IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 1 de 5

Sucesiones, progresiones y término n-ésimo

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla. Las dos más importantes del curso son la progresión aritmética (se suma siempre lo mismo) y la geométrica (se multiplica siempre por lo mismo). Con la fórmula del término $n$ -ésimo puedes calcular cualquier término sin escribir los anteriores, y es la base del interés, la depreciación y los préstamos.

Sucesiones y términos

Una sucesión es una lista de números colocados en un orden concreto. Cada número es un término, y se nombra con una letra y un subíndice que indica su posición: $u_{1}$ es el primer término, $u_{2}$ el segundo y $u_{n}$ el que ocupa el lugar $n$ , con $n \in Z^{+}$ . Lo que importa es la regla que enlaza los términos: si la conoces, puedes continuar la lista.

Una regla puede darse de dos maneras. Con una fórmula del término general, como $u_{n} = 3 n - 1$ , donde basta sustituir $n$ : $u_{1} = 2$ , $u_{2} = 5$ , $u_{3} = 8$ . O con una relación de recurrencia, que dice cómo pasar de un término al siguiente, como $u_{n + 1} = u_{n} + 3$ junto con el valor de $u_{1}$ . En este apartado verás las dos reglas más sencillas y cómo pasar de la recurrencia a la fórmula.

Progresión aritmética

Por ejemplo, $20, 17, 14, 11, \dots$ es aritmética con $u_{1} = 20$ y $d = - 3$ . Para hallar $d$ basta restar dos términos consecutivos cualesquiera, $d = u_{2} - u_{1}$ , y para saber si una lista es aritmética hay que comprobar que todas esas diferencias coinciden.

La fórmula del término general sale de contar cuántas veces se ha sumado $d$ . Para llegar a $u_{n}$ desde $u_{1}$ se dan $n - 1$ saltos de tamaño $d$ :

La intuición es la de una escalera: el segundo escalón está un salto por encima del primero, el tercero dos saltos, y así el escalón $n$ está $n - 1$ saltos por encima. Con $u_{1} = 20$ y $d = - 3$ , el término 10 es $u_{10} = 20 + 9 \cdot (- 3) = - 7$ .

Progresión geométrica

Por ejemplo, $5, 10, 20, 40, \dots$ tiene $r = 2$ , y $81, - 27, 9, - 3, \dots$ tiene $r = - \frac{1}{3}$ . La razón se calcula dividiendo dos términos consecutivos, $r = \frac{u _{2}}{u _{1}}$ , y para reconocer una progresión geométrica hay que comprobar que todos los cocientes coinciden.

Ahora cada paso es una multiplicación, así que tras $n - 1$ pasos hemos multiplicado $u_{1}$ por $r$ exactamente $n - 1$ veces:

Con $u_{1} = 5$ y $r = 2$ , el término 7 es $u_{7} = 5 \cdot 2^{6} = 320$ . Observa la diferencia de naturaleza: en la aritmética $n$ multiplica a $d$ , y en la geométrica $n - 1$ es un exponente. Por eso la geométrica crece (o decrece) mucho más deprisa.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Reconocer y calcular un término

a) La sucesión $5, 9, 13, 17, \dots$ es una progresión aritmética. Halla su diferencia común y el término 25.

b) La sucesión $2, 6, 18, 54, \dots$ es una progresión geométrica. Halla su razón común y el término 6.

c) Indica si la sucesión $2, 5, 10, 17$ es aritmética, geométrica o ninguna de las dos.

Solución

a) $d = 9 - 5 = 4$ . Con $u_{1} = 5$ : $u_{25} = 5 + 24 \cdot 4 = 5 + 96 = 101$ .

b) $r = \frac{6}{2} = 3$ . Con $u_{1} = 2$ : $u_{6} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486$ .

c) Las diferencias son $5 - 2 = 3$ , $10 - 5 = 5$ y $17 - 10 = 7$ , que no coinciden: no es aritmética. Los cocientes son $\frac{5}{2} = 2, 5$ , $\frac{10}{5} = 2$ y $\frac{17}{10} = 1, 7$ , que tampoco coinciden: no es geométrica. Es ninguna de las dos.

Ejemplo 2 Medio

Una progresión aritmética a partir de dos términos

En una progresión aritmética, el tercer término es $17$ y el noveno es $- 7$ .

a) Halla el primer término y la diferencia común.

b) Escribe una fórmula para $u_{n}$ y calcula en qué posición está el término $- 35$ .

c) Halla el primer término negativo de la progresión.

Solución

a) Se escribe $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ para cada dato: ${u_{1} + 2 d u_{1} + 8 d = 17 = - 7$ Restando la primera ecuación a la segunda, $6 d = - 24$ , luego $d = - 4$ . En la primera, $u_{1} - 8 = 17$ , así que $u_{1} = 25$ . Comprobación: $u_{9} = 25 + 8 \cdot (- 4) = - 7$ .

b) $u_{n} = 25 + (n - 1) (- 4) = 29 - 4 n$ . Para $u_{n} = - 35$ : $29 - 4 n = - 35$ , es decir, $- 4 n = - 64$ y $n = 16$ . El término $- 35$ ocupa la posición 16.

c) Se pide $29 - 4 n < 0$ , es decir, $n > \frac{29}{4} = 7, 25$ . Como $n$ es entero, el primer valor es $n = 8$ , y $u_{8} = 29 - 32 = - 3$ . Comprobación: $u_{7} = 1 > 0$ .

Ejemplo 3 Difícil

Los rebotes de una pelota

Una pelota se deja caer al suelo y rebota varias veces. Las alturas máximas de los sucesivos rebotes forman una progresión geométrica. El primer rebote alcanza 120 cm y cada rebote llega al $80 %$ de la altura del anterior.

a) Calcula la altura del sexto rebote, con tres cifras significativas.

b) Halla el primer rebote cuya altura es menor que 10 cm.

Otra pelota, con una progresión geométrica distinta, alcanza 60 cm en el segundo rebote y 12,96 cm en el quinto.

c) Halla la razón común y la altura del primer rebote de esta segunda pelota.

Solución

a) La razón es $r = 0, 8$ y $u_{1} = 120$ . Entonces $u_{6} = 120 \cdot 0, 8^{5} = 120 \cdot 0, 32768 = 39, 3216$ . La altura es de 39,3 cm.

b) Se busca el menor $n$ entero con $120 \cdot 0, 8^{n - 1} < 10$ . Con la CPG se puede resolver la ecuación $120 \cdot 0, 8^{x - 1} = 10$ , que da $x \approx 12, 14$ , o mirar una tabla de valores. Como $n$ debe ser entero y la altura disminuye, hay que comprobar los enteros vecinos: $n = 12 : 120 \cdot 0, 8^{11} \approx 10, 31 > 10 n = 13 : 120 \cdot 0, 8^{12} \approx 8, 25 < 10$ El primer rebote por debajo de 10 cm es el 13.º. (Redondear $12, 14$ al entero más cercano daría 12, que es incorrecto.)

c) Se escribe $u_{2} = u_{1} r = 60$ y $u_{5} = u_{1} r^{4} = 12, 96$ . Dividiendo la segunda ecuación entre la primera, $u_{1}$ desaparece y queda $r^{3} = \frac{12 , 96}{60} = 0, 216 \Rightarrow r = 3 0, 216 = 0, 6$ Entonces $u_{1} = \frac{60}{0 , 6} = 100$ . El primer rebote llega a 100 cm y la razón es $0, 6$ (cada rebote es el $60 %$ del anterior). Comprobación: $100 \cdot 0, 6^{4} = 12, 96$ .

En el examen: puntúa escribir $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ con los datos sustituidos, plantear la desigualdad o la ecuación para $n$ y razonar que $n$ es entero (comprobando los enteros vecinos), y dar la respuesta con las unidades y con tres cifras significativas si no se indica otra cosa. En el apartado c) divide las dos ecuaciones en lugar de intentar despejar a ciegas.

Errores típicos

Resumen

Una sucesión es una lista ordenada de términos $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ ; se define por una fórmula del término general o por recurrencia.
Progresión aritmética: se suma siempre la misma diferencia, $u_{n + 1} = u_{n} + d$ , y $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ . La diferencia se halla restando términos consecutivos.
Progresión geométrica: se multiplica siempre por la misma razón, $u_{n + 1} = u_{n} r$ , y $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ . La razón se halla dividiendo términos consecutivos y puede ser negativa (los signos alternan).
Con dos términos conocidos se plantean dos ecuaciones: en la aritmética se restan para obtener $d$ , y en la geométrica se dividen para obtener $r^{k}$ .
La CPG sirve para resolver el sistema o la ecuación y para tablas de valores; $n$ siempre es entero positivo y en las desigualdades se comprueban los enteros vecinos.

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