer término de la sucesión.

La suma de los $n$ primeros términos es 600.

b) Calcule el valor de $n$ .

Ver solución

a) $u_{6} = u_{1} + 5 d$ , así que $24 = u_{1} + 5 \cdot 8$ y $u_{1} = 24 - 40 = - 16$ .

$S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d) = \frac{n}{2} (- 32 + 8 (n - 1)) = \frac{n}{2} (8 n - 40) = 4 n^{2} - 20 n$ .
Imponemos $S_{n} = 600$ : $4 n^{2} - 20 n - 600 = 0$ , es decir, $n^{2} - 5 n - 150 = 0$ .
Factorizamos: $(n - 15) (n + 10) = 0$ , luego $n = 15$ o $n = - 10$ .
Como $n$ es un número natural, $n = 15$ .

Resultado: a) $u_{1} = - 16$ ; b) $n = 15$

Ejercicio 22 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2013

En una progresión aritmética, el quinto término, $u_{5}$ , es mayor que el primer término, $u_{1}$ .

La diferencia entre estos términos es 36.

a) Encuentre la diferencia común, $d$ .

El décimo término de la progresión es el doble del séptimo término.

b) (i) Escriba una ecuación en $u_{1}$ y $d$ para mostrar esta información.

(ii) Calcule $u_{1}$ .

Ver solución

a) $u_{5} = u_{1} + 4 d$ , de modo que $u_{5} - u_{1} = 4 d = 36$ y $d = 9$ .

b) (i) El décimo término es $u_{10} = u_{1} + 9 d$ y el séptimo es $u_{7} = u_{1} + 6 d$ . Que el décimo sea el doble del séptimo se escribe:

$u_{1} + 9 d = 2 (u_{1} + 6 d) .$

(ii) 1. Sustituimos $d = 9$ : $u_{1} + 81 = 2 (u_{1} + 54) = 2 u_{1} + 108$ . 2. Agrupamos: $81 - 108 = 2 u_{1} - u_{1}$ , luego $u_{1} = - 27$ .

Comprobación: $u_{7} = - 27 + 54 = 27$ y $u_{10} = - 27 + 81 = 54 = 2 \cdot 27$ .

Resultado: a) $d = 9$ ; b) (i) $u_{1} + 9 d = 2 (u_{1} + 6 d)$ ; (ii) $u_{1} = - 27$

Ejercicio 23 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

Un coro se dispone a dar un concierto. Sus integrantes se colocan en filas, según una progresión aritmética. Así, en la cuarta fila hay 20 cantantes, y en la octava fila hay 32 cantantes.

a) Halle la diferencia común de esta progresión aritmética.

En el coro hay 10 filas. En la primera fila hay 11 cantantes.

b) Halle el número total de cantantes que hay en el coro.

Ver solución

Del octavo al cuarto término hay $4$ saltos de la diferencia común: $u_{8} = u_{4} + 4 d$ .
$32 = 20 + 4 d$ , luego $4 d = 12$ y $d = 3$ .

Con $u_{1} = 11$ , $d = 3$ y $n = 10$ : $S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 11 + 9 \cdot 3) = 5 (22 + 27) = 5 \cdot 49 = 245$ .
Comprobación con los datos: $u_{4} = 11 + 9 = 20$ y $u_{8} = 11 + 21 = 32$ , correctos.

Resultado: a) $d = 3$ . b) $245$ cantantes.

Ejercicio 24 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

El primer término de una progresión aritmética es 3 y la suma de los dos primeros términos es igual a 11.

a) Escriba el segundo término de esta progresión.

b) Escriba la diferencia común de esta progresión.

c) Escriba el cuarto término de esta progresión.

d) El término $n$ -ésimo es el primer término de esta progresión que es mayor que 1000.

Halle el valor de $n$ .

Ver solución

a) La suma de los dos primeros términos es $u_{1} + u_{2} = 11$ y $u_{1} = 3$ , así que $u_{2} = 11 - 3 = 8$ .

b) La diferencia común es $d = u_{2} - u_{1} = 8 - 3 = 5$ .

c) $u_{4} = u_{1} + 3 d = 3 + 3 \cdot 5 = 18$ .

d) El término general es $u_{n} = 3 + 5 (n - 1)$ . Imponemos $u_{n} > 1000$ :

$3 + 5 (n - 1) > 1000$
$5 (n - 1) > 997$
$n - 1 > 199, 4$ , es decir, $n > 200, 4$ .

Como $n$ es entero, el primer valor posible es $n = 201$ . Comprobación: $u_{201} = 3 + 5 \cdot 200 = 1003 > 1000$ y $u_{200} = 998 < 1000$ .

Resultado: a) $u_{2} = 8$ ; b) $d = 5$ ; c) $u_{4} = 18$ ; d) $n = 201$ .

Ejercicio 25 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Considere la progresión aritmética $326, 321, 316, 311, \dots, 191$ .

a) Encuentre el valor de la diferencia común de esta progresión.

b) Calcule la suma de los 10 primeros términos de esta progresión.

c) Encuentre el número de términos en esta progresión.

Ver solución

a) $d = 321 - 326 = - 5$ .

b) $S_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 326 + 9 \cdot (- 5)) = 5 (652 - 45) = 5 \cdot 607 = 3035$ .

c) El último término es $191$ , así que $u_{n} = 326 + (n - 1) (- 5) = 191$ :

$- 5 (n - 1) = 191 - 326 = - 135$
$n - 1 = 27$
$n = 28$ .

Resultado: a) $d = - 5$ ; b) $S_{10} = 3035$ ; c) $28$ términos.

Ejercicio 26 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2009

Un árbol comienza a perder sus hojas en octubre. La cantidad de hojas que pierde el árbol cada día aumenta en el mismo número en cada día sucesivo.

Día de Octubre	1	2	3	4	.....................
Número de hojas perdidas	24	40	56	72	.....................

a) Calcule el número de hojas que pierde el árbol el 21 de octubre.

b) Encuentre el número total de hojas que pierde el árbol en los 31 días del mes de octubre.

Ver solución

Las cantidades $24, 40, 56, 72, \dots$ forman una progresión aritmética con $u_{1} = 24$ y $d = 40 - 24 = 16$ .

a) El 21 de octubre corresponde a $n = 21$ : $u_{21} = 24 + 20 \cdot 16 = 24 + 320 = 344$ hojas.

b) Octubre tiene 31 días: $S_{31} = \frac{31}{2} (2 \cdot 24 + 30 \cdot 16) = \frac{31}{2} \cdot 528 = 31 \cdot 264 = 8184$ hojas.

Resultado: a) $344$ hojas; b) $8184$ hojas.

Ejercicio 27 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2009

Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 7 y que el sexto término es 22, halle

a) la diferencia común;

b) el término duodécimo (el número 12);

c) la suma de los 100 primeros términos.

Ver solución

a) En una progresión aritmética $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ . Con $u_{6} = 22$ y $u_{1} = 7$ :

$7 + 5 d = 22$ .
$5 d = 15$ , luego $d = 3$ .

Resultado a): $d = 3$ .

b) 1. $u_{12} = u_{1} + 11 d = 7 + 11 \cdot 3$ . 2. $u_{12} = 7 + 33 = 40$ .

Resultado b): $u_{12} = 40$ .

c) 1. Fórmula de la suma: $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ . 2. $S_{100} = 50 (14 + 99 \cdot 3) = 50 \cdot 311$ . 3. $S_{100} = 15550$ .

Resultado c): $S_{100} = 15550$ .

Resultado: $d = 3$ ; $u_{12} = 40$ ; $S_{100} = 15550$ .

Ejercicio 28 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

Dada la progresión aritmética: $u_{1} = 124, u_{2} = 117, u_{3} = 110, u_{4} = 103, \dots$

a) Escriba el valor de la diferencia común de esta progresión.

b) Calcule la suma de los 50 primeros términos de la progresión.

$u_{k}$ es el primer término de la progresión que es negativo.

c) Halle el valor de $k$ .

Ver solución

a) $d = u_{2} - u_{1} = 117 - 124 = - 7$ .

Resultado a): $d = - 7$ .

b) 1. $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ . 2. $S_{50} = 25 (248 + 49 \cdot (- 7)) = 25 (248 - 343)$ . 3. $S_{50} = 25 \cdot (- 95) = - 2375$ .

Resultado b): $S_{50} = - 2375$ .

c) 1. $u_{n} = 124 - 7 (n - 1) = 131 - 7 n$ . 2. Buscamos el primer $n$ con $u_{n} < 0$ : $131 - 7 n < 0 \Rightarrow n > \frac{131}{7} \approx 18, 71$ . 3. El primer entero es $n = 19$ . Comprobación: $u_{18} = 5 > 0$ y $u_{19} = - 2 < 0$ .

Resultado c): $k = 19$ .

Resultado: $d = - 7$ ; $S_{50} = - 2375$ ; $k = 19$ .

Ejercicio 29 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2007

Los números naturales: $1, 2, 3, 4, 5 \dots$ forman una progresión aritmética.

a) Establezca para esta progresión los valores de $u_{1}$ y de $d$ .

b) Utilice una fórmula adecuada para demostrar que la suma de los números naturales desde 1 hasta $n$ , viene dada por $\frac{1}{2} n (n + 1)$ .

c) Calcule la suma de los números naturales desde 1 hasta 200.

Ver solución

a) La sucesión $1, 2, 3, 4, \dots$ empieza en 1 y cada término suma 1 al anterior: $u_{1} = 1$ , $d = 1$ .

Resultado a): $u_{1} = 1$ ; $d = 1$ .

b) 1. Usamos $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ . 2. Sustituimos $u_{1} = 1$ y $d = 1$ : $S_{n} = \frac{n}{2} (2 + (n - 1))$ . 3. Simplificamos: $S_{n} = \frac{n}{2} (n + 1) = \frac{1}{2} n (n + 1)$ .

Queda demostrado.

c) 1. $S_{200} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 201$ . 2. $S_{200} = 100 \cdot 201 = 20100$ .

Resultado c): $S_{200} = 20100$ .

Resultado: $u_{1} = 1$ , $d = 1$ ; fórmula demostrada; $S_{200} = 20100$ .

Ejercicio 30 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

El quinto término de una progresión aritmética es 20 y el duodécimo término es 41.

a) (i) Encuentre la diferencia común.

(ii) Encuentre el primer término de la progresión.

b) Calcule el término ochenta y cuatro.

c) Calcule la suma de los primeros 200 términos.

Ver solución

a) Planteamos $u_{5} = u_{1} + 4 d = 20$ y $u_{12} = u_{1} + 11 d = 41$ .

Restamos la primera ecuación a la segunda: $7 d = 21$ .
$d = 3$ .
Sustituimos en la primera: $u_{1} + 12 = 20$ , luego $u_{1} = 8$ .

Resultado a): (i) $d = 3$ ; (ii) $u_{1} = 8$ .

b) 1. $u_{84} = u_{1} + 83 d = 8 + 83 \cdot 3$ . 2. $u_{84} = 8 + 249 = 257$ .

Resultado b): $u_{84} = 257$ .

c) 1. $S_{200} = 100 (2 \cdot 8 + 199 \cdot 3)$ . 2. $S_{200} = 100 (16 + 597) = 100 \cdot 613 = 61300$ .

Resultado c): $S_{200} = 61300$ .

Resultado: $d = 3$ ; $u_{1} = 8$ ; $u_{84} = 257$ ; $S_{200} = 61300$ .

Ejercicio 31 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2017

Tomás está jugando con unos palos y con ellos forma los tres primeros diagramas de un patrón. Estos diagramas se muestran a continuación.

Tres diagramas de palitos: Diagrama 1, un cuadrado de 4 palos; Diagrama 2, dos cuadrados pegados de 7 palos; Diagrama 3, tres cuadrados pegados de 10 palos

Tomás continúa formando diagramas siguiendo este mismo patrón.

a) Para formar el diagrama $n$ utiliza 52 palos. Halle el valor de $n$ .

Tomás forma, en total, 24 diagramas.

b) Halle el número total de palos que ha utilizado Tomás para formar estos 24 diagramas.

Ver solución

Los números de palos $4, 7, 10, \dots$ forman una progresión aritmética con $u_{1} = 4$ y $d = 3$ .

$u_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n + 1$ .
$3 n + 1 = 52 \Rightarrow 3 n = 51 \Rightarrow n = 17$ .

$u_{24} = 3 \cdot 24 + 1 = 73$ .
$S_{24} = \frac{24}{2} (4 + 73) = 12 \cdot 77 = 924$ palos.

Resultado: a) $n = 17$ . b) 924 palos.

Ejercicio 32 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2016

Uno de los lugares de los Juegos Olímpicos de 2016 es un anfiteatro. La cantidad de asientos en la primera fila del anfiteatro, $u_{1}$ , es 240. El número de asientos en cada fila subsiguiente forma una progresión aritmética. El número de asientos en la sexta fila, $u_{6}$ , es 270.

a) Calcule el valor de la diferencia común, $d$ .

Hay 20 filas en el anfiteatro.

b) Encuentre el número total de asientos en el anfiteatro.

Anisha visita el anfiteatro. Ella estima que el anfiteatro tiene 6500 asientos.

c) Calcule el error porcentual en la estimación de Anisha.

Ver solución

$u_{6} = u_{1} + 5 d \Rightarrow 270 = 240 + 5 d$ .
$5 d = 30 \Rightarrow d = 6$ .

$S_{20} = \frac{20}{2} [2 \cdot 240 + 19 \cdot 6] = 10 \cdot (480 + 114) = 10 \cdot 594 = 5940$ asientos.

Error porcentual $= \frac{∣ valor estimado - valor exacto ∣}{∣ valor exacto ∣} \cdot 100$ .
$\frac{∣6500 - 5940∣}{5940} \cdot 100 = \frac{560}{5940} \cdot 100 \approx 9, 43 %$ .

Resultado: a) $d = 6$ . b) 5940 asientos. c) $\approx 9, 43 %$ .

Ejercicio 33 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

La empresa Snakezen’s Ladders fabrica escaleras de diferentes longitudes. Todas las escaleras que hace la empresa tienen el mismo diseño de tal manera que:

el primer peldaño está a 30 cm de la base de la escalera, el segundo peldaño está a 57 cm de la base de la escalera, la distancia entre el primer y segundo peldaño es igual a la distancia entre todos peldaños adyacentes en la escalera.

La escalera en el diagrama fue hecha por esta compañía y tiene once peldaños igualmente espaciados.

Escalera vertical con dos largueros y once peldaños igualmente espaciados; una cota rotulada 30 cm marca la distancia de la base al primer peldaño y otra rotulada 57 cm la distancia de la base al segundo peldaño

a) Encuentre la distancia desde la base de esta escalera hasta el peldaño superior.

La empresa también fabrica una escalera de 1050 cm de largo.

b) Encuentre el número máximo de peldaños en esta escalera de 1050 cm de largo.

Ver solución

Las alturas de los peldaños forman una progresión aritmética: $u_{1} = 30$ y $u_{2} = 57$ .
La diferencia es $d = 57 - 30 = 27$ cm.
El peldaño superior es el undécimo: $u_{11} = u_{1} + (11 - 1) d = 30 + 10 \cdot 27 = 300$ .

Resultado a): la distancia es $300$ cm.

El peldaño $n$ está a $u_{n} = 30 + 27 (n - 1)$ cm de la base, y debe cumplirse $u_{n} \leq 1050$ .
$30 + 27 (n - 1) \leq 1050 \Rightarrow 27 (n - 1) \leq 1020 \Rightarrow n - 1 \leq 37, 78 \dots$
Como $n$ es entero, $n - 1 = 37$ , luego $n = 38$ . Comprobación: $u_{38} = 30 + 27 \cdot 37 = 1029 \leq 1050$ , y $u_{39} = 1056 > 1050$ .

Resultado: el número máximo de peldaños es $38$ .

Ejercicio 34 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Sergei está entrenando para ser levantador de pesas. Cada día entrena en el gimnasio local levantando una barra que tiene pesos pesados adjuntos. Realiza sucesivos levantamientos. Después de cada levantamiento, el mismo agrega una cantidad de peso a la barra para aumentar el peso que se debe levantar. Los pesos de cada uno de los levantamientos de Sergei forman una progresión aritmética. El amigo de Sergei, Yuri, registra el peso de cada levantamiento. Desafortunadamente, el lunes pasado, Yuri perdió todas menos dos de las anotaciones de los levantamientos de Sergei. Ese día, Sergei levantó 21 kg en el tercer levantamiento y 46 kg en el octavo levantamiento.

a) Para ese día

(i) encuentre cuánto peso se agregó después de cada levantamiento;

(ii) encuentre el peso del primer levantamiento de Sergei.

Ese día, Sergei realizó 12 levantamientos sucesivos.

b) Encuentre el peso total combinado de estos levantamientos.

Ver solución

Los pesos forman una progresión aritmética con $u_{3} = 21$ y $u_{8} = 46$ .
Entre el tercer y el octavo levantamiento hay $5$ incrementos: $u_{8} - u_{3} = 5 d$ .

(i) $5 d = 46 - 21 = 25 \Rightarrow d = 5$ .

(ii) $u_{1} = u_{3} - 2 d = 21 - 10 = 11$ .

Resultado a): (i) se añadieron $5$ kg después de cada levantamiento; (ii) el primer levantamiento fue de $11$ kg.

$u_{12} = 11 + 11 \cdot 5 = 66$ .
$S_{12} = \frac{12}{2} (u_{1} + u_{12}) = 6 (11 + 66) = 462$ .

Resultado b): el peso total combinado es $462$ kg.

Ejercicio 35 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2000

El Sr. Jones decide aumentar la cantidad de dinero que gasta en comida en $d$ GBP cada año. En el primer año gasta $a$ GBP. En el 8º año gasta el doble que en el 4º año. En el 20º año gasta 4000 GBP.

Halle el valor de $d$ .

Ver solución

Los gastos forman una progresión aritmética de primer término $a$ y diferencia $d$ : $u_{n} = a + (n - 1) d$ .

Año 4: $a + 3 d$ . Año 8: $a + 7 d$ . Como el del año 8 es el doble: $a + 7 d = 2 (a + 3 d)$ .
Simplificamos: $a + 7 d = 2 a + 6 d \Rightarrow a = d$ .
Año 20: $a + 19 d = 4000$ . Sustituyendo $a = d$ : $20 d = 4000$ .
Por tanto $d = 200$ .

Resultado: $d = 200$ GBP.

Ejercicio 36 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2015

La suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética viene dada por $S_{n} = 6 n + n^{2}$ .

a) Escriba el valor de

(i) $S_{1}$ ;

(ii) $S_{2}$ .

El enésimo término de la progresión aritmética viene dado por $u_{n}$ .

b) Demuestre que $u_{2} = 9$ .

c) Encuentre la diferencia común de la progresión.

d) Calcule $u_{10}$ .

e) Encuentre el menor valor de $n$ para el cual $u_{n}$ es mayor que 1000.

f) Hay un valor de $n$ para el cual $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = 1512$

Calcule el valor de $n$ .

Ver solución

(i) $S_{1} = 6 \cdot 1 + 1^{2} = 7$ .
(ii) $S_{2} = 6 \cdot 2 + 2^{2} = 16$ .

b) $u_{1} = S_{1} = 7$ . Como $S_{2} = u_{1} + u_{2}$ : $u_{2} = S_{2} - S_{1} = 16 - 7 = 9$ Queda demostrado.

c) $d = u_{2} - u_{1} = 9 - 7 = 2$ .

d) $u_{10} = u_{1} + 9 d = 7 + 9 \cdot 2 = 25$ .

$u_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 2 = 2 n + 5$ .
Imponemos $2 n + 5 > 1000$ , es decir $n > 497, 5$ .
El menor entero que cumple esto es $n = 498$ (comprobación: $u_{498} = 1001 > 1000$ y $u_{497} = 999$ ).

Se pide $S_{n} = 1512$ , es decir $6 n + n^{2} = 1512$ , o sea $n^{2} + 6 n - 1512 = 0$ .
Discriminante: $36 + 4 \cdot 1512 = 6084 = 7 8^{2}$ .
$n = \frac{- 6 \pm 78}{2}$ , así que $n = 36$ o $n = - 42$ . Como $n$ es positivo, $n = 36$ .

Resultado: a) $S_{1} = 7$ , $S_{2} = 16$ . b) $u_{2} = 9$ (demostrado). c) $d = 2$ . d) $u_{10} = 25$ . e) $n = 498$ . f) $n = 36$ .

Ejercicio 37 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2017

Rosa se apunta a un club donde se preparan para correr una maratón. Durante la primera sesión de entrenamiento Rosa corre una distancia de 3000 metros. En cada sesión de entrenamiento Rosa corre 400 metros más que en la anterior.

a) Escriba la distancia que corre Rosa

(i) en la tercera sesión de entrenamiento;

(ii) en la $n$ -ésima sesión de entrenamiento.

Una maratón son 42,195 kilómetros. En la $k$ -ésima sesión de entrenamiento Rosa correrá por primera vez una distancia mayor que una maratón.

b) Halle el valor de $k$ .

c) Calcule la distancia total, en kilómetros, que habrá corrido Rosa en las 50 primeras sesiones de entrenamiento.

Carlos se apunta al club para perder peso. El primer mes corre 7500 metros. La distancia que Carlos corre va aumentando un 20 % cada mes.

d) Halle la distancia que corre Carlos durante el quinto mes de entrenamiento.

e) Calcule la distancia total que corre Carlos durante el primer año.

Ver solución

a) Distancias en metros: progresión aritmética con $u_{1} = 3000$ y $d = 400$ .

(i) $u_{3} = 3000 + 2 \cdot 400 = 3800$ m.
(ii) $u_{n} = 3000 + (n - 1) \cdot 400 = 2600 + 400 n$ m.

Una maratón son $42195$ m. Pedimos $2600 + 400 k > 42195$ .
$400 k > 39595 \Rightarrow k > 98, 99$ .
El menor entero es $k = 99$ . Comprobación: $u_{99} = 42200 > 42195$ y $u_{98} = 41800 < 42195$ .

$S_{50} = \frac{50}{2} [2 \cdot 3000 + 49 \cdot 400] = 25 \cdot 25600 = 640000$ m.
En kilómetros: $640$ km.

d) Distancias de Carlos: progresión geométrica con $v_{1} = 7500$ y $r = 1, 2$ .

$v_{5} = 7500 \cdot 1, 2^{4} = 7500 \cdot 2, 0736 = 15552$ m ( $\approx 15600$ m).

Primer año $= 12$ meses: $S_{12} = \frac{7500 ( 1 , 2 ^{12} - 1 )}{0 , 2}$ .
$S_{12} \approx 296854$ m ( $\approx 297000$ m).

Resultado: a) (i) 3800 m; (ii) $3000 + 400 (n - 1)$ m. b) $k = 99$ . c) 640 km. d) 15 552 m ( $\approx 15600$ m). e) $\approx 296854$ m ( $\approx 297000$ m).

Ejercicio 38 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2014

En un juego, $n$ calabazas pequeñas se colocan a 1 metro de distancia en línea recta. Los jugadores comienzan 3 metros antes de la primera calabaza.

Línea horizontal que parte de un punto negro rotulado Comienzo, a la izquierda, y pasa por una fila de calabazas equiespaciadas, seguidas de puntos suspensivos a la derecha

Cada jugador recoge una sola calabaza y la devuelve al principio. Primero se recolecta la calabaza más cercana. Luego, el jugador recolecta la siguiente calabaza más cercana y el juego continúa de esta manera hasta que se da la señal para el final. Sirma corre a buscar cada calabaza y la devuelve al principio.

a) Escriba la distancia, $a_{1}$ , en metros que tiene que correr para recoger la primera calabaza.

Las distancias que corre para recoger cada calabaza forman una progresión $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$

b) (i) Calcule $a_{2}$ .

(ii) calcule $a_{3}$ .

c) Escriba la diferencia común, $d$ , de la progresión.

La calabaza final que Sirma recogió estaba a 24 metros del inicio.

d) (i) Encuentre el número total de calabazas que recogió Sirma.

(ii) Encuentre la distancia total que corrió Sirma para recolectar estas calabazas.

Peter también juega al juego. Cuando se da la señal para el final del juego, ha corrido 940 metros.

e) Calcule el número total de calabazas que recolectó Peter.

f) Calcule la distancia entre Peter y el punto de inicio de la prueba cuando se da la señal.

Ver solución

a) La primera calabaza está a 3 m del comienzo: ir y volver son $2 \cdot 3 = 6$ m. Así $a_{1} = 6$ m.

La segunda calabaza está a $4$ m: $a_{2} = 2 \cdot 4 = 8$ m.
La tercera está a $5$ m: $a_{3} = 2 \cdot 5 = 10$ m.

c) $d = a_{2} - a_{1} = 8 - 6 = 2$ m (cada calabaza añade 1 m de ida y 1 m de vuelta).

(i) Es una progresión aritmética: $a_{n} = 6 + (n - 1) \cdot 2$ . La última calabaza está a 24 m, luego su recorrido es $48$ m: $6 + 2 (n - 1) = 48 \Rightarrow n - 1 = 21 \Rightarrow n = 22$ calabazas.
(ii) $S_{22} = \frac{22}{2} (6 + 48) = 11 \cdot 54 = 594$ m.

La distancia total tras $n$ calabazas completas es $S_{n} = \frac{n}{2} [12 + 2 (n - 1)] = n (n + 5)$ .
Resolvemos $n (n + 5) \leq 940$ (con la CPG o con $n^{2} + 5 n - 940 = 0$ , que da $n \approx 28, 3$ ).
$S_{28} = 28 \cdot 33 = 924 \leq 940$ y $S_{29} = 29 \cdot 34 = 986 > 940$ . Por tanto Peter recogió $28$ calabazas completas.

Tras 28 calabazas ha corrido 924 m; le quedan $940 - 924 = 16$ m dentro del siguiente trayecto (la calabaza 29 está a 31 m del inicio, así que aún va de ida).
Por tanto está a $16$ m del punto de inicio.

Resultado: a) $a_{1} = 6$ m. b) (i) $a_{2} = 8$ m; (ii) $a_{3} = 10$ m. c) $d = 2$ m. d) (i) 22 calabazas; (ii) 594 m. e) 28 calabazas. f) 16 m.

Ejercicio 39 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2019

Maegan diseña una vidriera decorativa para la fachada de un nuevo Centro de Bellas Artes. La vidriera está hecha de pequeños paneles triangulares. Los tres primeros niveles de la vidriera se muestran en la siguiente figura.

Vidriera en forma de trapecio invertido con paneles triangulares en tres niveles: el primer nivel (abajo) tiene 5 paneles, el segundo nivel 7 paneles y el tercer nivel (arriba) 9 paneles; dos líneas discontinuas parten de los extremos superiores hacia arriba

El 1.er nivel —el de la parte inferior de la vidriera— consta de 5 paneles triangulares. En el 2.º nivel hay 7 paneles triangulares y en el 3.er nivel hay 9 paneles triangulares. Cada nivel adicional tiene 2 paneles triangulares más que el nivel que está debajo de él.

a) Halle el número de paneles triangulares que habrá en el 12.º nivel.

b) Muestre que el número total de paneles triangulares, $S_{n}$ , que hay en los primeros $n$ niveles viene dado por: $S_{n} = n^{2} + 4 n$ .

c) A partir de lo anterior, halle el número total de paneles que habrá en una vidriera de 18 niveles.

Maegan tiene 1000 paneles triangulares para construir la vidriera y no quiere dejar incompleto ningún nivel.

d) Halle el número máximo de niveles completos que podrá hacer Maegan.

El área de cada panel triangular es igual a 1,84 m $^{2}$ .

e) Halle el área total que tendrá la vidriera si se construye con ese número máximo de niveles completos. Exprese el área que ha hallado redondeando al m $^{2}$ más cercano.

Ver solución

Paneles por nivel: $5, 7, 9, \dots$ , progresión aritmética con $u_{1} = 5$ y $d = 2$ .

$u_{12} = 5 + 11 \cdot 2 = 27$ paneles.

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d] = \frac{n}{2} [10 + 2 (n - 1)]$ .
Simplificamos: $\frac{n}{2} (2 n + 8) = n (n + 4) = n^{2} + 4 n$ .

Queda demostrado.

$S_{18} = 1 8^{2} + 4 \cdot 18 = 324 + 72 = 396$ paneles.

Buscamos el mayor $n$ con $n^{2} + 4 n \leq 1000$ .
$n = 29$ : $841 + 116 = 957 \leq 1000$ . $n = 30$ : $900 + 120 = 1020 > 1000$ .
Máximo: $29$ niveles.

Paneles usados: $S_{29} = 957$ .
Área: $957 \cdot 1, 84 = 1760, 88 \approx 1761$ m $^{2}$ .

Resultado: a) 27 paneles. b) demostrado. c) 396 paneles. d) 29 niveles. e) $\approx 1761$ m $^{2}$ .

Progresiones geométricas: término y suma

Ejercicio 40 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

Considere la progresión geométrica $8, a, 2, \dots$ para la cual la razón común es $\frac{1}{2}$ .

a) Encuentre el valor de $a$ .

b) Encuentre el valor del octavo término.

c) Encuentre la suma de los primeros doce términos.

Ver solución

a) En una progresión geométrica, cada término es el anterior multiplicado por la razón: $a = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ . (Comprobación: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ .)

b) Usamos $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ con $u_{1} = 8$ , $r = \frac{1}{2}$ , $n = 8$ :

$u_{8} = 8 (\frac{1}{2})^{7} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} = 0, 0625.$

c) Suma de los $n$ primeros términos: $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ .

$S_{12} = \frac{8 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{12} )}{1 - \frac{1}{2}} = 16 (1 - \frac{1}{4096}) \approx 15, 996 \approx 16, 0.$

Resultado: a) $a = 4$ ; b) $u_{8} = \frac{1}{16} = 0, 0625$ ; c) $S_{12} \approx 16, 0$

Ejercicio 41 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2019

Sea una progresión geométrica donde el primer término es $\frac{8}{3}$ y el cuarto término es 9.

a) Halle la razón de la progresión.

b) Escriba el segundo término de esta progresión.

La suma de los $k$ primeros términos es mayor que 2500.

c) Halle el valor más pequeño posible de $k$ .

Ver solución

a) En una progresión geométrica $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ , así que $u_{4} = u_{1} r^{3}$ .

Sustituimos los datos: $9 = \frac{8}{3} r^{3}$ .
Despejamos: $r^{3} = 9 \cdot \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ .
Extraemos la raíz cúbica: $r = \frac{3}{2}$ .

Resultado: $r = \frac{3}{2}$

b) El segundo término es $u_{2} = u_{1} r = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4$ .

Resultado: $u_{2} = 4$

c) Usamos la suma de los $k$ primeros términos, $S_{k} = \frac{u _{1} ( r ^{k} - 1 )}{r - 1}$ .

$S_{k} = \frac{\frac{8}{3} ( 1 , 5 ^{k} - 1 )}{0 , 5} = \frac{16}{3} (1, 5^{k} - 1)$ .
Imponemos $S_{k} > 2500$ : $\frac{16}{3} (1, 5^{k} - 1) > 2500$ , es decir, $1, 5^{k} - 1 > 468, 75$ y por tanto $1, 5^{k} > 469, 75$ .
Tomamos logaritmos: $k > \frac{ln 469 , 75}{ln 1 , 5} \approx 15, 2$ .
Como $k$ es entero, el menor valor es $k = 16$ .

Comprobación: $S_{15} = \frac{16}{3} (1, 5^{15} - 1) \approx 2330$ , que no llega a 2500, y $S_{16} = \frac{16}{3} (1, 5^{16} - 1) \approx 3498$ , que sí lo supera.

Resultado: a) $r = \frac{3}{2}$ ; b) $u_{2} = 4$ ; c) $k = 16$

Ejercicio 42 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son $u_{1} = 486, u_{2} = 162, u_{3} = 54$ .

a) Encuentre el valor de $r$ , la razón común de la progresión.

b) Encuentre el valor de $n$ para el cual $u_{n} = 2$ .

c) Encuentre la suma de los primeros 30 términos de la progresión.

Ver solución

a) $r = \frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{162}{486} = \frac{1}{3}$ . (Comprobación: $162 \cdot \frac{1}{3} = 54$ .)

$u_{n} = 486 (\frac{1}{3})^{n - 1} = 2$ .
$(\frac{1}{3})^{n - 1} = \frac{2}{486} = \frac{1}{243} = \frac{1}{3 ^{5}}$ .
Igualamos exponentes: $n - 1 = 5$ , luego $n = 6$ .

c) $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ :

$S_{30} = \frac{486 ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{30} )}{\frac{2}{3}} = 729 (1 - 3^{- 30}) \approx 729.$

(El término $3^{- 30}$ es del orden de $1 0^{- 15}$ , y no afecta al resultado.)

Resultado: a) $r = \frac{1}{3}$ ; b) $n = 6$ ; c) $S_{30} \approx 729$

Ejercicio 43 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

Considere la progresión geométrica $2048, 1536, 1152, 864 \dots$

a) Halle la razón común, $r$ .

b) Escriba el siguiente término de la progresión, $u_{5}$ .

c) Halle cuál es el término más grande de la progresión que no es un número entero.

d) Halle la suma de los 20 primeros términos.

Ver solución

a) $r = \frac{1536}{2048} = \frac{3}{4} = 0, 75$ . Comprobación: $\frac{1152}{1536} = 0, 75$ y $\frac{864}{1152} = 0, 75$ .

b) $u_{5} = u_{4} \cdot r = 864 \cdot 0, 75 = 648$ .

El término general es $u_{n} = 2048 \cdot (\frac{3}{4})^{n - 1} = 2^{11} \cdot \frac{3 ^{n - 1}}{2 ^{2 (n - 1)}} = 3^{n - 1} \cdot 2^{13 - 2 n}$ .
Mientras $13 - 2 n \geq 0$ , es decir $n \leq 6$ , el término es un entero. Así $u_{6} = 3^{5} \cdot 2 = 486$ .
Para $n = 7$ : $u_{7} = 3^{6} \cdot 2^{- 1} = \frac{729}{2} = 364, 5$ , que no es entero.
Para $n \geq 7$ el denominador es una potencia de 2 ( $2^{2 n - 13}$ ) y el numerador, una potencia de 3 (impar), así que ningún término posterior es entero.
La progresión es decreciente, por tanto el mayor término no entero es el primero que deja de serlo: $u_{7} = 364, 5$ .

d) Con $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ : $S_{20} = \frac{2048 ( 1 - 0 , 7 5 ^{20} )}{1 - 0 , 75} = 8192 (1 - 0, 7 5^{20}) \approx 8192 (1 - 0, 003171) \approx 8166$

Resultado: a) $r = 0, 75$ . b) $u_{5} = 648$ . c) $u_{7} = 364, 5$ . d) $S_{20} \approx 8166$ (unos $8170$ con 3 cifras significativas).

Ejercicio 44 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2004

Se deja caer verticalmente una pelota de baloncesto. En el primer bote alcanza una altura de 2 m. La altura de cada uno de los botes posteriormente es el 90% de la anterior.

a) ¿Qué altura alcanzará en el 8.º bote?

b) ¿Cuál es la longitud total de la distancia vertical recorrida por la pelota entre la primera y la sexta vez que toca el suelo?

Ver solución

Las alturas de los botes forman una progresión geométrica con primer término $2$ (primer bote) y razón $r = 0, 9$ .

a) Altura del 8.º bote: $u_{8} = 2 \cdot 0, 9^{7} \approx 2 \cdot 0, 4783 = 0, 957$ m.

Entre la primera y la sexta vez que la pelota toca el suelo ocurren cinco botes completos (los botes 1 a 5), cada uno de subida y bajada.
Alturas de esos botes: $2; 1, 8; 1, 62; 1, 458; 1, 3122$ . Cada bote recorre el doble de su altura.
Suma de las alturas, con $S_{5} = \frac{2 ( 1 - 0 , 9 ^{5} )}{1 - 0 , 9} = 20 (1 - 0, 59049) = 8, 1902$ m.
Distancia total: $2 \cdot 8, 1902 = 16, 3804 \approx 16, 4$ m.

Resultado: a) $0, 957$ m. b) $\approx 16, 4$ m.

Ejercicio 45 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

Javier comienza a entrenar para una carrera a pie.

El primer día corre 1,5 km. Todos los días corre un 10% más que el día anterior.

a) Escriba la distancia que corre en el segundo día de entrenamiento.

b) Calcula la distancia total que Javier corre en los primeros siete días de entrenamiento.

Javier deja de entrenar el día que su distancia total supera los 100 km.

c) Calcula el número de días que Javier ha entrenado para la carrera a pie.

Ver solución

Las distancias diarias forman una progresión geométrica con $u_{1} = 1, 5$ y $r = 1, 10$ (un 10 % más cada día).

a) $u_{2} = 1, 5 \cdot 1, 1 = 1, 65$ km.

b) $S_{7} = \frac{1 , 5 ( 1 , 1 ^{7} - 1 )}{1 , 1 - 1} = 15 (1, 9487 - 1) \approx 14, 2$ km.

Imponemos $S_{n} > 100$ : $\frac{1 , 5 ( 1 , 1 ^{n} - 1 )}{0 , 1} > 100$ , es decir $15 (1, 1^{n} - 1) > 100$ .
Entonces $1, 1^{n} > 1 + \frac{100}{15} = 7, 667$ , y tomando logaritmos $n > \frac{ln 7 , 667}{ln 1 , 1} \approx 21, 4$ . (También se puede resolver con una tabla en la CPG.)
Comprobación: $S_{21} \approx 15 (7, 4002 - 1) = 96, 0$ km, que no supera 100, y $S_{22} \approx 15 (8, 1403 - 1) = 107, 1$ km, que sí.
Luego $n = 22$ .

Resultado: a) $1, 65$ km. b) $\approx 14, 2$ km. c) Entrena durante $22$ días.

Ejercicio 46 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Considere la progresión $512, 128, 32, 8, \dots$

a) Calcule el valor exacto del noveno término de la progresión.

b) Calcule el menor número de términos necesarios para que la suma de la progresión sea mayor que $682, 6$

Ver solución

Los cocientes son $\frac{128}{512} = \frac{32}{128} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ : progresión geométrica con $u_{1} = 512$ y $r = \frac{1}{4}$ .

a) $u_{9} = 512 (\frac{1}{4})^{8} = \frac{2 ^{9}}{2 ^{16}} = \frac{1}{2 ^{7}} = \frac{1}{128}$

$S_{n} = \frac{512 ( 1 - 0 , 2 5 ^{n} )}{1 - 0 , 25} = \frac{2048}{3} (1 - 0, 2 5^{n})$ . La suma tiende a $\frac{2048}{3} \approx 682, 67$ .
Imponemos $\frac{2048}{3} (1 - 0, 2 5^{n}) > 682, 6$ , es decir $0, 2 5^{n} < 1 - \frac{2047 , 8}{2048} = \frac{1}{10240}$ .
Equivale a $4^{n} > 10240$ . Con logaritmos, $n > \frac{ln 10240}{ln 4} \approx 6, 66$ . (O con una tabla en la CPG.)
Comprobación: $S_{6} = \frac{2048}{3} (1 - \frac{1}{4096}) \approx 682, 50 < 682, 6$ y $S_{7} = \frac{2048}{3} (1 - \frac{1}{16384}) \approx 682, 63 > 682, 6$ .
El menor número de términos es $n = 7$ .

Resultado: a) $u_{9} = \frac{1}{128}$ . b) $n = 7$ .

Ejercicio 47 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

Considere la progresión geométrica $16, 8, a, 2, b, \dots$

a) Escriba la razón común.

b) Escriba el valor de

(i) $a$ ;

(ii) $b$ .

c) La suma de los $n$ primeros términos es igual a $31, 9375$ . Halle el valor de $n$ .

Ver solución

a) La razón es el cociente entre dos términos consecutivos: $r = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ .

b) (i) $a = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ . (Comprobación: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ , que es el término siguiente.)

(ii) $b = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .

c) Usamos la suma de los $n$ primeros términos, $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ :

$S_{n} = \frac{16 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n} )}{1 - \frac{1}{2}} = 32 (1 - (\frac{1}{2})^{n})$ .
Igualamos: $32 (1 - (\frac{1}{2})^{n}) = 31, 9375$ .
$1 - (\frac{1}{2})^{n} = \frac{31 , 9375}{32} = 0, 998046875$ , luego $(\frac{1}{2})^{n} = 0, 001953125 = \frac{1}{512}$ .
Como $512 = 2^{9}$ , resulta $n = 9$ (también se obtiene resolviendo la ecuación con la CPG).

Resultado: a) $r = \frac{1}{2}$ ; b) $a = 4$ , $b = 1$ ; c) $n = 9$ .

Ejercicio 48 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2011

El séptimo término, $u_{7}$ , de una progresión geométrica es 108. El octavo término, $u_{8}$ , de la progresión es 36.

a) Escriba la razón común de la progresión.

b) Encuentre $u_{1}$ .

La suma de los primeros $k$ términos de la progresión es 118096.

c) Encuentre el valor de $k$ .

Ver solución

a) $r = \frac{u _{8}}{u _{7}} = \frac{36}{108} = \frac{1}{3}$ .

b) $u_{7} = u_{1} r^{6}$ , luego $108 = u_{1} (\frac{1}{3})^{6} = \frac{u _{1}}{729}$ y $u_{1} = 108 \cdot 729 = 78732$ .

c) Usamos $S_{k} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{k} )}{1 - r}$ :

$S_{k} = \frac{78732 ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{k} )}{\frac{2}{3}} = 118098 (1 - (\frac{1}{3})^{k})$ .
Igualamos a $118096$ : $1 - (\frac{1}{3})^{k} = \frac{118096}{118098}$ .
$(\frac{1}{3})^{k} = \frac{2}{118098} = \frac{1}{59049} = \frac{1}{3 ^{10}}$ .
Por tanto $k = 10$ .

Resultado: a) $r = \frac{1}{3}$ ; b) $u_{1} = 78732$ ; c) $k = 10$ .

Ejercicio 49 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2009

Una progresión geométrica tiene un segundo término 12 y un quinto término 324.

a) Calcule el valor de la razón común.

b) Calcule el décimo término de esta progresión.

c) El $k$ -ésimo término es el primer término que es mayor que 2000. Encuentre el valor de $k$ .

Ver solución

a) $u_{5} = u_{2} r^{3}$ , luego $324 = 12 r^{3}$ , $r^{3} = 27$ y $r = 3$ .

b) Primero $u_{1} = \frac{u _{2}}{r} = \frac{12}{3} = 4$ . Entonces $u_{10} = 4 \cdot 3^{9} = 4 \cdot 19683 = 78732$ .

c) Buscamos el menor $k$ con $4 \cdot 3^{k - 1} > 2000$ :

$3^{k - 1} > 500$ .
Como $3^{5} = 243 < 500$ y $3^{6} = 729 > 500$ , hace falta $k - 1 = 6$ (con la CPG se comprueba en una tabla de valores).
$k = 7$ . Comprobación: $u_{7} = 4 \cdot 729 = 2916 > 2000$ y $u_{6} = 4 \cdot 243 = 972 < 2000$ .

Resultado: a) $r = 3$ ; b) $u_{10} = 78732$ ; c) $k = 7$ .

Ejercicio 50 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

Un martillo hidráulico se usa para clavar un poste metálico en el suelo en dirección vertical.

Para ello, va golpeando repetidamente la parte superior del poste. La distancia que penetra el poste en el suelo con el enésimo golpe de martillo es igual a $d_{n}$ .

Las distancias $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \dots, d_{n}$ forman una progresión geométrica.

La distancia que penetra el poste en el suelo con el primer golpe de martillo, $d_{1}$ , es igual a 64 cm.

La distancia que penetra el poste en el suelo con el segundo golpe de martillo, $d_{2}$ , es igual a 48 cm.

a) Halle la razón común de esta progresión.

b) Halle la distancia que penetra el poste en el suelo con el octavo golpe de martillo.

c) Halle la profundidad total a la que ha penetrado el poste en el suelo tras 10 golpes de martillo.

Ver solución

a) 1. En una progresión geométrica $r = \frac{d _{2}}{d _{1}} = \frac{48}{64}$ . 2. $r = 0, 75$ .

Resultado a): $r = 0, 75$ .

b) 1. $d_{n} = 64 \cdot 0, 7 5^{n - 1}$ . 2. $d_{8} = 64 \cdot 0, 7 5^{7} \approx 64 \cdot 0, 13348 = 8, 543$ .

Resultado b): $d_{8} \approx 8, 54$ cm.

c) 1. La profundidad total tras 10 golpes es la suma $S_{10}$ de la progresión geométrica. 2. $S_{10} = \frac{64 ( 1 - 0 , 7 5 ^{10} )}{1 - 0 , 75} = 256 (1 - 0, 7 5^{10})$ . 3. Con $0, 7 5^{10} \approx 0, 05631$ : $S_{10} \approx 256 \cdot 0, 94369 \approx 241, 58$ cm.

Resultado c): $\approx 242$ cm.

Resultado: $r = 0, 75$ ; $d_{8} \approx 8, 54$ cm; profundidad total $\approx 242$ cm.

Ejercicio 51 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

512 participantes inician la ronda 1 de un torneo de tenis. En esta ronda, cada participante juega un partido contra otro participante. El participante que gana el partido pasa a la siguiente ronda (ronda 2), mientras que el participante que pierde queda eliminado del torneo. El torneo continúa de esta manera hasta que hay un ganador.

a) Halle el número de participantes que juegan la ronda 6 del torneo.

b) Halle el número total de partidos que se juegan en el torneo.

Ver solución

Los participantes en cada ronda forman una progresión geométrica con $u_{1} = 512$ y $r = \frac{1}{2}$ (cada partido elimina a uno de cada dos).

$u_{n} = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}$ .
Ronda 6: $u_{6} = 512 \cdot (\frac{1}{2})^{5} = \frac{512}{32} = 16$ participantes.

En cada ronda se juegan la mitad de partidos que participantes: $256, 128, 64, \dots, 1$ . Son $256 \cdot (\frac{1}{2})^{k - 1}$ con $k = 1, \dots, 9$ (el último, la final, es $1$ partido: $256/ 2^{8} = 1$ ).
Suma de 9 términos con primer término 256 y razón $\frac{1}{2}$ : $S_{9} = \frac{256 ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{9} )}{1 - \frac{1}{2}} = 511$ .
Comprobación: hay 512 jugadores y sólo queda uno, así que hay 511 eliminados, uno por partido.

Resultado: a) 16 participantes. b) 511 partidos.

Ejercicio 52 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Las muñecas Matryoshka, o muñecas rusas, son muñecas de diseño similar que se abren y se ajustan una dentro de la otra. El conjunto más grande de este tipo de muñecas es un conjunto de 51 piezas que se completó en 2003. La altura de la pieza más grande de este conjunto es de 54 cm. Las alturas de sucesivas muñecas más pequeñas son el 94% de la muñeca anterior más grande, como se muestra.

Cinco muñecas rusas en fila, de altura decreciente, sobre una línea horizontal. Una flecha vertical doble a la izquierda de la primera marca su altura h; otra flecha junto a la segunda marca su altura 0,94h

a) Encuentre la altura de la muñeca más pequeña de este conjunto.

b) Encuentre la altura total si las 51 muñecas estuvieran colocadas una encima de la otra.

Ver solución

Las alturas forman una progresión geométrica con $u_{1} = 54$ y $r = 0, 94$ .

La muñeca más pequeña es la número 51: $u_{51} = 54 \cdot 0, 9 4^{50}$ .
$u_{51} \approx 2, 45$ cm.

$S_{51} = \frac{54 ( 1 - 0 , 9 4 ^{51} )}{1 - 0 , 94}$ .
$S_{51} \approx 861, 65$ cm, es decir, $\approx 862$ cm.

Resultado: a) $\approx 2, 45$ cm. b) $\approx 862$ cm.

Ejercicio 53 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2009

Las cuotas anuales pagadas a una escuela durante los años escolares 2000, 2001 y 2002 aumentan a medida de una progresión geométrica. La siguiente tabla muestra la estructura de tarifas.

Año	Tarifa (USD)
2000	8000.00
2001	8320.00
2002	8652.80

a) Calcule la razón común para la progresión creciente de tarifas.

En los apartados (b) y (c), dé su respuesta aproximada con 2 decimales.

Las tarifas continúan aumentando en la misma proporción.

b) Encuentre las tarifas pagadas para 2006.

Un estudiante asiste a la escuela durante ocho años, a partir de 2000.

c) Encuentre las tarifas totales pagadas durante estos ocho años.

Ver solución

a) En una progresión geométrica la razón es el cociente entre dos términos consecutivos.

$r = \frac{8320}{8000} = 1, 04$
Comprobación con el siguiente par: $\frac{8652 , 80}{8320} = 1, 04$ .

Resultado a): $r = 1, 04$

b) 2000 es el término $u_{1} = 8000$ , así que 2006 es el término $u_{7}$ .

Fórmula: $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ .
$u_{7} = 8000 \cdot 1, 0 4^{6} = 8000 \cdot 1, 2653 \dots = 10122, 55$

Resultado b): $10122,55

c) Ocho años son los ocho primeros términos: suma de una progresión geométrica.

Fórmula: $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ .
$S_{8} = \frac{8000 ( 1 , 0 4 ^{8} - 1 )}{0 , 04} = \frac{8000 \cdot 0 , 368569}{0 , 04} = 73713, 81$

Resultado: a) $r = 1, 04$ ; b) $10122,55; c) $73713,81

Ejercicio 54 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2006

Annie va a comenzar a trabajar. Va a ganar $ 26.000 durante el primer año y su salario anual aumentará un 3 % cada año.

a) Calcule cuánto ganará Annie durante su quinto año de trabajo.

Annie gasta $ 24.800 de lo que gana en su primer año de trabajo. En los años siguientes, el costo de vida aumentará 5 % al año debido a la inflación.

b) (i) Calcule en cuántos años Annie va a gastar más de lo que va a ganar.

(ii) ¿En cuánto superarán los gastos a los ingresos ese año?

Ver solución

El salario sigue una progresión geométrica de primer término $26000$ y razón $1, 03$ : $u_{n} = 26000 \cdot 1, 0 3^{n - 1}$ .
Quinto año: $u_{5} = 26000 \cdot 1, 0 3^{4} = 29263, 23 \dots$

Resultado a): $ 29 263,23.

Los gastos también forman una progresión geométrica: $g_{n} = 24800 \cdot 1, 0 5^{n - 1}$ .
Los gastos superan a los ingresos cuando $24800 \cdot 1, 0 5^{n - 1} > 26000 \cdot 1, 0 3^{n - 1}$ . Se lo pedimos a la CPG (tabla o intersección de las dos curvas): se cortan en $n \approx 3, 46$ .
Comprobamos con valores enteros:
- Año 3: ingresos $26000 \cdot 1, 0 3^{2} = 27583, 40$ ; gastos $24800 \cdot 1, 0 5^{2} = 27342, 00$ . Todavía gana más de lo que gasta.
- Año 4: ingresos $26000 \cdot 1, 0 3^{3} = 28410, 90$ ; gastos $24800 \cdot 1, 0 5^{3} = 28709, 10$ . Ya gasta más.
(i) Es en el cuarto año de trabajo, es decir, a los 4 años.
(ii) La diferencia es $28709, 10 - 28410, 90 = 298, 20 \approx 298$ .

Resultado: a) $ 29 263,23; b) (i) en el 4.º año; (ii) los gastos superan a los ingresos en unos $ 298.

Ejercicio 55 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

Herman se hizo socio de un club de tenis en el año 2000. La cuota era de £ 1200 al año. Cada año se incrementa en un 3 %.

a) Calcule la cuota del año 2002, aproximando a las unidades en libras esterlinas (£).

b) Calcule la cantidad total que pagará Herman en cuotas, si se hizo socio del club en el año 2000 y es miembro del mismo durante cinco años.

Ver solución

Las cuotas forman una progresión geométrica de primer término $1200$ (año 2000) y razón $1, 03$ : $u_{n} = 1200 \cdot 1, 0 3^{n - 1}$ .
El año 2002 es el tercer año, $n = 3$ : $u_{3} = 1200 \cdot 1, 0 3^{2} = 1273, 08$ .
A las unidades: $1273$ .

Resultado a): £ 1273.

Cinco años de cuotas: suma de los 5 primeros términos de la progresión geométrica, $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ .
$S_{5} = \frac{1200 ( 1 , 0 3 ^{5} - 1 )}{0 , 03} = 6370, 97 \dots$

Resultado b): £ 6370,97 en total (unos £ 6371).

Ejercicio 56 DifícilIB · P2 TZ0 Mayo 2007

Una progresión geométrica $G_{1}$ tiene como primer término 1 y como razón común 3.

a) La suma de los $n$ primeros términos de $G_{1}$ es igual a 29 524. Halle $n$ .

Una segunda progresión geométrica $G_{2}$ es de la forma $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots, 1$ ,

b) Establezca la razón común de $G_{2}$ .

c) Calcule la suma de los 10 primeros términos de $G_{2}$ .

d) Explique por qué el resultado de la suma de los 1000 primeros términos de $G_{2}$ es el mismo que el de la suma de los 10 primeros términos, cuando se redondea el resultado a tres cifras significativas.

e) Utilizando los resultados obtenidos en los apartados (a) a (c) o bien con cualquier otro método, calcule la suma de los 10 primeros términos de la progresión $2, 3 \frac{1}{3}, 9 \frac{1}{9}, 27 \frac{1}{27}, \dots, 2$ .

Dé la respuesta redondeando a 1 cifra decimal.

Ver solución

a) 1. Suma geométrica: $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{3 ^{n} - 1}{2}$ . 2. $\frac{3 ^{n} - 1}{2} = 29524 \Rightarrow 3^{n} = 59049$ . 3. Como $3^{10} = 59049$ , $n = 10$ . (También se puede resolver con la CPG la ecuación $\frac{3 ^{n} - 1}{2} = 29524$ .)

Resultado a): $n = 10$ .

b) La razón es el cociente de dos términos consecutivos: $r = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$ .

Resultado b): $r = \frac{1}{3}$ .

c) 1. $S_{10} = \frac{1 \cdot ( 1 - ( \frac{1}{3} ) ^{10} )}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} (1 - \frac{1}{59049})$ . 2. $S_{10} \approx 1, 49997 \dots$ , que a 3 cifras significativas es $1, 50$ .

Resultado c): $S_{10} \approx 1, 50$ .

d) 1. Cada término de $G_{2}$ es $(\frac{1}{3})^{k - 1}$ ; a partir del décimo son extremadamente pequeños. 2. Los términos del 11 al 1000 suman menos de $\frac{( 1/3 ) ^{10}}{1 - 1/3} \approx 0, 000025$ , cantidad que no altera las tres primeras cifras significativas. 3. Además, $(\frac{1}{3})^{1000} \approx 0$ , por lo que $S_{1000} = \frac{1 - ( \frac{1}{3} ) ^{1000}}{1 - \frac{1}{3}} \approx \frac{1}{2/3} = 1, 5$ . 4. Así, $S_{10}$ y $S_{1000}$ valen ambas $1, 50$ con tres cifras significativas.

Resultado d): los términos añadidos después del décimo son despreciables y ambas sumas se redondean a $1, 50$ .

e) 1. Los términos de la nueva progresión son $2 = 1 + 1$ , $3 \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3}$ , $9 \frac{1}{9} = 9 + \frac{1}{9}$ , etc.; es decir, el término $k$ es $3^{k - 1} + (\frac{1}{3})^{k - 1}$ (suma de los términos de $G_{1}$ y $G_{2}$ ). 2. Su suma de 10 términos es la suma de las de $G_{1}$ y $G_{2}$ : $29524 + 1, 49997 \dots = 29525, 49997 \dots$ 3. Redondeando a una cifra decimal: $29525, 5$ .

Resultado e): $29525, 5$ .

Resultado: $n = 10$ ; $r = \frac{1}{3}$ ; $S_{10} \approx 1, 50$ ; $S_{10}$ de la nueva progresión $= 29525, 5$ .

Ejercicio 57 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2019

John compra una bicicleta nueva por 880 dólares estadounidenses (USD) y la paga con una tarjeta de crédito canadiense. Hay una comisión del 4.2% cobrada a John por la compañía de la tarjeta de crédito para convertir esta compra en dólares canadienses (CAD). El tipo de cambio es 1 USD = 1,25 CAD.

a) Calcule, en CAD, la cantidad total que Juan paga por la bicicleta.

John asegura su bicicleta con una empresa estadounidense. La compañía de seguros produce la siguiente tabla para el valor de la bicicleta durante cada año.

Año	Valor de la bicicleta (USD)
1.º	880
2.º	704
3.º	563,20
…

Los valores de la bicicleta forman una progresión geométrica.

b) Encuentre el valor de la bicicleta durante el quinto año. Dé su respuesta con dos decimales.

c) Calcule, en años, cuándo el valor de la bicicleta será inferior a 50 USD.

Durante el primer año, John paga 120 USD para asegurar su bicicleta. Cada año la cantidad que paga para asegurar su bicicleta se reduce en 3,50 USD.

d) Calcule la cantidad total que John ha pagado para asegurar su bicicleta durante los primeros 5 años.

John compró la bicicleta en 2008.

e) Justifique por qué John no debería asegurar su bicicleta en 2019.

Ver solución

Precio en CAD: $880 \cdot 1, 25 = 1100$ CAD.
La comisión del $4, 2 %$ se suma: $1100 \cdot 1, 042 = 1146, 20$ .

Resultado a): John paga $1146, 20$ CAD.

Razón común: $r = \frac{704}{880} = 0, 8$ (y $\frac{563 , 20}{704} = 0, 8$ ).
Término general: $u_{n} = 880 \cdot 0, 8^{n - 1}$ .
Quinto año: $u_{5} = 880 \cdot 0, 8^{4} = 880 \cdot 0, 4096 = 360, 448$ .

Resultado b): $360, 45$ USD.

Se plantea $880 \cdot 0, 8^{n - 1} < 50$ , es decir, $0, 8^{n - 1} < 0, 056818$ .
Se resuelve (con logaritmos o con una tabla de valores en la CPG). Con logaritmos, como $ln 0, 8 < 0$ se invierte la desigualdad: $n - 1 > \frac{ln 0 , 056818}{ln 0 , 8} = 12, 85.$
El primer entero es $n - 1 = 13$ , luego $n = 14$ . Comprobación: $u_{13} = 880 \cdot 0, 8^{12} = 60, 54 > 50$ y $u_{14} = 880 \cdot 0, 8^{13} = 48, 43 < 50$ .

Resultado c): el valor es inferior a $50$ USD durante el $14 .^{o}$ año, es decir, una vez transcurridos $13$ años.

Los pagos del seguro forman una progresión aritmética con $u_{1} = 120$ y $d = - 3, 50$ .
Suma de los $5$ primeros términos: $S_{5} = \frac{5}{2} [2 \cdot 120 + (5 - 1) (- 3, 5)] = 2, 5 (240 - 14) = 565$ .

Resultado d): $565$ USD.

Si se compró en 2008 (año 1), el año 2019 es el año $12$ .
Valor de la bicicleta: $u_{12} = 880 \cdot 0, 8^{11} = 75, 59$ USD.
Seguro de ese año: $120 - 3, 5 \cdot 11 = 81, 50$ USD.
El seguro cuesta más que lo que vale la bicicleta, ya que $81, 50 > 75, 59$ .

Resultado e): en 2019 la prima del seguro ( $81, 50$ USD) es mayor que el valor de la bicicleta ( $75, 59$ USD), así que no compensa asegurarla.

Interés simple y compuesto

Ejercicio 58 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

Dos hermanos, Adam y Ben, heredan $ 6500 cada uno. Adam invierte su dinero en un bono que paga interés simple a una tasa del 5% anual. Ben invierte su dinero en un banco que paga interés compuesto a una tasa del 4,5% anual.

a) Calcule el valor de la inversión de Adán al final de los 6 años.

b) Calcule el valor de la inversión de Ben al final de 6 años. Dé su respuesta aproximada a 2 lugares decimales.

Ver solución

Con interés simple, el interés es el mismo cada año: $I = C \cdot r \cdot t = 6500 \cdot 0, 05 \cdot 6 = 1950$ .
Valor final $= 6500 + 1950 = 8450$ .

Resultado a): $ 8450.

Con interés compuesto anual, $V = C (1 + \frac{r}{100})^{n}$ , con $C = 6500$ , $r = 4, 5$ , $n = 6$ .
$V = 6500 \cdot 1, 04 5^{6} = 8464, 69 \dots$

Resultado b): $ 8464,69.

Ejercicio 59 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

Andrew invierte 20000 francos suizos en un banco que ofrece un interés simple del 2% anual durante 8 años.

a) Encuentre el interés que tiene después de estos 8 años.

Philip invierte 20000 francos suizos durante 6 años en un banco a una tasa nominal del 5% de interés compuesto trimestral.

b) Encuentre la cantidad total en la cuenta de Felipe después de estos 6 años.

Ver solución

Interés simple: $I = C \cdot r \cdot t = 20000 \cdot 0, 02 \cdot 8$ .
$I = 3200$ .

Resultado a): 3200 francos suizos.

Interés compuesto trimestral: hay $k = 4$ periodos al año, así que en $6$ años hay $n = 4 \cdot 6 = 24$ periodos y el tipo por periodo es $5/4 = 1, 25 %$ .
$V = 20000 (1 + \frac{5}{400})^{24} = 20000 \cdot 1, 012 5^{24}$ .
$V = 26947, 0 \dots$ (valor que da la CPG con sus utilidades financieras: $N = 6$ , $I % = 5$ , $P V = - 20000$ , $P / Y = C / Y = 4$ ).

Resultado b): 26 947 francos suizos.

Ejercicio 60 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2019

Devra invirtió $k$ dólares estadounidenses (USD) en una cuenta que paga una tasa de interés nominal Anual de 3,1%, compuesto mensualmente. Después de 6 años, tiene 1100 USD en la cuenta.

a) Calcule el valor de $k$ . Dé su respuesta con 2 lugares decimales.

Luego, Devra compró una computadora que costaba 1100 USD y la vendió 4 años después por 350 USD.

b) Encuentre la razón a la que la computadora se depreció por año.

Ver solución

Es interés compuesto con $n = 12$ periodos por año, tasa nominal $r = 3, 1 %$ y $6$ años, es decir, $72$ periodos mensuales. Se usa $F V = k (1 + \frac{r}{100 n})^{n t} .$
Se sustituye: $1100 = k (1 + \frac{3 , 1}{1200})^{72}$ .
Con la CPG (solucionador financiero) con $N = 6$ , $I % = 3, 1$ , $F V = 1100$ , $P / Y = C / Y = 12$ se obtiene $P V$ (en valor absoluto); o bien se despeja: $k = \frac{1100}{( 1 + \frac{3 , 1}{1200} ) ^{72}} = \frac{1100}{1 , 20413 \dots} = 913, 52.$

Resultado a): $k = 913, 52$ USD.

Depreciación anual constante en porcentaje: $V = V_{0} (1 - \frac{r}{100})^{t}$ .
Con $V_{0} = 1100$ , $V = 350$ y $t = 4$ : $350 = 1100 (1 - \frac{r}{100})^{4}$ .
Se despeja: $(1 - \frac{r}{100})^{4} = \frac{350}{1100} = 0, 31818 \dots$
Se extrae la raíz cuarta: $1 - \frac{r}{100} = 0, 3181 8^{1/4} = 0, 75105$ .
Por tanto $\frac{r}{100} = 0, 24895$ , es decir $r \approx 24, 9 %$ .

Resultado b): la computadora se depreció a razón de aproximadamente $24, 9 %$ por año.

Ejercicio 61 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2019

Siân invierte 50 000 dólares australianos (AUD) en una cuenta de ahorro que ofrece un tipo de interés nominal anual del 5,6 % compuesto mensualmente.

a) Calcule cuál será el valor de la inversión de Siân al cabo de cuatro años. Dé la respuesta redondeando a dos lugares decimales.

Transcurrido ese período de cuatro años, Siân saca 40 000 AUD de su cuenta de ahorro y utiliza este dinero para comprarse un coche. Sabemos que el coche se deprecia un 18 % cada año. Después de $t$ años, el coche tendrá un valor de 2500 AUD.

b) Halle el valor de $t$ .

Ver solución

Interés compuesto mensual: $n = 12$ , tasa $5, 6 %$ , $t = 4$ años, es decir, $48$ periodos.
$F V = 50000 (1 + \frac{5 , 6}{1200})^{48}$ .
Con la CPG (o con la calculadora): $F V = 50000 \cdot 1, 250419 \dots = 62520, 97$ .

Resultado a): $62520, 97$ AUD.

El coche vale al comprarlo $40000$ AUD y pierde un $18 %$ al año, así que cada año se multiplica por $0, 82$ : $40000 \cdot 0, 8 2^{t} = 2500.$
Se divide: $0, 8 2^{t} = \frac{2500}{40000} = 0, 0625$ .
Se toman logaritmos (o se resuelve la ecuación con la CPG): $t = \frac{ln 0 , 0625}{ln 0 , 82} = \frac{- 2 , 77259}{- 0 , 19845} = 13, 97.$

Resultado b): $t \approx 13, 97$ años (aproximadamente $14$ años).

Ejercicio 62 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2018

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos lugares decimales.

Karl invierte 1000 dólares estadounidenses (USD) en una cuenta que paga un interés nominal anual del $3, 5 %$ , compuesto trimestralmente. Karl deja el dinero en esa cuenta durante 5 años.

a) (i) Calcule la cantidad de dinero que Karl tendrá en la cuenta al cabo de 5 años;

(ii) Escriba la cantidad de intereses que habrá recibido al cabo de esos 5 años.

Karl decide donar estos intereses a una ONG de Francia. La ONG recibe 170 euros (EUR). El tipo de cambio es $1 USD = t EUR$ .

b) Calcule el valor de $t$ .

Ver solución

a) (i)

Interés compuesto trimestral: $n = 4$ , $t = 5$ años, $20$ periodos, tasa $3, 5 %$ .
$F V = 1000 (1 + \frac{3 , 5}{400})^{20} = 1000 \cdot 1, 19034 \dots = 1190, 34$ .

(ii)

Intereses $=$ cantidad final $-$ capital inicial $= 1190, 34 - 1000 = 190, 34$ .

Resultado a): (i) $1190, 34$ USD; (ii) $190, 34$ USD.

Se cumple $190, 34 \cdot t = 170$ .
$t = \frac{170}{190 , 34} = 0, 893 \dots \approx 0, 89$ .

Resultado b): $t = 0, 89$ EUR por cada USD.

Ejercicio 63 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

Nick tiene 150 000 $ en un fideicomiso. Todos los años, dona el $8 %$ del dinero que queda en el fideicomiso.

a) Determine el máximo número de años que Nick puede donar dinero, manteniendo por lo menos 50 000 $ en el fideicomiso.

Louise invierte 200 000 $ en una cuenta bancaria que paga un tipo de interés nominal del $5 %$ , compuesto trimestralmente, durante ocho años.

b) Calcule el valor de la inversión de Louise cuando finalice este periodo. Dé la respuesta redondeando al número de céntimos más próximo.

Ver solución

Cada año queda el $92 %$ del dinero, así que tras $n$ años hay $150000 \cdot 0, 9 2^{n}$ .
Se exige $150000 \cdot 0, 9 2^{n} \geq 50000$ , es decir, $0, 9 2^{n} \geq \frac{1}{3}$ .
Con logaritmos (se invierte la desigualdad porque $ln 0, 92 < 0$ ): $n \leq \frac{ln ( 1/3 )}{ln 0 , 92} = \frac{- 1 , 0986}{- 0 , 08338} = 13, 18.$
Comprobación: $150000 \cdot 0, 9 2^{13} = 50760 > 50000$ y $150000 \cdot 0, 9 2^{14} = 46700 < 50000$ .

Resultado a): puede donar durante un máximo de $13$ años.

Interés compuesto trimestral: $n = 4$ , $8$ años, $32$ periodos, tasa $5 %$ .
$F V = 200000 (1 + \frac{5}{400})^{32} = 200000 \cdot 1, 012 5^{32} = 200000 \cdot 1, 488131 \dots = 297626, 10$ .

Resultado b): $297626, 10$ $.

Ejercicio 64 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

Arthur y Jacob sueñan con tener una lancha rápida que cuesta 35300 euros (EUR). Arthur invirtió $x$ EUR en una cuenta que paga una tasa de interés nominal anual del $3, 6%$ , compuesto mensualmente. Después de 18 años, tendrá 35300 EUR en la cuenta.

a) Calcule el valor de la inversión inicial de Arthur, $x$ . Dé su respuesta con dos lugares decimales.

Jacob invirtió 9000 EUR durante $n$ años. La inversión tiene una tasa de interés nominal anual de $3, 2%$ y se capitaliza trimestralmente. Después de $n$ años, la inversión valdrá 35300 EUR.

b) Encuentre el valor de $n$ .

Ver solución

a) Interés compuesto mensual: $F V = P V (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$ con $F V = 35300$ , $r = 3, 6$ , $k = 12$ , $n = 18$ .

Escribimos la ecuación: $35300 = x (1 + \frac{3 , 6}{1200})^{12 \cdot 18} = x (1, 003)^{216}$ .
Despejamos $x$ (o se lo pedimos a la CPG con la herramienta de finanzas: $N = 216$ , $I % = 3, 6$ , $F V = 35300$ , $P V = ?$ , $P / Y = C / Y = 12$ ): $x = \frac{35300}{1 , 00 3 ^{216}} \approx 18483, 03$ .

Resultado a): $x = 18483, 03$ EUR.

b) Interés compuesto trimestral ( $k = 4$ , tasa por trimestre $\frac{3 , 2}{4} = 0, 8%$ ):

Planteamos $9000 (1, 008)^{4 n} = 35300$ .
Dividimos: $(1, 008)^{4 n} = \frac{35300}{9000} \approx 3, 9222$ .
Resolvemos con la CPG (resolución de ecuaciones o la herramienta de finanzas con $P V = - 9000$ , $F V = 35300$ , $I % = 3, 2$ , $P / Y = C / Y = 4$ ) o con logaritmos: $4 n = \frac{ln 3 , 9222}{ln 1 , 008} \approx 171, 5$ .
Entonces $n \approx 42, 9$ años, es decir, unos $43$ años.

Resultado: a) $x = 18483, 03$ EUR; b) $n \approx 42, 9$ años (aprox. $43$ años).

Ejercicio 65 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

Juan se compra una bicicleta en las rebajas. A Juan le hacen un descuento del $30 %$ sobre el precio original y paga por la bicicleta 560 dólares estadounidenses (USD).

a) Calcule cuál era el precio original de la bicicleta.

Para poder comprarse la bicicleta, Juan pide un préstamo de 560 USD durante 6 meses con un tipo de interés anual nominal del $75 %$ , compuesto mensualmente. Juan cree que la cantidad total que tendrá que pagar será menor que el precio original de la bicicleta.

b) Calcule la diferencia entre el precio original de la bicicleta y la cantidad total que Juan acabará pagando.

Ver solución

a) El precio pagado es el $70%$ del original (descuento del $30%$ ).

$0, 70 \cdot P = 560$ .
$P = \frac{560}{0 , 7} = 800$ .

Resultado a): el precio original era $800$ USD.

b) Interés compuesto mensual: tasa mensual $\frac{75}{12} = 6, 25%$ , durante $6$ meses.

Cantidad a pagar: $560 (1 + 0, 0625)^{6} = 560 \cdot 1, 062 5^{6} \approx 805, 68$ USD.
Comparamos con el precio original: $805, 68$ es mayor que $800$ , así que Juan se equivocaba: pagará más que el precio original.
Diferencia: $805, 68 - 800 = 5, 68$ USD, es decir, unos $6$ USD de más.

Resultado: a) $800$ USD; b) Juan pagará unos $5, 68$ USD (aprox. $6$ USD) más que el precio original.

Ejercicio 66 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2016

En esta pregunta, dé todas las respuestas correctas con dos decimales.

Diogo depositó 8000 pesos argentinos, ARS, en una cuenta bancaria que paga una tasa nominal de interés anual del $15%$ , compuesto mensualmente.

a) Encuentre cuánto interés ha ganado Diogo después de 2 años.

Carmen también depositó ARS en una cuenta bancaria. Su cuenta paga una tasa de interés anual nominal del $17%$ , compuesta anualmente. Después de tres años, el monto total en la cuenta de Carmen es de 10000 ARS.

b) Encuentre la cantidad que Carmen depositó en la cuenta bancaria.

Ver solución

a) Interés compuesto mensual: $k = 12$ , tasa mensual $\frac{15}{12} = 1, 25%$ , $n = 2$ años, es decir, $24$ periodos.

Valor final: $8000 (1, 0125)^{24} \approx 10778, 81$ ARS.
Interés ganado = valor final $-$ depósito: $10778, 81 - 8000 = 2778, 81$ .

Resultado a): $2778, 81$ ARS de interés.

b) Interés compuesto anual al $17%$ durante $3$ años.

$10000 = C (1, 17)^{3}$ .
$C = \frac{10000}{1 , 1 7 ^{3}} = \frac{10000}{1 , 601613} \approx 6243, 71$ .

Resultado: a) $2778, 81$ ARS; b) $6243, 71$ ARS.

Ejercicio 67 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2016

Obi viaja de Dubái a Pretoria y, para ello, cambia en un banco 2000 dírhams de Emiratos Árabes Unidos (AED). A cambio recibe 6160 rands sudafricanos (ZAR). El tipo de cambio aplicado es $1 AED = x ZAR$ .

a) Calcule el valor de $x$ .

Obi decide invertir la mitad del dinero que ha recibido, es decir, 3080 ZAR, en una cuenta donde le pagan un tipo de interés nominal del $9 %$ , compuesto mensualmente. La cantidad de dinero que hay en la cuenta se habrá duplicado antes de que finalice el $n$ -ésimo año de inversión.

b) Calcule el mínimo valor de $n$ .

Ver solución

a) El tipo de cambio es la cantidad de ZAR que se recibe por cada AED.

$x = \frac{6160}{2000} = 3, 08$ .

Resultado a): $x = 3, 08$ ZAR por AED.

b) Tasa mensual $\frac{9}{12} = 0, 75%$ . Con $m$ meses de inversión:

Condición de duplicar: $3080 (1, 0075)^{m} = 6160$ , es decir, $(1, 0075)^{m} = 2$ .
Con la CPG (resolución de ecuaciones o tabla de valores) o con logaritmos: $m = \frac{ln 2}{ln 1 , 0075} \approx 92, 76$ meses.
El dinero se duplica entre los meses $92$ y $93$ . Como $92, 76$ meses son $7, 73$ años, el duplicado ocurre durante el octavo año.
Comprobación: al final del año $7$ (mes $84$ ) hay $3080 \cdot 1, 007 5^{84} \approx 5772, 6 < 6160$ ; al final del año $8$ (mes $96$ ) hay $3080 \cdot 1, 007 5^{96} \approx 6309, 7 > 6160$ .

Resultado: a) $x = 3, 08$ ; b) $n = 8$ (se duplica antes de que acabe el octavo año).

Ejercicio 68 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2015

Pierre invierte 5000 euros en un depósito fijo que paga un tipo de interés nominal anual del $4, 5%$ , compuesto mensualmente, durante siete años.

a) Calcule el valor de la inversión de Pierre al final de este tiempo. De su respuesta correcto con dos lugares decimales.

Carla tiene 7000 dólares para invertir en un depósito fijo que se capitaliza anualmente. Ella quiere a duplicar su dinero después de 10 años.

b) Calcule la tasa de interés anual mínima necesaria para que Carla logre su objetivo.

Ver solución

a) Interés compuesto mensual: tasa mensual $\frac{4 , 5}{12} = 0, 375%$ , $7 \cdot 12 = 84$ periodos.

$5000 (1, 00375)^{84} \approx 6847, 26$ .

Resultado a): $6847, 26$ euros.

b) Interés compuesto anual, queremos $7000 \to 14000$ en $10$ años.

$7000 (1 + \frac{r}{100})^{10} = 14000$ .
$(1 + \frac{r}{100})^{10} = 2$ , de donde $1 + \frac{r}{100} = 2^{1/10} \approx 1, 0718$ .
(También se puede resolver con la CPG.) Así $r \approx 7, 18$ .

Resultado: a) $6847, 26$ euros; b) tasa mínima $r \approx 7, 18%$ anual.

Ejercicio 69 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2015

Minta deposita 1000 euros en una cuenta bancaria. El banco paga una tasa de interés $5%$ nominal anual, compuesto trimestralmente.

a) Calcule la cantidad de dinero que Minta tendrá en su cuenta después de 3 años. Dé su respuesta aproximada con dos dígitos después del punto decimal.

Minta retirará el dinero de su cuenta bancaria cuando el interés devengado sea de 300 euros.

b) Calcule el tiempo, en años, hasta que Minta retira el dinero de su cuenta bancaria.

Ver solución

a) Interés compuesto trimestral: tasa por trimestre $\frac{5}{4} = 1, 25%$ , $3 \cdot 4 = 12$ trimestres.

$1000 (1, 0125)^{12} \approx 1160, 75$ .

Resultado a): $1160, 75$ euros.

b) El interés es de $300$ euros cuando el saldo es $1300$ euros.

$1000 (1, 0125)^{4 t} = 1300$ , luego $(1, 0125)^{4 t} = 1, 3$ .
Con la CPG (ecuación o herramienta de finanzas) o con logaritmos: $4 t = \frac{ln 1 , 3}{ln 1 , 0125} \approx 21, 12$ trimestres.
$t = \frac{21 , 12}{4} \approx 5, 28$ años.

Resultado: a) $1160, 75$ euros; b) $t \approx 5, 28$ años.

Ejercicio 70 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2014

Ludmila obtiene un préstamo de 320 000 reales brasileños (BRL) de un banco durante dos años a una tasa de interés nominal anual del $10%$ , compuesto semestralmente.

a) Escriba la cantidad de veces que se agrega interés al préstamo en los dos años.

b) Calcule la cantidad exacta de dinero que Ludmila debe reembolsar al final de los dos años.

Ludmila estima que deberá reembolsar 360 000 BRL al final de los dos años.

c) Calcule el error porcentual en su estimación.

Ver solución

a) Capitalización semestral: $2$ veces al año.

En $2$ años: $2 \cdot 2 = 4$ veces.

Resultado a): $4$ veces.

b) Tasa por semestre: $\frac{10}{2} = 5%$ , con $4$ periodos.

$320000 (1, 05)^{4} = 320000 \cdot 1, 21550625 = 388962$ .

Resultado b): $388962$ BRL.

c) Error porcentual $= \frac{v _{estimado} - v _{exacto}}{v _{exacto}} \cdot 100$ .

$\frac{360000 - 388962}{388962} \cdot 100 = \frac{28962}{388962} \cdot 100 \approx 7, 45$ .

Resultado: a) $4$ veces; b) $388962$ BRL; c) error del $7, 45%$ .

Ejercicio 71 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

Mandzur, un granjero, solicita un préstamo para comprar un búfalo. Pide prestados 900.000 rieles Camboyanos (KHR) durante 2 años. La tasa de interés nominal anual es del $15%$ , compuesto mensualmente.

a) Encuentre el total de los intereses que debe pagar Mandzur. Dé su respuesta aproximada lo más próximo a 100 KHR.

b) Escriba su respuesta al apartado (a) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10, k \in Z$ .

Ver solución

a) Tasa mensual $\frac{15}{12} = 1, 25%$ , $24$ periodos.

Valor final: $900000 (1, 0125)^{24} \approx 1212615, 9$ KHR.
Intereses: $1212615, 9 - 900000 \approx 312615, 9$ .
Redondeando a las $100$ KHR más próximas: $312600$ .

Resultado a): $312600$ KHR.

b) Notación científica:

$312600 = 3, 126 \times 1 0^{5}$ .

Resultado: a) $312600$ KHR; b) $3, 126 \times 1 0^{5}$ .

Ejercicio 72 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2013

Jenny invirtió $ 20000 en una cuenta bancaria que pagaba un interés simple anual del $3, 5%$ . Ella retiró su inversión de la cuenta cuando su valor era de $ 31200.

a) Encuentre el número de años durante los cuales se invirtió el dinero.

Ramón invierte $ 18000 en una cuenta bancaria que paga $3.4%$ de interés nominal anual, compuesto trimestralmente.

b) Encuentre el número mínimo de años que Ramón debe invertir el dinero para que su inversión llegue al valor de $ 27000.

Ver solución

a) Interés simple: cada año se gana la misma cantidad, $I = P \cdot r$ .

Interés anual: $20000 \cdot 0, 035 = 700$ $ al año.
Interés total ganado: $31200 - 20000 = 11200$ $.
Número de años: $n = \frac{11200}{700} = 16$ .

Resultado a): $16$ años.

b) Interés compuesto: $F V = P V (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$ con $k = 4$ pagos al año, $r = 3, 4$ .

Planteamos $18000 (1 + \frac{3 , 4}{400})^{4 n} = 27000$ , es decir $18000 \cdot 1, 008 5^{4 n} = 27000$ .
Con la CPG (solucionador de ecuaciones, o la función financiera de TVM con $N$ desconocido) se obtiene $4 n \approx 47, 9$ , es decir $n \approx 11, 98$ años.
Como $n$ debe cumplir que la inversión llegue a $ 27000 y los intereses se abonan cada trimestre, hacen falta $48$ trimestres, que son $12$ años. (Con $11, 75$ años, 47 trimestres, aún no se alcanza.)

Resultado: a) $16$ años; b) $12$ años como mínimo.

Ejercicio 73 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2013

A Marcus le da su abuela 500 dólares australianos (AUD) por su 18º cumpleaños. Tiene previsto ingresar ese dinero en un banco que le ofrece, durante tres años, un tipo de interés nominal anual del $6, 0 %$ compuesto trimestralmente.

a) Calcule la cantidad total de intereses, en AUD, que cobraría Marcus durante estos tres años. Dé la respuesta redondeando a dos cifras decimales.

Marcus cobraría a lo largo de esos tres años los mismos intereses si ingresase los 500 AUD en un segundo banco que ofrece un interés compuesto anualmente.

b) Calcule el tipo de interés que ofrece ese segundo banco.

Ver solución

a) Capital final con interés compuesto trimestral: $k = 4$ , $n = 3$ , $r = 6%$ .

$F V = 500 (1 + \frac{6}{400})^{12} = 500 \cdot 1, 01 5^{12}$ .
Con la CPG: $F V = 597, 81$ AUD (aprox., $597, 809 \dots$ ).
Intereses: $597, 81 - 500 = 97, 81$ AUD.

Resultado a): $97, 81$ AUD.

b) En el segundo banco el capital final es el mismo, pero el interés se compone una vez al año durante 3 años.

Planteamos $500 (1 + \frac{r}{100})^{3} = 597, 809 \dots$
Dividimos entre 500: $(1 + \frac{r}{100})^{3} = 1, 195618 \dots$
Raíz cúbica: $1 + \frac{r}{100} = 1, 0614$ , de donde $r \approx 6, 14$ . (También se puede resolver con la CPG, con $N = 3$ , $I %$ desconocido y 1 pago por año.)

Resultado: a) $97, 81$ AUD; b) $r = 6, 14%$ anual.

Ejercicio 74 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2012

Veronica quiere hacer una inversión y acumular 25000 EUR durante un período de 18 años. Encuentra dos opciones de inversión. La opción 1 ofrece un interés simple del $5%$ anual.

a) Averigüe la cantidad exacta que tendrá en su cuenta después de 18 años, si invierte 12500 EUR con esta opción.

La opción 2 ofrece una tasa de interés nominal anual del $4%$ , compuesto mensualmente.

b) Encuentre la cantidad que Verónica tiene que invertir con la opción 2 para tener 25000 EUR en su cuenta después de 18 años. Dé su respuesta aproximada con dos decimales.

Ver solución

a) Interés simple: $F V = P V (1 + \frac{r n}{100})$ .

Interés anual: $12500 \cdot 0, 05 = 625$ EUR.
En 18 años: $625 \cdot 18 = 11250$ EUR.
Cantidad final: $12500 + 11250 = 23750$ EUR.

Resultado a): $23750$ EUR.

b) Aquí buscamos el capital inicial $P V$ : interés compuesto mensual, $k = 12$ , $n = 18$ , $r = 4%$ .

Número de periodos: $12 \cdot 18 = 216$ .
Ecuación: $P V (1 + \frac{4}{1200})^{216} = 25000$ .
Despejamos: $P V = \frac{25000}{( 1 + \frac{1}{300} ) ^{216}}$ .
Con la CPG (TVM con $P V$ desconocido, o calculando directamente): $P V \approx 12183, 39$ EUR.

Resultado: a) $23750$ EUR; b) $12183, 39$ EUR.

Ejercicio 75 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

Jackson invirtió 12.000 dólares australianos (AUD) en un banco que ofrecía interés simple a una tasa de interés anual de $r %$ .

El valor de la inversión de Jackson se duplicó después de 20 años.

a) Calcule el valor de $r$ .

Maddison invierte 15000 AUD en un banco que ofrece interés compuesto a una tasa de interés anual de 4.44%, compuesta trimestralmente.

b) Calcule el número de años que tardará la inversión de Maddison en triplicar el valor.

Ver solución

a) Con interés simple, duplicar el valor significa ganar $12000$ AUD de intereses en 20 años.

Interés anual: $\frac{12000}{20} = 600$ AUD.
Tasa: $r = \frac{600}{12000} \cdot 100 = 5$ .

Resultado a): $r = 5$ .

b) Interés compuesto trimestral ( $k = 4$ ), $r = 4, 44%$ . Triplicar significa llegar a $45000$ AUD.

Ecuación: $15000 (1 + \frac{4 , 44}{400})^{4 n} = 45000$ , es decir $1, 011 1^{4 n} = 3$ .
Con la CPG (TVM con $N$ desconocido, o resolviendo la ecuación) se obtiene $4 n \approx 99, 5$ trimestres, es decir $n \approx 24, 9$ años.
Como el interés se abona al final de cada trimestre, hacen falta $100$ trimestres completos, es decir $25$ años (a los $99$ trimestres aún no se ha triplicado).

Resultado: a) $r = 5$ ; b) $25$ años (aprox. $24, 9$ años).

Ejercicio 76 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Manisha pide prestado 200000 rupias indias (INR) a un prestamista durante 18 meses a una tasa anual del 15% de interés simple.

a) Calcule el interés que debe pagar Manisha al final de los 18 meses.

Kunal pide prestados 200000 INR al prestamista durante 18 meses a una tasa de interés anual del 15%, compuesto mensualmente.

b) Calcule la cantidad total que Kunal debe reembolsar al final de los 18 meses.

Dé su respuesta a la rupia más cercana.

Ver solución

a) Interés simple durante $18$ meses $= 1, 5$ años.

$I = 200000 \cdot 0, 15 \cdot 1, 5 = 45000$ .

Resultado a): $45000$ INR.

b) Interés compuesto mensual: $k = 12$ , $n = 1, 5$ , número de periodos $12 \cdot 1, 5 = 18$ .

$F V = 200000 (1 + \frac{15}{1200})^{18} = 200000 \cdot 1, 012 5^{18}$ .
Con la CPG: $F V \approx 250115, 5 \dots$ , que a la rupia más cercana es $250115$ .

Resultado: a) $45000$ INR; b) $250115$ INR.

Ejercicio 77 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

Astrid invierte 1200 euros a cinco años, con un tipo de interés (tasa de interés) nominal anual del 7,2%, compuesto mensualmente.

a) Halle los intereses que ha cobrado Astrid durante los cinco años que dura la inversión. Dé la respuesta redondeando a dos cifras decimales.

Helen invierte 1200 euros a cinco años, y se le aplica un tipo de interés (tasa de interés) anual simple. En total, cobra los mismos intereses que Astrid.

b) Halle el tipo de interés (tasa de interés) simple que se le ha aplicado a Helen.

Ver solución

a) Interés compuesto mensual: $k = 12$ , $5$ años $\Rightarrow 60$ periodos, tipo mensual $\frac{7 , 2}{12} = 0, 6%$ .

$F V = 1200 \cdot 1, 00 6^{60} \approx 1718, 15$ EUR.
Intereses: $1718, 15 - 1200 = 518, 15$ EUR.

Resultado a): $518, 15$ EUR.

b) Con interés simple, $I = P \cdot \frac{r}{100} \cdot n$ .

$518, 15 = 1200 \cdot \frac{r}{100} \cdot 5 = 60 r$ .
$r = \frac{518 , 15}{60} = 8, 64$ .

Resultado: a) $518, 15$ EUR; b) $8, 64%$ anual.

Ejercicio 78 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2009

Inge pide prestados 4500 € a 2 años.

a) El Banco 1 cobra interés compuesto a una tasa del 15% anual, compuesto trimestral.

Calcule la cantidad total a reembolsar al final de los 2 años.

Dé su respuesta aproximada a dos lugares decimales.

b) El Banco 2 cobra interés simple e Inge pagaría la misma cantidad total que para el banco 1.

Encuentre la tasa de interés que cobra el banco 2.

Ver solución

a) Compuesto trimestral: $k = 4$ , $n = 2$ años, tasa por trimestre $\frac{15}{4} = 3, 75 %$ .

$F V = 4500 (1 + \frac{15}{400})^{8} = 4500 \cdot 1, 037 5^{8}$
$F V = 4500 \cdot 1, 34247 \dots = 6041, 12$

Resultado a): 6041,12 €

b) Con interés simple se paga la misma cantidad, así que el interés es $6041, 12 - 4500 = 1541, 12$ .

$I = P V \cdot \frac{r}{100} \cdot n \Rightarrow 1541, 12 = 4500 \cdot \frac{r}{100} \cdot 2$
$r = \frac{1541 , 12}{90} = 17, 12$

Resultado: a) 6041,12 €; b) 17,1 % anual (simple)

Ejercicio 79 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2008

Emma deposita 8000 € en una cuenta bancaria que paga un tipo de interés nominal del 5% anual, compuesto trimestralmente.

a) Calcule la cantidad de dinero que Emma tendría en su cuenta después de 15 años.

Dé su respuesta redondeada al euro más cercano.

b) Después de un tiempo decide retirar el dinero de este banco. Tiene 9058,17 € en su cuenta.

Calcule la cantidad de meses que Emma había dejado el dinero en la cuenta.

Ver solución

a) $k = 4$ , $n = 15$ , tasa por trimestre $\frac{5}{4} = 1, 25 %$ .

$F V = 8000 (1 + \frac{5}{400})^{60} = 8000 \cdot 1, 012 5^{60}$
$F V = 8000 \cdot 2, 10718 \dots = 16857, 46$

Resultado a): 16857 €

b) 1. $8000 \cdot 1, 012 5^{m} = 9058, 17$ , donde $m$ es el número de trimestres. 2. Con la CPG (resolver la ecuación): $m = 10$ . (Comprobación: $8000 \cdot 1, 012 5^{10} = 9058, 17$ .) 3. Meses: $10 \cdot 3 = 30$ .

Resultado: a) 16857 €; b) 30 meses

Ejercicio 80 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

Eva invierte USD 2000, siendo el tipo de interés (tasa de interés) anual nominal del 8 %, compuesto semestralmente.

a) Calcule el valor de la inversión al cabo de 5 años, redondeando al valor entero de dólares más cercano.

Tony invierte USD 1500, siendo el tipo de interés (tasa de interés) nominal anual del 7,8 %, compuesto anualmente.

b) Halle el número de años completos que tardará en duplicar el valor de su inversión.

Ver solución

a) $k = 2$ , $n = 5$ , tasa semestral $\frac{8}{2} = 4 %$ .

$F V = 2000 (1 + \frac{8}{200})^{10} = 2000 \cdot 1, 0 4^{10}$
$F V = 2000 \cdot 1, 48024 = 2960, 49$

Resultado a): 2960 USD

b) Duplicar: $1500 \cdot 1, 07 8^{n} > 3000$ , es decir, $1, 07 8^{n} > 2$ .

Con la CPG, $1, 07 8^{n} = 2$ da $n \approx 9, 23$ .
Como piden años completos y debe superarse el doble: $n = 10$ . (Con $n = 9$ el valor es 2959,59 USD $< 3000$ ; con $n = 10$ es 3190,4 USD.)

Resultado: a) 2960 USD; b) 10 años

Ejercicio 81 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2006

Alex invierte 3.600 euros en una cuenta que paga una tasa de interés (tipo de interés) nominal del 5,4 % anual, compuesto mensualmente. El interés se agrega a la cuenta al final de cada mes.

a) Calcule el número de meses enteros que tardará en duplicarse la inversión de Alex.

b) (i) Calcule el valor de la inversión luego de nueve años.

(ii) Halle la tasa (o tipo) de interés simple anual que daría el mismo valor para la inversión después de nueve años.

Ver solución

a) Tasa mensual: $\frac{5 , 4}{12} = 0, 45 %$ .

Buscamos $n$ con $3600 \cdot 1, 004 5^{n} > 7200$ , es decir, $1, 004 5^{n} > 2$ .
Con la CPG, $1, 004 5^{n} = 2$ da $n \approx 154, 4$ .
Con $n = 154$ aún no se ha duplicado; con $n = 155$ sí.

Resultado a): 155 meses

b) (i) Nueve años son $12 \cdot 9 = 108$ meses.

$F V = 3600 \cdot 1, 004 5^{108} = 3600 \cdot 1, 62403 = 5846, 50$

Resultado (i): 5846,50 €

(ii) El interés ganado es $5846, 50 - 3600 = 2246, 50$ .

Interés simple: $2246, 50 = 3600 \cdot \frac{r}{100} \cdot 9$
$r = \frac{2246 , 50}{324} = 6, 93$

Resultado (ii): 6,93 % anual

Resultado: a) 155 meses; b) (i) 5846,50 €; (ii) 6,93 %

Ejercicio 82 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

a) 1 real brasileño (BRL) = 2,607 rands sudafricanos (ZAR). Redondeando las respuestas a dos cifras decimales,

(i) convierta 300 BRL a ZAR,

(ii) halle cuántos reales se necesitan para comprar 300 rands.

Marta ingresa en una cuenta de ahorros un regalo que le ha hecho su tío por valor de 150 reales. La cuenta de ahorros le paga una tasa de interés (tipo de interés) simple del $r$ % anual. El interés se va añadiendo a la cuenta al final de cada mes. Después de 9 meses, la cantidad en la cuenta de ahorros ascendió a 158,10 reales.

b) Halle el valor de $r$ .

Ver solución

a) (i) 1. $300 \cdot 2, 607 = 782, 10$

Resultado (i): 782,10 ZAR

(ii) 1. Dividimos entre el tipo de cambio: $\frac{300}{2 , 607} = 115, 07$

Resultado (ii): 115,07 BRL

b) 1. Interés ganado: $158, 10 - 150 = 8, 10$ reales. 2. 9 meses son $\frac{9}{12} = 0, 75$ años. 3. Interés simple: $8, 10 = 150 \cdot \frac{r}{100} \cdot 0, 75$ 4. $r = \frac{8 , 10}{1 , 125} = 7, 2$

Resultado: a) (i) 782,10 ZAR; (ii) 115,07 BRL; b) $r = 7, 2$

Ejercicio 83 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2005

Una familia de Malasia recibe un regalo de 4000 dólares australianos (AUD) de un primo que vive en Australia. Se convierte el dinero en ringgits malayos. El ringgit se cambia a 0,4504 AUD.

a) Calcule la cantidad de ringgits recibidos.

El dinero se invirtió durante 2 años y 6 meses al 5,2 % anual compuesto mensualmente.

b) Calcule la cantidad de interés percibido en esta inversión. Aproxime la respuesta a las unidades en ringgits.

Ver solución

Si $1$ ringgit $= 0, 4504$ AUD, para pasar de AUD a ringgits hay que dividir entre $0, 4504$ .
$4000/0, 4504 = 8880, 99 \dots$

Resultado a): 8880,99 ringgits.

Interés compuesto mensual: $k = 12$ , tiempo $2, 5$ años, luego $n = 12 \cdot 2, 5 = 30$ periodos, con tipo mensual $5, 2/12 %$ .
Capital final: $V = 8880, 99 (1 + \frac{5 , 2}{1200})^{30} = 10111, 06 \dots$
Interés $= 10111, 06 - 8880, 99 = 1230, 07 \dots$
Aproximando a unidades: $1230$ .

Resultado b): 1230 ringgits de interés.

Ejercicio 84 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

Bobby sale de América para viajar durante un año por Francia e Inglaterra. Considere los siguientes tipos de cambio:

1 dólar americano (USD) = 0,983 Euros

1 libra esterlina británica (GBP) = 1,59 Euros

a) Bobby cambia 500 USD en Euros.

(i) Calcule cuántos Euros recibe.

Gasta 328 Euros en Francia y cambia el resto en GBP.

(ii) Calcule cuántas GBP recibe.

Mientras está en Inglaterra, Bobby decide poner este dinero en un banco que le paga un 6 % de interés simple anual, y consigue un trabajo a tiempo parcial para cubrir sus gastos. Bobby se queda en Inglaterra durante seis meses.

b) Calcule el interés que recibe al cabo de los seis meses.

Ver solución

(i) De USD a euros se multiplica por $0, 983$ : $500 \cdot 0, 983 = 491, 5$ .
(ii) Tras gastar 328 euros quedan $491, 5 - 328 = 163, 5$ euros.
Como $1$ GBP $= 1, 59$ euros, para pasar a libras se divide entre $1, 59$ : $163, 5/1, 59 = 102, 83 \dots \approx 103$ GBP.

Interés simple: $I = C \cdot r \cdot t$ con $C = 102, 83$ GBP, $r = 0, 06$ y $t = 0, 5$ años (seis meses).
$I = 102, 83 \cdot 0, 06 \cdot 0, 5 = 3, 08 \dots$ GBP. Si se parte de las 103 GBP ya redondeadas, sale $3, 09$ .

Resultado: a) (i) 491,5 euros; (ii) $\approx$ 103 GBP; b) unos 3,08 GBP de interés (3,09 con 103 GBP).

Ejercicio 85 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

David invierte 6000 dólares australianos (AUD) en un banco que ofrece el 6 % de interés compuesto anual.

a) Calcule la cantidad de dinero que tendrá dentro de 10 años.

b) Al cabo de los 10 años, David retira 5000 AUD para invertirlos en otro banco que ofrece 8 % de interés compuesto anual. Calcule la cantidad total de dinero que tendrá en los dos bancos después de otro año más. Aproxime su respuesta al dólar australiano más cercano.

Ver solución

Interés compuesto anual: $V = 6000 \cdot 1, 0 6^{10}$ .
$V = 10745, 09 \dots$

Resultado a): unos 10 745 AUD.

Tras retirar 5000 AUD quedan en el primer banco $10745, 09 - 5000 = 5745, 09$ AUD, que durante un año más al $6 %$ pasan a $5745, 09 \cdot 1, 06 = 6089, 80$ .
Los 5000 AUD del segundo banco, durante un año al $8 %$ , pasan a $5000 \cdot 1, 08 = 5400$ .
Total: $6089, 80 + 5400 = 11489, 80 \approx 11490$ .

Resultado b): 11 490 AUD.

Ejercicio 86 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2000

Hassan invirtió 10000 CHF a la fecha de 1971. La tasa de interés era del 5% anual. ¿Cuánto interés en total habría ganado Hassan al final del año 1999 si

a) había retirado los intereses de su cuenta al final de cada año;

b) no había retirado los intereses de su cuenta al final de cada año.

Ver solución

Entre 1971 y el final de 1999 transcurren 28 años.

a) Retirando los intereses cada año, el capital sigue siendo 10000 CHF y se gana el mismo interés cada año.

Interés anual: $10000 \cdot 0, 05 = 500$ CHF.
En 28 años: $28 \cdot 500 = 14000$ CHF.

b) Sin retirar los intereses, hay interés compuesto.

Valor final: $10000 \cdot 1, 0 5^{28} \approx 39201, 29$ CHF.
Interés total: $39201, 29 - 10000 \approx 29201, 29$ CHF, es decir, unos 29200 CHF.

Resultado: a) 14000 CHF; b) $\approx 29200$ CHF.

Ejercicio 87 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2000

Miranti deposita $ 1000 en una cuenta de inversión que paga un 5% de interés por año.

a) ¿Cuál será el valor de la inversión después de 5 años si el interés es reinvertido?

b) ¿Cuántos años tardaría la inversión de Miranti de $ 1000 para duplicar su valor?

Al comienzo de cada año, Brenda deposita $ 1000 en una cuenta de inversión que paga un interés del 5% anual. El interés se calcula anualmente y se reinvierte.

c) ¿Cuánto habría en la cuenta de Brenda después de 5 años?

Ver solución

a) Con reinversión el interés es compuesto: $V = 1000 \cdot 1, 0 5^{5} = 1276, 28$ $.

b) Se busca $n$ con $1000 \cdot 1, 0 5^{n} = 2000$ , es decir, $1, 0 5^{n} = 2$ .

Resolvemos con la CPG (o con logaritmos): $n = \frac{ln 2}{ln 1 , 05} \approx 14, 2$ .
Como el interés se abona por años completos, la inversión supera el doble al cabo de 15 años (a los 14 años aún es $1000 \cdot 1, 0 5^{14} \approx 1979, 93 < 2000$ ).

c) Cada depósito de 1000 $ se hace al comienzo de un año, así que el primero gana 5 años de interés, el segundo 4, etc., y el último 1: $1000 \cdot 1, 0 5^{5} + 1000 \cdot 1, 0 5^{4} + 1000 \cdot 1, 0 5^{3} + 1000 \cdot 1, 0 5^{2} + 1000 \cdot 1, 05.$

Es una progresión geométrica con primer término $1050$ , razón $1, 05$ y 5 términos.
$S_{5} = \frac{1050 ( 1 , 0 5 ^{5} - 1 )}{1 , 05 - 1} \approx 5801, 91$ $.

Resultado: a) 1276,28 $; b) 15 años; c) 5801,91 $.

Ejercicio 88 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2000

John invierte $X$ USD en un banco. La tasa de interés determinada por el banco es del 6% anual, compuesto mensualmente.

a) Escriba, en función de $X$ , una expresión del valor de la inversión de John al cabo de un año.

b) ¿Qué tasa de interés, cuando se compone anualmente (en lugar de mensualmente) dará el mismo valor de la inversión de John del apartado (a)?. Dé su respuesta aproximada con tres cifras significativas.

Ver solución

a) El interés es del 6% anual compuesto mensualmente: $6%/12 = 0, 5%$ por mes, con 12 periodos al año. $V = X (1 + \frac{0 , 06}{12})^{12} = X \cdot 1, 00 5^{12} .$

b) Sea $r$ la tasa anual con capitalización anual. Debe cumplirse $X (1 + \frac{r}{100}) = X \cdot 1, 00 5^{12} .$

Cancelamos $X$ : $1 + \frac{r}{100} = 1, 00 5^{12} \approx 1, 0616778$ .
Entonces $\frac{r}{100} \approx 0, 0616778$ , luego $r \approx 6, 17%$ .

Resultado: a) $X \cdot 1, 00 5^{12}$ ; b) $r \approx 6, 17%$ .

Ejercicio 89 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2018

Dé sus respuestas a los apartados (b), (c) y (d) al número entero más cercano.

Harinder tiene 14 000 dólares estadounidenses (USD) para invertir durante un período de cinco años. El tiene dos opciones de cómo invertir el dinero.

Opción A: Invierte el monto total, en USD, en una cuenta de depósito fijo en un banco estadounidense. La cuenta paga una tasa de interés nominal anual de $r %$ , compuesto anualmente, para cinco años. El gerente del banco dice que esto le dará a Harinder un retorno de 17500 USD.

a) Calcule el valor de $r$ .

Opción B: Invierte el monto total, en rupias indias (INR), en una cuenta de depósito fijo en un banco indio. El dinero debe convertirse de USD a INR antes de invertirlo. El tipo de cambio es $1 USD = 66, 91 INR$ .

b) Calcule 14 000 USD en INR.

La cuenta en el banco indio paga una tasa de interés nominal anual del $5, 2%$ compuesto mensual.

c) Calcule el monto de esta inversión, en INR, en esta cuenta después de cinco años.

Harinder eligió la opción B. Al cabo de cinco años, Harinder volvió a convertir esta inversión en DÓLAR ESTADOUNIDENSE. El tipo de cambio, en ese momento, era $1 USD = 67, 16 INR$ .

d) Calcule cuánto dinero más, en USD, ganó Harinder eligiendo la opción B en lugar de la opción A.

Ver solución

Interés compuesto anual durante $5$ años: $14000 (1 + \frac{r}{100})^{5} = 17500$ .
$(1 + \frac{r}{100})^{5} = \frac{17500}{14000} = 1, 25$ .
$1 + \frac{r}{100} = 1, 2 5^{1/5} = 1, 04564$ , luego $r = 4, 56$ (también se puede obtener con el solucionador financiero de la CPG).

Resultado a): $r \approx 4, 56 %$ .

$14000 \cdot 66, 91 = 936740$ .

Resultado b): $936740$ INR.

Interés mensual: $n = 12$ , $t = 5$ años, $60$ periodos, tasa $5, 2 %$ .
$F V = 936740 (1 + \frac{5 , 2}{1200})^{60} = 936740 \cdot 1, 296202 \dots = 1214204$ .

Resultado c): $1214204$ INR.

Al volver a USD: $\frac{1214204}{67 , 16} = 18079, 27 \dots \approx 18079$ USD.
La opción A daba $17500$ USD.
Diferencia: $18079 - 17500 = 579$ .

Resultado d): con la opción B, Harinder ganó $579$ USD más.

Ejercicio 90 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2013

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos cifras decimales.

Arthur vive en Londres. El 1 de agosto de 2008 Arthur pagó 37500 euros (EUR) por un coche nuevo traído de Alemania. El precio de ese mismo coche en Londres era de 34075 libras esterlinas (GBP). El tipo de cambio vigente el 1 de agosto de 2008 era: 1 EUR $=$ 0,7234 GBP.

a) Calcule, en GBP, el precio que pagó Arthur por el coche.

b) Escriba, en GBP, cuánto dinero se ahorró Arthur por comprar el coche en Alemania.

El 1 de agosto de 2008 Arthur invirtió el dinero que se había ahorrado en un banco que pagaba un interés simple anual del 4,5 %.

c) Calcule, en GBP, cuál era el valor de la inversión de Arthur el 1 de agosto de 2012.

Entre el 1 de agosto de 2008 y el 1 de agosto de 2012 el coche de Arthur se fue depreciando con una tasa anual del 9 % de su valor.

d) Calcule, en GBP, cuál es el valor del coche de Arthur el 1 de agosto de 2009.

e) Compruebe que el valor del coche de Arthur el 1 de agosto de 2012 era de 18600 GBP, redondeando a la centena de GBP más próxima.

El 1 de agosto de 2012 Arthur vendió su coche por 18600 GBP y se compró un coche nuevo traído de Alemania por el que pagó 30500 EUR. Para comprar el coche nuevo, utilizó las 18600 GBP y el valor de la inversión que había realizado el 1 de agosto de 2008.

El tipo de cambio vigente el 1 de agosto de 2012 era: 1 EUR $=$ 0,8694 GBP.

f) Calcule cuánto dinero le sobra, en EUR, después de haber comprado el coche.

Ver solución

a) Convertimos euros a libras: $1 EUR = 0, 7234$ GBP.

$37500 \cdot 0, 7234 = 27127, 50$ .

Resultado a): $27127, 50$ GBP.

b) El ahorro es la diferencia entre el precio en Londres y lo que pagó:

$34075 - 27127, 50 = 6947, 50$ .

Resultado b): $6947, 50$ GBP.

c) Interés simple del $4, 5%$ anual durante 4 años (de agosto de 2008 a agosto de 2012).

Interés anual: $6947, 50 \cdot 0, 045 = 312, 6375$ .
En 4 años: $312, 6375 \cdot 4 = 1250, 55$ .
Valor: $6947, 50 + 1250, 55 = 8198, 05$ . (Equivale a $6947, 50 \cdot 1, 18$ .)

Resultado c): $8198, 05$ GBP.

d) El coche costó $27127, 50$ GBP y se deprecia un $9%$ anual, es decir, cada año vale el $91%$ del año anterior.

Tras un año: $27127, 50 \cdot 0, 91 = 24686, 025$ .

Resultado d): $24686, 03$ GBP.

e) Tras 4 años (de 2008 a 2012):

$27127, 50 \cdot 0, 9 1^{4} = 27127, 50 \cdot 0, 685750 \approx 18602, 67$ GBP.
Redondeado a la centena más próxima: $18600$ GBP.

Queda demostrado.

f) Dinero disponible el 1 de agosto de 2012, en GBP:

$18600 + 8198, 05 = 26798, 05$ GBP.
Precio del coche nuevo en GBP: $30500 \cdot 0, 8694 = 26516, 70$ GBP.
Sobrante: $26798, 05 - 26516, 70 = 281, 35$ GBP.
Pasamos a euros dividiendo entre $0, 8694$ : $\frac{281 , 35}{0 , 8694} = 323, 61$ EUR.

Resultado: a) $27127, 50$ GBP; b) $6947, 50$ GBP; c) $8198, 05$ GBP; d) $24686, 03$ GBP; e) demostrado ( $\approx 18600$ GBP); f) $323, 61$ EUR.

Ejercicio 91 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2011

Responda todas las respuestas de esta pregunta a la unidad monetaria entera más cercana.

En enero de 2008, Larry tenía 90000 dólares para invertir para su jubilación en enero de 2011. Invirtió 40000 USD en bonos del gobierno de EE. UU. que pagaron el 4% anual de interés simple.

a) Calcule el valor de la inversión de Larry en bonos del gobierno en enero de 2011.

Larry cambió esta inversión a rand sudafricano (ZAR) a un tipo de cambio de 1 USD $=$ 18.624 ZAR.

b) Calcule la cantidad que Larry recibió en ZAR del intercambio.

Cambió los 50000 USD restantes a rand sudafricanos (ZAR) en enero de 2008.

El tipo de cambio entre USD y ZAR fue 1 USD $=$ 10.608 ZAR. Había 2.5% de comisión cobrada en el intercambio.

c) Calcule el valor, en USD, de la comisión que pagó Larry.

d) Muestre que la cantidad que Larry tuvo que invertir es 517000 ZAR, aproximado al mil ZAR más cercano.

En enero de 2008, Larry depositó este dinero en una cuenta bancaria que pagaba intereses a una tasa nominal anual del 12%, compuesta mensualmente.

e) Encuentre el valor del dinero en la cuenta bancaria de Larry en enero de 2011.

Ver solución

a) Interés simple del $4%$ durante 3 años (enero 2008 a enero 2011).

Interés anual: $40000 \cdot 0, 04 = 1600$ .
En 3 años: $4800$ .
Valor: $40000 + 4800 = 44800$ .

Resultado a): $44800$ USD.

b) Cambio con $1 USD = 18, 624$ ZAR:

$44800 \cdot 18, 624 = 834355, 2$ .

Resultado b): $834355$ ZAR.

c) La comisión es el $2, 5%$ de los $50000$ USD cambiados:

$50000 \cdot 0, 025 = 1250$ .

Resultado c): $1250$ USD.

d) Cambiamos solo lo que queda tras pagar la comisión:

Dinero cambiado: $50000 - 1250 = 48750$ USD.
En rand: $48750 \cdot 10, 608 = 517140$ ZAR.
Al millar de ZAR más próximo: $517000$ ZAR.

Queda demostrado.

e) Interés compuesto mensual, $k = 12$ , $r = 12%$ , durante 3 años: $36$ periodos, tipo mensual del $1%$ .

$F V = 517000 (1 + \frac{12}{1200})^{36} = 517000 \cdot 1, 0 1^{36}$ .
Con la CPG: $F V \approx 739707$ .

Resultado: a) $44800$ USD; b) $834355$ ZAR; c) $1250$ USD; d) demostrado; e) $739707$ ZAR.

Ejercicio 92 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2011

Dé todas tus respuestas numéricas aproximadas con dos decimales.

El 1 de enero de 2005, Daniel invirtió 30000 AUD a una tasa de interés simple anual en una cuenta Ahorrador Regular. El 1 de enero de 2007, Daniel tenía 31650 AUD en la cuenta.

a) Calcule la tasa de interés.

El 1 de enero de 2005, Rebecca invirtió 30000 AUD en una cuenta en Supersaver con una tasa nominal anual del 2,5% compuesto anualmente.

b) Calcule la cantidad en la cuenta Supersaver después de dos años.

c) Encuentre el número de años completos desde el 1 de enero de 2005 para que la cantidad en la cuenta de Rebecca exceda la cantidad en la cuenta de Daniel.

El 1 de enero de 2007, Daniel reinvirtió el 80% del dinero del Ahorro Regular en una cuenta de Ahorro Extra a una tasa anual nominal del 3% compuesto trimestral.

d) (i) Calcule la cantidad de dinero reinvertida por Daniel el 1 de enero 2007.

(ii) Encuentre el número de años completos que se necesitarán para que la cantidad de Daniel en la cuenta de Ahorro Extra supere los 30000 AUD.

Ver solución

a) Interés simple: en 2 años (2005 a 2007) se ganaron $31650 - 30000 = 1650$ AUD.

Interés anual: $\frac{1650}{2} = 825$ AUD.
Tasa: $\frac{825}{30000} \cdot 100 = 2, 75$ .

Resultado a): $2, 75%$ .

b) Interés compuesto anual del $2, 5%$ , 2 años:

$30000 \cdot 1, 02 5^{2} = 31518, 75$ .

Resultado b): $31518, 75$ AUD.

c) Comparamos las dos cuentas año a año. Daniel: $30000 + 825 n$ . Rebecca: $30000 \cdot 1, 02 5^{n}$ . Resolvemos con la CPG (tabla de valores o gráficas de ambas funciones).

$n = 8$ : Daniel $36600$ ; Rebecca $36552, 08$ . Rebecca aún no supera.
$n = 9$ : Daniel $37425$ ; Rebecca $37465, 89$ . Rebecca ya supera.

Resultado c): $9$ años.

d) (i) Se reinvierte el $80%$ de $31650$ :

$0, 80 \cdot 31650 = 25320$ .

(ii) Interés compuesto trimestral, $k = 4$ , $r = 3%$ : tipo trimestral $0, 75%$ . Queremos $25320 \cdot 1, 007 5^{4 n} > 30000$ .

Con la CPG se obtiene $4 n > 22, 7$ , es decir hacen falta $23$ trimestres ( $5, 75$ años).
En años completos: tras $5$ años ( $20$ trimestres) hay $\approx 29401$ AUD, no basta; tras $6$ años ( $24$ trimestres) hay $\approx 30293$ AUD, ya supera $30000$ .

Resultado: a) $2, 75%$ ; b) $31518, 75$ AUD; c) $9$ años; d) (i) $25320$ AUD; (ii) $6$ años completos.

Ejercicio 93 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2010

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando al valor entero más próximo de la unidad monetaria correspondiente.

Ying y Ruby tienen cada uno 5000 USD para invertir.

Ying invierte sus 5000 USD en una cuenta bancaria que paga un tipo de interés (tasa de interés) nominal anual del 4,2 %, compuesto anualmente. Ruby invierte sus 5000 USD en una cuenta que ofrece un interés fijo, igual a 230 USD cada año.

a) Halle cuánto dinero tendrá Ruby en el banco al cabo de 3 años.

b) Compruebe que Ying tendrá en el banco 7545 USD al cabo de 10 años.

c) Halle el número de años completos que tendrán que pasar para que la inversión de Ying supere por primera vez los 6500 USD.

d) Halle el número de años completos que tendrán que pasar para que la inversión de Ying supere a la inversión de Ruby.

Ruby se traslada a vivir desde Estados Unidos a Italia. Por ello, transfiere 6610 USD a un banco italiano que aplica el siguiente tipo de cambio: 1 USD $=$ 0,735 euros. El banco le cobra una comisión del 1,8 %.

e) Calcule cuánto dinero tendrá Ruby para invertir en el banco italiano, una vez pagada dicha comisión.

Ruby vuelve a los Estados Unidos de vacaciones. Cambia 800 Euros en un banco en Chicago, y recibe 1006,20 USD. El banco tiene anunciado que aplica el siguiente tipo de cambio: 1 euro $=$ 1,29 USD.

f) Calcule la comisión, expresada como un porcentaje, que le cobran a Ruby en dicho banco.

Ver solución

a) El interés es fijo: 230 USD cada año.

Dinero tras 3 años: $5000 + 3 \cdot 230 = 5690$ .

Resultado a): 5690 USD

b) Interés compuesto anual: $F V = P V (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$ con $k = 1$ .

$F V = 5000 \cdot (1, 042)^{10}$
$F V = 5000 \cdot 1, 50896 \dots = 7544, 8 \approx 7545$ USD.

Queda demostrado.

c) Se busca el menor $n$ entero con $5000 \cdot 1, 04 2^{n} > 6500$ .

Dividimos entre 5000: $1, 04 2^{n} > 1, 3$ .
Con la CPG (tabla o resolviendo la ecuación) $1, 04 2^{n} = 1, 3$ da $n \approx 6, 38$ .
Comprobación: con $n = 6$ resultan 6400 USD (no supera); con $n = 7$ resultan 6668 USD (sí).

Resultado c): 7 años

d) Valor de Ruby tras $n$ años: $5000 + 230 n$ . Valor de Ying: $5000 \cdot 1, 04 2^{n}$ . Comparamos con la CPG.

$n = 5$ : Ying $= 6142$ ; Ruby $= 6150$ . Ying todavía no supera.
$n = 6$ : Ying $= 6400$ ; Ruby $= 6380$ . Ying ya supera.

Resultado d): 6 años

e) 1. Pasamos a euros: $6610 \cdot 0, 735 = 4858, 35$ €. 2. La comisión es del 1,8 %, así que queda el 98,2 %: $4858, 35 \cdot 0, 982 = 4770, 90$ .

Resultado e): 4771 €

f) 1. Sin comisión recibiría $800 \cdot 1, 29 = 1032$ USD. 2. Recibe 1006,20 USD, luego la comisión es $1032 - 1006, 20 = 25, 80$ USD. 3. Porcentaje: $\frac{25 , 80}{1032} \cdot 100 = 2, 5$ .

Resultado: a) 5690 USD; b) comprobado; c) 7 años; d) 6 años; e) 4771 €; f) 2,5 %

Ejercicio 94 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2010

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos cifras decimales.

Apartado A

Estela vive en Brasil y quiere cambiar 4000 BRL (reales brasileños) a GBP (libras esterlinas británicas). El tipo de cambio es 1,00 BRL $=$ 0,3071 GBP. El banco cobra un 3 % de comisión sobre la cantidad de BRL.

a) Halle, en BRL, cuánto dinero tiene Estela después de pagar la comisión.

b) Halle, en GBP, cuánto dinero recibe Estela.

Tras su viaje al Reino Unido, a Estela le han sobrado 400 GBP. En el aeropuerto vuelve a cambiar este dinero a BRL. El tipo de cambio es ahora 1,00 BRL $=$ 0,3125 GBP.

c) Halle, en BRL, cuánto dinero debería recibir Estela.

En realidad, y después de pagar una comisión, Estela acaba recibiendo 1216,80 BRL.

d) Halle, en BRL, qué comisión se le ha cobrado a Estela.

e) El porcentaje de comisión es el $t %$ . Halle el valor de $t$ .

Apartado B

Daniel invierte $1000 (dólares estadounidenses) en una cuenta que ofrece un tipo de interés nominal anual del 3,5 %, compuesto semestralmente.

a) Compruebe que después de tres años, Daniel tendrá en su cuenta $1109,70 (redondeando a dos cifras decimales).

b) Escriba el interés que recibe Daniel una vez transcurridos estos tres años.

Helen invierte $1000 en una cuenta que ofrece un interés simple anual.

c) Halle el tipo de interés simple anual necesario para que Helen tenga en su cuenta $1109,70 después de tres años.

Ver solución

Apartado A

a) 1. Comisión: 3 % de 4000 $= 120$ BRL. 2. Queda $4000 - 120 = 3880, 00$ BRL.

Resultado a): 3880,00 BRL

b) 1. $3880 \cdot 0, 3071 = 1191, 548$

Resultado b): 1191,55 GBP

c) 1. Como 1 BRL $= 0, 3125$ GBP, dividimos: $\frac{400}{0 , 3125} = 1280$ .

Resultado c): 1280,00 BRL

d) 1. Comisión $= 1280 - 1216, 80 = 63, 20$ .

Resultado d): 63,20 BRL

e) 1. $t = \frac{63 , 20}{1280} \cdot 100 = 4, 9375$

Resultado e): $t = 4, 94$

Apartado B

a) Capitalización semestral: $k = 2$ , $n = 3$ , tasa por periodo $\frac{3 , 5}{2} = 1, 75 %$ .

$F V = 1000 (1 + \frac{3 , 5}{200})^{6} = 1000 \cdot 1, 017 5^{6}$
$F V = 1000 \cdot 1, 10970 \dots = 1109, 70$

Queda demostrado.

b) 1. Interés $= 1109, 70 - 1000 = 109, 70$ .

Resultado b): $109,70

c) Interés simple: $I = P V \cdot \frac{r}{100} \cdot n$ .

$109, 70 = 1000 \cdot \frac{r}{100} \cdot 3$
$r = \frac{109 , 70}{30} = 3, 6566 \dots$

Resultado: A) a) 3880,00 BRL; b) 1191,55 GBP; c) 1280,00 BRL; d) 63,20 BRL; e) $t = 4, 94$ . B) a) comprobado; b) $109,70; c) $r = 3, 66 %$

Ejercicio 95 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2001

La siguiente tabla muestra los depósitos, en dólares australianos (AUD), realizados por Vicki en una cuenta de inversión el primer día de cada mes para los primeros cuatro meses en 1999. La tasa de interés es de 0,75% mensual compuesto mensual. El interés se agrega a la cuenta al final de cada mes.

Mes	Depósito (AUD)
Enero	600
Febrero	1300
Marzo	230
Abril	710

a) Muestre que la cantidad de dinero en la cuenta de Vicki al final de Febrero es AUD 1918.78.

b) Calcule la cantidad de dólares australianos en la cuenta de Vicki al final de abril.

Vicki no realiza retiros ni depósitos después del 1 de abril de 1999.

c) ¿Cuánto dinero hay en la cuenta de Vicki a fines de diciembre de 1999?

A partir del 1 de enero de 2000, el banco aplica un nuevo tipo de interés de 3,5% anual compuesto anualmente.

d) ¿En cuántos años completos después de diciembre de 1999 la inversión de Vicki supera los 3300 AUD?

Ver solución

El 1 de enero deposita $600$ ; al final de enero, con interés mensual del $0, 75 %$ : $600 \cdot 1, 0075 = 604, 50$ .
El 1 de febrero añade $1300$ : $604, 50 + 1300 = 1904, 50$ .
Al final de febrero: $1904, 50 \cdot 1, 0075 = 1918, 78 \dots$

Queda demostrado.

El 1 de marzo: $1918, 78 + 230 = 2148, 78$ . Final de marzo: $2148, 78 \cdot 1, 0075 = 2164, 90$ (sin redondear intermedios: $2164, 898 \dots$ ).
El 1 de abril: $2164, 898 + 710 = 2874, 898$ . Final de abril: $2874, 898 \cdot 1, 0075 = 2896, 46 \dots$

Resultado b): 2896,46 AUD.

De final de abril a final de diciembre pasan $8$ meses sin movimientos: $2896, 46 \cdot 1, 007 5^{8}$ .
$= 3074, 88 \dots$

Resultado c): 3074,88 AUD.

Desde enero de 2000, interés anual del $3, 5 %$ : tras $n$ años, $3074, 88 \cdot 1, 03 5^{n}$ .
Buscamos el menor $n$ entero con $3074, 88 \cdot 1, 03 5^{n} > 3300$ . Con la CPG (tabla de valores o resolviendo la ecuación) la igualdad se da en $n \approx 2, 05$ .
Comprobamos: $n = 2$ da $3074, 88 \cdot 1, 03 5^{2} = 3293, 9 < 3300$ ; $n = 3$ da $3074, 88 \cdot 1, 03 5^{3} = 3409, 3 > 3300$ .

Resultado d): 3 años completos.

Ejercicio 96 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2005

Ali, Bob y Connie quieren invertir 3000 USD (dólares de EE UU) cada uno.

Ali invierte sus 3000 USD en una entidad que ofrece un interés simple del 4,5% anual. El interés se hace efectivo al final de cada año.

Bob invierte sus 3000 USD en un banco que ofrece un interés compuesto anualmente a una tasa (tipo) del 4% anual. El interés se hace efectivo al final de cada año.

Connie invierte sus 3000 USD en otro banco que ofrece un interés compuesto semestralmente a una tasa (tipo) del 3,8% anual. El interés se hace efectivo al final de cada semestre.

a) Calcule la cantidad de dinero que tendrán Ali y Bob al principio del séptimo año.

b) Compruebe que, al principio del séptimo año, Connie tiene 3760,20 USD.

c) Calcule cuántos años le llevará a Bob tener 6000 USD en el banco.

Al principio del séptimo año, Connie se muda a Inglaterra. Connie hace una transferencia para pasar su dinero a un banco de allí, a una tasa de cambio de 1 USD=0,711 GBP (Libras esterlinas). El banco le carga un 2% de comisión.

d) (i) Calcule, en USD, la comisión que le carga el banco.

(ii) Calcule la cantidad de dinero, en GBP, que Connie transfiere al banco de Inglaterra.

Ver solución

a) Al principio del séptimo año han pasado 6 años completos.

Ali (interés simple): cada año recibe $3000 \cdot 0, 045 = 135$ USD. En 6 años: $3000 + 6 \cdot 135 = 3810$ USD.
Bob (interés compuesto anual): $V = 3000 \cdot (1 + \frac{4}{100})^{6} = 3000 \cdot 1, 0 4^{6} \approx 3795, 96$ USD, es decir, unos 3796 USD.

b) Connie capitaliza cada semestre, así que en 6 años hay $6 \cdot 2 = 12$ periodos, con tasa $3, 8%/2 = 1, 9%$ por semestre.

$V = 3000 \cdot (1 + \frac{3 , 8}{200})^{12} = 3000 \cdot 1, 01 9^{12}$ .
Con la calculadora: $3000 \cdot 1, 01 9^{12} \approx 3760, 20$ USD.

Queda demostrado.

c) Buscamos $n$ tal que $3000 \cdot 1, 0 4^{n} = 6000$ , es decir, $1, 0 4^{n} = 2$ .

Resolvemos la ecuación con la herramienta de la CPG (o con logaritmos): $n = \frac{ln 2}{ln 1 , 04} \approx 17, 7$ .
Hacen falta unos 17,7 años (en la práctica, el valor supera los 6000 USD durante el año 18).

d) (i) Comisión: $2%$ de $3760, 20$ , es decir, $0, 02 \cdot 3760, 20 = 75, 20$ USD.

(ii) 1. Dinero que queda tras la comisión: $3760, 20 - 75, 20 = 3685, 00$ USD. 2. Cambio a libras: $3685 \cdot 0, 711 = 2620, 035 \approx 2620, 04$ GBP.

Resultado: a) Ali 3810 USD, Bob $\approx$ 3796 USD; b) comprobado; c) $\approx 17, 7$ años; d) (i) 75,20 USD; (ii) $\approx 2620, 04$ GBP.

Depreciación y crecimiento

Ejercicio 97 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

La población de la ciudad de Nouméa, a finales de 2008, era de 97579 habitantes. Un año más tarde, a finales de 2009, la población de Nouméa era de 99 921 habitantes.

a) Halle la variación porcentual que se produjo en la población desde finales de 2008 hasta finales de 2009.

Suponga ahora que la población de Nouméa sigue creciendo con la misma tasa de variación porcentual.

b) Utilice la respuesta hallada en el apartado (a) para estimar cuál será la población a finales de 2016.

c) Escriba la respuesta hallada en el apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10, k \in Z$ .

Ver solución

a) Variación porcentual = $\frac{valor final - valor inicial}{valor inicial} \cdot 100$ .

$\frac{99921 - 97579}{97579} \cdot 100 = \frac{2342}{97579} \cdot 100 \approx 2, 40$ .

Resultado a): aumento del $2, 40%$ .

b) De finales de 2009 a finales de 2016 pasan $7$ años, con un crecimiento anual del $2, 4%$ (factor $1, 024$ ).

Población en 2016: $99921 \cdot (1, 024)^{7}$ .
$1, 02 4^{7} \approx 1, 18059$ , así que la población es $\approx 117966$ habitantes.

Resultado b): aproximadamente $117966$ habitantes.

c) Notación científica con $1 \leq a < 10$ :

$117966 = 1, 17966 \times 1 0^{5} \approx 1, 18 \times 1 0^{5}$ .

Resultado: a) $2, 40%$ ; b) $\approx 117966$ habitantes; c) $1, 18 \times 1 0^{5}$ .

Ejercicio 98 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2008

En un experimento se encontró que un cultivo de bacterias se triplica en número cada cuatro horas. Hay 200 bacterias al comienzo del experimento.

Horas	0	4	8	12	16
Nº de bacterias	200	600	$a$	5400	16200

a) Encuentre el valor de $a$ .

b) Calcule cuántas bacterias habrá después de un día.

c) Encuentre cuánto tiempo hará falta para que haya dos millones de bacterias.

Ver solución

a) Cada 4 horas se multiplica por 3: $a = 600 \cdot 3 = 1800$ . (Comprobación: $1800 \cdot 3 = 5400$ .)

Resultado a): $a = 1800$

b) Un día son 24 horas, es decir, $24/4 = 6$ periodos.

$N = 200 \cdot 3^{6} = 200 \cdot 729 = 145800$

Resultado b): 145800 bacterias

c) Con $t$ horas hay $N = 200 \cdot 3^{t /4}$ bacterias.

$200 \cdot 3^{t /4} = 2000000 \Rightarrow 3^{t /4} = 10000$
Tomando logaritmos (o resolviendo con la CPG): $\frac{t}{4} = \frac{ln 10000}{ln 3} = 8, 384$
$t = 4 \cdot 8, 384 = 33, 5$

Resultado: a) 1800; b) 145800; c) unas 33,5 horas

Ejercicio 99 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2003

Mario ha gastado $ 40000 en comprar unas tierras. Las tierras aumentan de valor en un 5 % todos los años.

(i) ¿Cuánto valen las tierras una vez pasados cinco años?

Pasados cinco años, Mario vende las tierras. Paga un impuesto del 1% sobre la venta y gasta el resto del dinero en un automóvil. El automóvil baja de valor a una tasa de $ 2500 por año.

(ii) ¿Cuánto paga Mario por impuestos?

(iii) ¿Cuánto vale el automóvil cinco años después de haberlo comprado Mario?

Ver solución

(i)

Aumento del 5 % anual: factor $1, 05$ cada año, así que $V = 40000 \cdot 1, 0 5^{5}$ .
$V = 51051, 26 \dots$

(ii)

El impuesto es el $1 %$ de la venta: $0, 01 \cdot 51051, 26 = 510, 51$ .

(iii)

Dinero que queda para el coche: $51051, 26 - 510, 51 = 50540, 75$ (o bien $0, 99 \cdot 51051, 26$ ).
Baja $ 2500 por año (progresión aritmética), así que en 5 años pierde $5 \cdot 2500 = 12500$ .
Valor: $50540, 75 - 12500 = 38040, 75$ .

Resultado: (i) $ 51 051,26; (ii) $ 510,51; (iii) $ 38 040,75.

Ejercicio 100 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2008

A lo largo de toda esta pregunta hay que dar todas las respuestas redondeando al número entero más cercano.

El Colegio Parque empezó a dar clases en enero de 2000, con 100 alumnos. Cada año completo, el número de alumnos aumenta un 6 %.

a) Halle el número de alumnos que tiene el Colegio Parque en

(i) enero de 2001;

(ii) enero de 2003.

b) Compruebe que en enero de 2007 el número de alumnos que tiene el Colegio Parque es igual a 150.

El Colegio Arboleda tenía 110 alumnos en enero de 2000. Cada año completo, el número de alumnos aumenta en 10 respecto al año anterior.

c) Halle el número de alumnos que tiene el Colegio Arboleda en enero de 2003.

d) Halle cuál será el primer año en el que el número de alumnos del Colegio Arboleda será un 60 % más que en enero de 2000.

Cada mes de enero, a uno de los dos colegios, aquel que tiene más alumnos, se le concede un dinero extra para que lo gaste en equipamiento deportivo.

e) (i) Decida qué colegio recibe este dinero en 2007. Justifique su respuesta.

(ii) Halle en qué año recibirá el Colegio Parque por primera vez este dinero extra.

Ver solución

El número de alumnos del Colegio Parque crece un 6 % cada año: es una progresión geométrica de primer término $100$ y razón $r = 1, 06$ , es decir, $P_{n} = 100 \cdot 1, 0 6^{n}$ , con $n$ los años transcurridos desde enero de 2000. El Colegio Arboleda crece en 10 alumnos cada año: es una progresión aritmética, $A_{n} = 110 + 10 n$ .

(i) De enero de 2000 a enero de 2001 pasa $n = 1$ año: $P_{1} = 100 \cdot 1, 06 = 106$ .
(ii) De 2000 a 2003 pasan $n = 3$ años: $P_{3} = 100 \cdot 1, 0 6^{3} = 119, 1016 \approx 119$ .

Resultado a): (i) 106 alumnos; (ii) 119 alumnos.

De 2000 a 2007 pasan $n = 7$ años.
$P_{7} = 100 \cdot 1, 0 6^{7} = 150, 363 \dots$
Redondeando al entero más cercano, $P_{7} = 150$ .

Queda demostrado.

De 2000 a 2003, $n = 3$ .
$A_{3} = 110 + 10 \cdot 3 = 140$ .

Resultado c): 140 alumnos.

Un 60 % más que en enero de 2000 significa $110 \cdot 1, 6 = 176$ alumnos.
Planteamos $110 + 10 n \geq 176$ , de donde $10 n \geq 66$ y $n \geq 6, 6$ .
Como $n$ es un número entero de años, el menor valor es $n = 7$ (en $n = 6$ hay solo 170 alumnos, que no llega a 176; en $n = 7$ hay 180).
$n = 7$ corresponde a enero de $2000 + 7 = 2007$ .

Resultado d): el año 2007.

(i) En 2007: Parque tiene $150$ alumnos y Arboleda tiene $110 + 10 \cdot 7 = 180$ . Como $180 > 150$ , el dinero lo recibe el Colegio Arboleda.
(ii) Buscamos el primer $n$ con $100 \cdot 1, 0 6^{n} > 110 + 10 n$ . Se lo pedimos a la CPG (tabla de valores de ambas funciones, o intersección de sus gráficas), o probamos valores:
- $n = 18$ : $P_{18} = 285, 4 \dots$ y $A_{18} = 290$ . Aún gana Arboleda.
- $n = 19$ : $P_{19} = 302, 56 \dots$ y $A_{19} = 300$ . Ya gana Parque.
El primer $n$ en que Parque supera a Arboleda es $n = 19$ , que corresponde a enero de $2000 + 19 = 2019$ .

Resultado e): (i) Colegio Arboleda; (ii) el Colegio Parque lo recibe por primera vez en el año 2019.

Cambio de divisas

Ejercicio 101 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2019

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando al número entero más próximo. Criselda viajó a Kota Kinabalu, en Malasia. En el aeropuerto vio la siguiente información en la oficina de cambio de divisas.

Cambio de divisas – ringgit malasio (MYR)	Venta	Compra
1 dólar de Singapur (SGD)	3,22	3,07
1 dólar estadounidense (USD)	4,45	4,25

Esto significa que en esta oficina de cambio de divisas compran USD a los viajeros y, a cambio, les entregan MYR según el tipo de cambio 1 USD = 4,25 MYR. No se cobra ninguna comisión. Criselda cambió 460 SGD a MYR.

a) Calcule cuántos MYR recibió Criselda.

Durante el tiempo que pasó en Kota Kinabalu, Criselda gastó 440 MYR. Volvió a la oficina de cambio de divisas y cambió el resto de sus MYR por USD.

b) Calcule cuántos USD recibió Criselda.

Ver solución

La oficina compra SGD a Criselda y le entrega MYR al tipo de «Compra»: $1$ SGD $= 3, 07$ MYR.
$460 \cdot 3, 07 = 1412, 2$ , que redondeado al entero más próximo es $1412$ .

Resultado a): $1412$ MYR.

Le quedan $1412 - 440 = 972$ MYR.
Ahora la oficina le vende USD a Criselda y ella entrega MYR: se usa el tipo de «Venta», $1$ USD $= 4, 45$ MYR.
$\frac{972}{4 , 45} = 218, 4 \dots \approx 218$ .

Resultado b): $218$ USD.

Otros problemas de progresiones

Ejercicio 102 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2002

Una Lotería Nacional está ofreciendo premios en una nueva competencia. El ganador puede elegir uno de los siguientes.

Opción uno $ 1000 cada semana durante 10 semanas.

Opción dos $ 250 en la primera semana, $ 450 en la segunda semana, $ 650 en la tercera semana, aumentando en $ 200 cada semana por un total de 10 semanas.

Opción tres $ 10 en la primera semana, $ 20 en la segunda semana, $ 40 en la tercera semana continúa duplicándose durante un total de 10 semanas.

a) Calcule la cantidad que recibe en la décima semana, si selecciona

(i) opción dos;

(ii) opción tres.

b) ¿Cuál es la cantidad total que recibe si selecciona la opción dos?

c) ¿Qué opción tiene el mayor valor total? Justifica tu respuesta mostrando todos los cálculos apropiados.

Ver solución

a) (i) Opción dos es una progresión aritmética con $u_{1} = 250$ y $d = 200$ . Término 10: $u_{10} = u_{1} + 9 d = 250 + 9 \cdot 200 = 2050$ .

(ii) Opción tres es una progresión geométrica con $u_{1} = 10$ y $r = 2$ . Término 10: $u_{10} = 10 \cdot 2^{9} = 10 \cdot 512 = 5120$ .

b) Suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética: $S_{10} = \frac{10}{2} (u_{1} + u_{10}) = 5 (250 + 2050) = 11500.$

c) 1. Opción uno: $10 \cdot 1000 = 10000$ . 2. Opción dos: $11500$ (apartado b). 3. Opción tres: $S_{10} = \frac{10 ( 2 ^{10} - 1 )}{2 - 1} = 10 \cdot 1023 = 10230$ . 4. Comparando, $11500 > 10230 > 10000$ .

Resultado: a) (i) 2050 $; (ii) 5120 $; b) 11500 $; c) la opción dos tiene el mayor valor total.

Ejercicio 103 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2002

Keisa tenía 10000 USD para invertir. Invirtió $m$ USD en el Midland Bank, el cual le dio un interés anual del 8%. Invirtió $f$ USD en el First National Bank, el cual le dio un interés anual del 6%. Recibió un total de 640 USD en intereses al final del año.

a) Escriba dos ecuaciones que representen esta información.

b) Halle la cantidad de dinero que invirtión Keisha en cada uno de los bancos.

Ver solución

a) 1. Total invertido: $m + f = 10000$ . 2. Intereses de un año: $0, 08 m + 0, 06 f = 640$ .

b) 1. De la primera ecuación, $f = 10000 - m$ . 2. Sustituimos: $0, 08 m + 0, 06 (10000 - m) = 640 \Rightarrow 0, 02 m + 600 = 640$ . 3. Entonces $0, 02 m = 40$ , luego $m = 2000$ y $f = 10000 - 2000 = 8000$ . 4. (Comprobación: $0, 08 \cdot 2000 + 0, 06 \cdot 8000 = 160 + 480 = 640$ .)

Resultado: a) $m + f = 10000$ y $0, 08 m + 0, 06 f = 640$ ; b) $m = 2000$ USD (Midland Bank) y $f = 8000$ USD (First National Bank).

Ejercicio 104 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2018

Ha abierto una cafetería nueva y, durante la primera semana, obtuvo unos beneficios de 60$. Los beneficios de la cafetería aumentan 10$ cada semana.

a) Halle los beneficios que obtendrá la cafetería en su 11ª semana.

b) Calcule los beneficios totales que habrá obtenido la cafetería en las primeras 12 semanas.

A la vez que abrió esta cafetería también abrió una casa de té nueva. En la primera semana, también obtuvo unos beneficios de 60$. Los beneficios de la casa de té aumentan un $10 %$ cada semana.

c) Halle los beneficios que obtendrá la casa de té en su 11ª semana.

d) Calcule los beneficios totales que habrá obtenido la casa de té en las primeras 12 semanas.

En la $m$ -ésima semana, los beneficios totales de la casa de té superan a los beneficios totales de la cafetería por vez primera desde que ambas abrieron.

e) Halle el valor de $m$ .

Ver solución

Los beneficios de la cafetería forman una progresión aritmética con $u_{1} = 60$ y $d = 10$ .
$u_{11} = 60 + 10 \cdot 10 = 160$ .

Resultado a): $160$ $.

$S_{12} = \frac{12}{2} [2 \cdot 60 + 11 \cdot 10] = 6 \cdot 230 = 1380$ .

Resultado b): $1380$ $.

Los beneficios de la casa de té forman una progresión geométrica con $v_{1} = 60$ y razón $r = 1, 1$ .
$v_{11} = 60 \cdot 1, 1^{10} = 60 \cdot 2, 59374 = 155, 62$ .

Resultado c): $155, 62$ $.

$S_{12} = \frac{60 ( 1 , 1 ^{12} - 1 )}{1 , 1 - 1} = 600 (3, 138428 - 1) = 1283, 06$ .

Resultado d): $1283, 06$ $.

Total de la cafetería tras $n$ semanas: $C_{n} = \frac{n}{2} [120 + 10 (n - 1)] = 5 n^{2} + 55 n$ .
Total de la casa de té: $T_{n} = 600 (1, 1^{n} - 1)$ .
Se busca el primer $n$ con $T_{n} > C_{n}$ . Con una tabla de valores en la CPG (o resolviendo la desigualdad gráficamente):

$n$	$C_{n}$	$T_{n}$
15	1950	1906,35
16	2160	2156,98
17	2380	2432,68

En $n = 16$ todavía $T_{n} < C_{n}$ , y en $n = 17$ ya $T_{n} > C_{n}$ .

Resultado e): $m = 17$ .

Ejercicio 105 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2014

Desde el apartado (a) hasta el apartado (e), dé la respuesta redondeando al número entero de dólares más cercano.

El día en que Hugh cumplió 18 años, sus padres le ofrecieron distintas opciones de cómo recibir la paga mensual durante los dos años siguientes.

Opción A $60 al mes durante dos años Opción B $10 el primer mes, $15 el segundo mes, $20 el tercer mes, aumentando así cada mes la paga en $5, durante dos años Opción C $15 el primer mes, y luego aumentando cada mes la paga un $10 %$ , durante dos años. Opción D Invertir $1500 en un banco al comienzo del primer año, con un tipo de interés del $6 %$ anual compuesto mensualmente.

Hugh no gasta nada del dinero de la paga durante estos dos años.

a) Si Hugh elige la Opción A, calcule el valor total de la paga al final de esos dos años.

b) Si Hugh elige la Opción B, calcule

(i) cuánto dinero recibirá el 17º mes;

(ii) el valor total de la paga al final de esos dos años.

c) Si Hugh elige la Opción C, calcule

(i) cuánto dinero recibirá Hugh el 13º mes;

(ii) el valor total de la paga al final de esos dos años.

d) Si Hugh elige la Opción D, calcule el valor total de la paga al final de esos dos años.

e) Indique cuál de las opciones (A, B, C o D) debería elegir Hugo para que el valor de la paga al final de esos dos años sea el mayor posible.

Otro banco garantiza a Hugh una cantidad de $1750 tras dos años de inversión si invierte $1500 en este banco. El interés está compuesto anualmente.

f) Calcule el tipo de interés anual que ofrece el banco.

Ver solución

a) Opción A: $60$ $ al mes durante $24$ meses.

$60 \cdot 24 = 1440$ .

Resultado a): $1440$ $.

b) Opción B: progresión aritmética con $u_{1} = 10$ y $d = 5$ .

(i) 1. $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , luego $u_{17} = 10 + 16 \cdot 5 = 90$ .

(ii) 1. Suma de $24$ términos: $S_{24} = \frac{24}{2} [2 \cdot 10 + 23 \cdot 5] = 12 \cdot 135 = 1620$ .

Resultado b): i) $90$ $ en el mes 17; ii) $1620$ $ en total.

c) Opción C: progresión geométrica con $u_{1} = 15$ y $r = 1, 1$ .

(i) 1. $u_{13} = 15 \cdot 1, 1^{12} \approx 47, 08$ , es decir, $47$ $.

(ii) 1. $S_{24} = \frac{15 ( 1 , 1 ^{24} - 1 )}{1 , 1 - 1} \approx \frac{15 \cdot 8 , 8497}{0 , 1} \approx 1327, 46$ , es decir, $1327$ $.

Resultado c): i) $47$ $; ii) $1327$ $.

d) Opción D: interés compuesto mensual, tasa mensual $\frac{6}{12} = 0, 5%$ , $24$ periodos.

$1500 (1, 005)^{24} \approx 1690, 74$ , es decir, $1691$ $.

Resultado d): $1691$ $.

e) Comparamos: A $= 1440$ , B $= 1620$ , C $= 1327$ , D $= 1691$ . El mayor es D.

Resultado e): la Opción D.

f) Interés compuesto anual durante $2$ años.

$1500 (1 + i)^{2} = 1750$ , luego $(1 + i)^{2} = \frac{1750}{1500} = 1, 16$ .
$1 + i = 1, 1667 \approx 1, 0801$ (o con la CPG), así que $i \approx 0, 0801$ .

Resultado: a) $1440$ $; b) $90$ $ y $1620$ $; c) $47$ $ y $1327$ $; d) $1691$ $; e) Opción D; f) $8, 01%$ anual.

Ejercicio 106 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2010

Parte A

Daniel quiere invertir $ 25000 por un total de tres años. Hay tres opciones de inversión

Opción uno interés simple a una tasa de interés anual del 6%.

Opción dos interés compuesto del país a una tasa de interés nominal anual de 5%, compuesto anualmente.

Opción tres interés compuesto a una tasa de interés nominal anual de 4.8%, compuesto mensualmente.

a) Calcule el valor de su inversión al final del tercer año para cada opción de inversión, aproximado con dos decimales.

b) Determine la mejor opción de inversión de Daniel.

Parte B

Una progresión aritmética se define como $u_{n} = 135 + 7 n$ , $n = 1, 2, 3, \dots$

a) Calcule $u_{1}$ , el primer término de la progresión.

b) Muestre que la diferencia común es 7.

$S_{n}$ es la suma de los primeros $n$ términos de la progresión.

c) Encuentre una expresión para $S_{n}$ .

Dé su respuesta en la forma $S_{n} = A n^{2} + B n$ donde $A$ y $B$ son constantes.

El primer término, $v_{1}$ , de una progresión geométrica es 20 y su cuarto término $v_{4}$ es 67,5.

d) Muestre que la razón común, $r$ , de la progresión geométrica es 1.5.

$T_{n}$ es la suma de los primeros $n$ términos de la progresión geométrica.

e) Calcule $T_{7}$ , la suma de los primeros siete términos de la progresión geométrica.

f) Use su calculadora de pantalla gráfica para encontrar el valor más pequeño de $n$ para el cual $T_{n} > S_{n}$ .

Ver solución

Parte A

Opción uno (interés simple): $25000 (1 + 0, 06 \cdot 3) = 25000 \cdot 1, 18 = 29500, 00$ $.
Opción dos (compuesto anual al $5%$ ): $25000 \cdot 1, 0 5^{3} = 28940, 63$ $.
Opción tres (compuesto mensual, $\frac{4 , 8}{12} = 0, 4%$ al mes, $36$ meses): $25000 \cdot 1, 00 4^{36} = 28863, 81$ $.

b) La opción uno da el mayor valor final ( $29500 > 28940, 63 > 28863, 81$ ). La mejor opción es la opción uno.

Parte B

a) $u_{1} = 135 + 7 \cdot 1 = 142$ .

b) Calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos:

$u_{n + 1} - u_{n} = [135 + 7 (n + 1)] - [135 + 7 n] = 7$ .
No depende de $n$ , así que la diferencia común es $7$ .

Queda demostrado.

c) Suma de una progresión aritmética: $S_{n} = \frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d]$ .

$S_{n} = \frac{n}{2} [284 + 7 (n - 1)] = \frac{n}{2} (277 + 7 n)$ .
Desarrollando: $S_{n} = \frac{7}{2} n^{2} + \frac{277}{2} n$ , con $A = \frac{7}{2}$ y $B = \frac{277}{2}$ .

d) En una progresión geométrica $v_{n} = v_{1} r^{n - 1}$ .

$v_{4} = 20 r^{3} = 67, 5$ .
$r^{3} = \frac{67 , 5}{20} = 3, 375$ .
$r = 3 3, 375 = 1, 5$ , porque $1, 5^{3} = 3, 375$ .

Queda demostrado.

e) Suma de una progresión geométrica: $T_{n} = \frac{v _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ .

$T_{7} = \frac{20 ( 1 , 5 ^{7} - 1 )}{0 , 5} = 40 (17, 0859375 - 1) = 643, 4375 \approx 643, 44$ .

f) Con la CPG comparamos $T_{n} = 40 (1, 5^{n} - 1)$ y $S_{n} = 3, 5 n^{2} + 138, 5 n$ (tabla de valores o intersección de gráficas).

$n = 9$ : $T_{9} \approx 1497, 7$ y $S_{9} = 1530$ , así que $T_{9} < S_{9}$ .
$n = 10$ : $T_{10} \approx 2266, 6$ y $S_{10} = 1735$ , así que $T_{10} > S_{10}$ .
Para $n \leq 9$ siempre se cumple $T_{n} < S_{n}$ (por ejemplo $T_{8} \approx 984, 2 < S_{8} = 1332$ ).

Resultado: Parte A: a) $29500$ $, $28940, 63$ $, $28863, 81$ $; b) opción uno. Parte B: a) $u_{1} = 142$ ; b) demostrado; c) $S_{n} = \frac{7}{2} n^{2} + \frac{277}{2} n$ ; d) demostrado; e) $T_{7} \approx 643, 44$ ; f) $n = 10$ .

Ejercicio 107 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2008

Dé todas las respuestas en esta pregunta aproximadas al dólar más cercano.

Clara quiere comprar un terreno. Puede elegir entre dos opciones de pago diferentes. Ambas opciones requieren que ella pague el terreno en 20 cuotas mensuales.

Opción 1: La primera cuota es de $ 2500. Cada cuota es $ 200 más que la anterior.

Opción 2: La primera cuota es de $ 2000. Cada cuota es un 8% más que la anterior.

a) Si Clara elige la opción 1,

(i) anote los valores de la segunda y tercera cuotas;

(ii) calcular el valor de la última cuota;

(iii) demuestre que la cantidad total que Clara pagaría por la tierra es $ 88000.

b) Si Clara elige la opción 2,

(i) calcular el valor de la segunda cuota;

(ii) demuestre que el valor de la quinta cuota es $ 2721.

c) El precio de la tierra es $ 80000. En la opción 1, sus reembolsos totales son $ 88000 durante los 20 meses. Encuentre la tasa anual de interés simple.

d) Clara sabe que la cantidad total que pagaría por la tierra no es la misma en ambas opciones. Quiere gastar la menor cantidad de dinero. Encuentre cuanto ella ahorrará eligiendo la opción más barata.

Ver solución

a) (i) Progresión aritmética con $u_{1} = 2500$ y $d = 200$ .

$u_{2} = 2700$ y $u_{3} = 2900$ .

(ii) 1. $u_{20} = u_{1} + 19 d = 2500 + 19 \cdot 200 = 6300$

(iii) 1. $S_{20} = \frac{20}{2} (u_{1} + u_{20}) = 10 (2500 + 6300) = 88000$

Queda demostrado.

b) Progresión geométrica con $u_{1} = 2000$ y $r = 1, 08$ .

(i) 1. $u_{2} = 2000 \cdot 1, 08 = 2160$

(ii) 1. $u_{5} = 2000 \cdot 1, 0 8^{4} = 2000 \cdot 1, 360489 = 2720, 98 \approx 2721$

Queda demostrado.

c) Precio de la tierra $80000; se pagan $88000, luego el interés es $8000. Son 20 meses $= \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ años.

$8000 = 80000 \cdot \frac{r}{100} \cdot \frac{5}{3}$
$r = \frac{8000 \cdot 3}{80000 \cdot 5} \cdot 100 = 6$

Resultado c): 6 % anual

d) 1. Total opción 2: $S_{20} = \frac{2000 ( 1 , 0 8 ^{20} - 1 )}{0 , 08} = 91523, 93 \approx 91524$ . 2. Opción 1: 88000. La más barata es la opción 1. 3. Ahorro: $91524 - 88000 = 3524$ .

Resultado: a) 2700 y 2900; 6300; demostrado. b) 2160; demostrado. c) 6 %; d) ahorra $3524 con la opción 1

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