IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 5 de 5

Anualidades y amortización

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una anualidad es una serie de pagos iguales a intervalos regulares: ahorrar cada mes la misma cantidad o devolver un préstamo con una cuota fija. Aprenderás a calcular lo que se acumula, la cuota de un préstamo y cómo se reparte cada pago entre intereses y deuda. Son problemas típicos del examen del IB, y se resuelven con la CPG apoyándose en una progresión geométrica.

Qué es una anualidad

Hay que fijar tres datos antes de calcular nada:

El tipo por periodo $i$ . Si el interés nominal anual es $r %$ y se capitaliza $k$ veces al año (con un pago por cada capitalización), entonces $i = \frac{r}{100 k}$ . Con un $6 %$ anual capitalizado cada mes, $i = 0, 005$ .
El número de pagos $n$ . Es el total, no los años: $4$ años con pagos mensuales son $n = 48$ .
El momento del pago. Salvo que el enunciado diga lo contrario, cada pago se hace al final del periodo.

Valor futuro de una anualidad

Imagina que ingresas $P$ al final de cada periodo. El último ingreso no llega a producir intereses; el penúltimo genera uno, el anterior dos, y así hasta el primero, que trabaja durante $n - 1$ periodos. Lo acumulado es

$P + P (1 + i) + P (1 + i)^{2} + \dots + P (1 + i)^{n - 1}$

Es la suma de $n$ términos de una progresión geométrica de primer término $P$ y razón $1 + i$ . Aplicando la fórmula de esa suma se obtiene el resultado.

Amortización de un préstamo

Cada periodo la deuda crece por los intereses y baja por la cuota. Si la cuota es la adecuada, tras el pago número $n$ la deuda es exactamente cero. Escribir eso para un préstamo $P V$ conduce, de nuevo, a una suma geométrica, y de ella se despeja la cuota.

La tabla de amortización

Para ver en qué se va el dinero se construye una tabla con una fila por cuota. Con $d_{0} = P V$ como deuda inicial, en cada fila se calcula:

El esquema de la tabla es siempre el mismo:

Periodo	Deuda inicial	Intereses	Capital amortizado	Deuda final
$1$	$P V$	$i \cdot P V$	$P - i \cdot P V$	$P V - (P - i \cdot P V)$
$2$	deuda final anterior	$i \cdot (deuda inicial)$	$P - intereses$	deuda inicial $-$ capital

Dos regularidades sirven para comprobar la tabla: los intereses decrecen de una fila a otra (porque la deuda baja) y el capital amortizado crece (porque la cuota es fija). El total de intereses es la suma de las cuotas menos el préstamo.

Con la CPG

Nota · Herramienta financiera de la CPG

En el examen del IB (Prueba 2, con CPG) este tipo de problemas se resuelve con la herramienta financiera, que trabaja con estas variables:

N: número total de pagos.
I%: interés nominal anual, en porcentaje.
PV: valor presente (lo que se recibe o se entrega al principio, por ejemplo el préstamo).
PMT: pago de cada periodo (la cuota o el ahorro periódico).
FV: valor futuro (lo que queda o se acumula al final; en un préstamo totalmente pagado es $0$ ).
P/Y: número de pagos por año.
C/Y: número de capitalizaciones por año. En estos problemas suele coincidir con P/Y.

Se introducen todos los datos conocidos y se pide a la calculadora la variable que falta. Regla de signos: el dinero que sale de tu bolsillo se escribe con signo negativo y el que entra, con signo positivo. Por eso, en un préstamo, PV es positivo (lo recibes) y PMT negativo (lo pagas); en un ahorro, PMT es negativo (lo ingresas) y FV positivo (lo recuperas). Si omites el signo, la CPG da un error o un resultado de signo contrario.

En la Prueba 1 no hay CPG: se espera que escribas la fórmula y sustituyas, y los cálculos serán asequibles. En cualquier caso, escribe los datos que has introducido (N, I%, PV, PMT, FV, P/Y, C/Y): si el resultado final falla, esa información permite puntuar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Ahorrar cada año

Marta ingresa $2000$ EUR al final de cada año en una cuenta que da un $5 %$ de interés anual compuesto anualmente. Lo hace durante $10$ años.

a) ¿Cuánto dinero tendrá justo después del último ingreso? Redondea a dos cifras decimales.

b) ¿Cuántos euros de ese total son intereses?

Solución

a) Es una anualidad con $P = 2000$ , $i = 0, 05$ y $n = 10$ . Se aplica la fórmula del valor futuro:

$F V = 2000 \cdot \frac{1 , 0 5 ^{10} - 1}{0 , 05} = 2000 \cdot \frac{0 , 628894 \dots}{0 , 05} \approx 25155, 79 EUR$

Con la CPG: $N = 10$ , $I % = 5$ , $P V = 0$ , $P M T = - 2000$ , $P / Y = C / Y = 1$ , y se pide FV.

b) Ha ingresado $10 \cdot 2000 = 20000$ EUR en total. Los intereses son la diferencia:

$25155, 79 - 20000 = 5155, 79 EUR$

Ejemplo 2 Medio

Cuota de un préstamo

Un taller pide un préstamo de $12000$ GBP, con un interés nominal anual del $6 %$ capitalizado mensualmente, para devolverlo en $3$ años con cuotas mensuales iguales al final de cada mes.

a) Calcula la cuota mensual. Redondea a dos cifras decimales.

b) Con la cuota redondeada del apartado a), ¿cuántas libras se pagan de intereses en total?

c) ¿Cuánto se debe todavía justo después de pagar la primera cuota?

Solución

a) Los datos son $P V = 12000$ , $n = 3 \cdot 12 = 36$ y $i = \frac{6}{100 \cdot 12} = 0, 005$ por mes. Se usa la fórmula de la cuota:

$P = \frac{12 000 \cdot 0 , 005}{1 - 1 , 00 5 ^{- 36}} = \frac{60}{1 - 0 , 835645 \dots} \approx 365, 06 GBP$

Con la CPG: $N = 36$ , $I % = 6$ , $P V = 12000$ , $F V = 0$ , $P / Y = C / Y = 12$ , y se pide PMT (sale $- 365, 06$ : es dinero que paga el taller).

b) Total pagado con la cuota redondeada: $36 \cdot 365, 06 = 13142, 16$ GBP. Los intereses son lo pagado menos lo prestado:

$13142, 16 - 12000 = 1142, 16 GBP$

c) Durante el primer mes los intereses son $12000 \cdot 0, 005 = 60$ GBP. La deuda pasa a ser $12060$ y se le resta la cuota:

$12060 - 365, 06 = 11694, 94 GBP$

Es decir, de la primera cuota solo $365, 06 - 60 = 305, 06$ GBP reducen la deuda.

Ejemplo 3 Difícil

Tabla de amortización completa

Una cooperativa recibe un préstamo de $2400$ EUR con un interés nominal anual del $12 %$ capitalizado mensualmente, que devolverá en $6$ cuotas mensuales iguales, pagadas al final de cada mes. Todos los importes se redondean a céntimos.

a) Calcula la cuota mensual.

b) Construye la tabla de amortización. La última cuota se ajusta para dejar la deuda en cero.

c) ¿Cuál es la deuda pendiente justo después del tercer pago, y cuántos euros se pagan de intereses en total?

Solución

a) Se tiene $P V = 2400$ , $n = 6$ y $i = \frac{12}{100 \cdot 12} = 0, 01$ por mes:

$P = \frac{2400 \cdot 0 , 01}{1 - 1 , 0 1 ^{- 6}} = \frac{24}{1 - 0 , 942045 \dots} = \frac{24}{0 , 057955 \dots} \approx 414, 12 EUR$

b) En cada fila, los intereses son el $1 %$ de la deuda inicial; el capital amortizado es la cuota menos los intereses; la deuda final es la inicial menos el capital amortizado.

Mes	Deuda inicial (EUR)	Intereses (EUR)	Cuota (EUR)	Capital amortizado (EUR)	Deuda final (EUR)
1	2400,00	24,00	414,12	390,12	2009,88
2	2009,88	20,10	414,12	394,02	1615,86
3	1615,86	16,16	414,12	397,96	1217,90
4	1217,90	12,18	414,12	401,94	815,96
5	815,96	8,16	414,12	405,96	410,00
6	410,00	4,10	414,10	410,00	0,00

En el último mes los intereses son $410, 00 \cdot 0, 01 = 4, 10$ , así que, para dejar la deuda en cero, la cuota es $410, 00 + 4, 10 = 414, 10$ EUR (dos céntimos menos que las demás por el redondeo). Comprobación: los intereses bajan y el capital amortizado sube en cada fila.

c) Tras el tercer pago la deuda es la de la última columna de la fila 3: $1217, 90$ EUR. Los intereses totales son la suma de la columna correspondiente:

$24, 00 + 20, 10 + 16, 16 + 12, 18 + 8, 16 + 4, 10 = 84, 70 EUR$

Se confirma con las cuotas: $5 \cdot 414, 12 + 414, 10 = 2484, 70$ EUR pagados, y $2484, 70 - 2400 = 84, 70$ .

En el examen: en una tabla se puntúa el método: calcular los intereses sobre la deuda inicial de cada periodo, restarlos de la cuota y actualizar la deuda. Si te piden solo una fila, no hace falta completar toda la tabla: encadena los cálculos hasta esa fila y, si el enunciado lo permite, comprueba con la CPG. Indica siempre la unidad y no mezcles cuotas redondeadas con cuotas sin redondear.

Errores típicos

Resumen

Anualidad: pagos iguales $P$ a intervalos iguales. Se necesitan $i = \frac{r}{100 k}$ por periodo y $n = (a n ˜ os) \cdot k$ pagos; salvo indicación, los pagos son al final del periodo.
Valor futuro: $F V = P \cdot \frac{( 1 + i ) ^{n} - 1}{i}$ , la suma de una progresión geométrica de razón $1 + i$ .
Cuota de un préstamo $P V$ : $P = \frac{P V \cdot i}{1 - ( 1 + i ) ^{- n}}$ . Más plazo implica menos cuota y más intereses totales.
Tabla de amortización: intereses $= i \cdot (deuda inicial)$ , capital amortizado $= P - intereses$ , deuda final $=$ deuda inicial $-$ capital. Los intereses bajan y el capital sube; la última cuota se ajusta.
Intereses totales $=$ suma de las cuotas $-$ préstamo.
En la CPG: N, I% (anual), PV, PMT, FV, P/Y y C/Y; dinero que sale con signo negativo y dinero que entra con signo positivo. En el examen del IB escribe los datos que introduces.

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