IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 3 de 5

Suma de una progresión geométrica

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Sumar los términos de una progresión geométrica uno a uno es lento cuando hay muchos, y una fórmula lo resuelve en un paso. En este apartado la deduces, la usas con la razón distinta de 1 y con razón 1, y aprendes a averiguar cuántos términos hacen falta para llegar a un total dado, con logaritmos o con la calculadora de pantalla gráfica (CPG). Es el cálculo que hay detrás del ahorro mensual creciente, de los salarios con subida porcentual y de muchos problemas de la Prueba 2.

Qué se suma

Recuerda que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por la razón $r$ , de modo que $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ . La suma de los $n$ primeros términos se escribe $S_{n}$ :

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = u_{1} + u_{1} r + u_{1} r^{2} + \dots + u_{1} r^{n - 1}$

A una suma de este tipo se la llama serie geométrica. Fíjate en que hay $n$ sumandos, y que el último lleva el exponente $n - 1$ , no $n$ .

La fórmula

La idea de la demostración es un truco: multiplica la suma por $r$ y réstale la original. Casi todo se cancela.

$S_{n} r S_{n} = u_{1} + u_{1} r + u_{1} r^{2} + \dots + u_{1} r^{n - 1} = u_{1} + u_{1} r + u_{1} r^{2} + \dots + u_{1} r^{n - 1} + u_{1} r^{n}$

Al restar, solo sobreviven el primer sumando de arriba y el último de abajo: $r S_{n} - S_{n} = u_{1} r^{n} - u_{1}$ . Sacando factor común, $S_{n} (r - 1) = u_{1} (r^{n} - 1)$ , y al dividir entre $r - 1$ (por eso hace falta $r \neq = 1$ ) sale la fórmula.

Cuando la razón es 1

Si $r = 1$ todos los términos son iguales a $u_{1}$ y no hay nada que deducir: sumar $n$ veces el mismo número es multiplicar. En ese caso la fórmula anterior no se puede usar, porque tendría un $0$ en el denominador.

Por ejemplo, la progresión $4, 4, 4, \dots$ suma $4 n$ al tomar $n$ términos. En la práctica este caso casi no aparece, porque una progresión de razón 1 no crece ni decrece.

Cómo se aplica

Hallar el número de términos

A veces se da el total y se pregunta cuántos términos hacen falta para alcanzarlo o superarlo. Entonces $n$ está en un exponente y hay dos caminos.

Con logaritmos. Se despeja la potencia $r^{n}$ y se aplica un logaritmo a los dos miembros. Para $r > 1$ , de $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ se llega a $r^{n} = 1 + \frac{S _{n} ( r - 1 )}{u _{1}}$ , y de ahí $n = \frac{ln ( 1 + \frac{S _{n} ( r - 1 )}{u _{1}} )}{ln r}$ . Es una Prueba 1 típica si los números son sencillos.

Nota · Con la CPG

En la Prueba 2 puedes evitar los logaritmos. Una forma es resolver la ecuación $S_{n} = total$ con el módulo de ecuaciones de la CPG, tomando $n$ como incógnita. Otra es dibujar la función $y = \frac{u _{1} ( r ^{x} - 1 )}{r - 1}$ y la recta horizontal $y = total$ , y leer la coordenada $x$ del punto de corte. Una tercera es crear una tabla de valores de $S_{n}$ y mirar entre qué dos valores de $n$ se pasa del total. La CPG también calcula directamente una suma de términos de la progresión cuando $n$ es conocido, lo que sirve para comprobar el resultado a mano. Ten presente que $n$ cuenta términos, así que debe ser un entero: la solución que da la CPG suele ser decimal y hay que redondear al entero adecuado. Si pide «cuándo se supera» el total, se redondea hacia arriba; comprueba siempre calculando $S_{n}$ con ese entero y con el anterior.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Sumar los primeros términos

Una progresión geométrica tiene primer término $u_{1} = 5$ y razón $r = 3$ .

a) Halla el sexto término.

b) Calcula la suma de los seis primeros términos.

c) Otra progresión es $7, 7, 7, \dots$ Calcula la suma de sus 20 primeros términos.

Solución

a) $u_{6} = 5 \cdot 3^{5} = 5 \cdot 243 = 1215$ .

b) Como $r > 1$ , usamos la primera forma de la fórmula: $S_{6} = \frac{5 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{5 \cdot 728}{2} = 1820$ Comprobación sumando: $5 + 15 + 45 + 135 + 405 + 1215 = 1820$ .

c) La razón es $r = 1$ , así que la fórmula general no sirve y la suma es $S_{20} = 20 \cdot 7 = 140$ .

Ejemplo 2 Medio

Descargas de una aplicación

Una aplicación se lanza y el primer día se descarga 200 veces. Cada día siguiente se descarga un 20 % más veces que el día anterior.

a) Indica la razón de la progresión que forman las descargas diarias.

b) Calcula cuántas descargas hay el séptimo día, redondeando a la unidad.

c) Calcula cuántas descargas hay en total durante los 10 primeros días, redondeando a la unidad.

Solución

a) Aumentar un 20 % es multiplicar por $1 + 0, 20 = 1, 2$ , así que $r = \frac{6}{5} = 1, 2$ y $u_{1} = 200$ .

b) $u_{7} = 200 \cdot 1, 2^{6} = 200 \cdot 2, 985984 = 597, 1968$ , es decir, unas 597 descargas.

c) Usamos $S_{10}$ con $r > 1$ : $S_{10} = \frac{200 ( 1 , 2 ^{10} - 1 )}{1 , 2 - 1} = \frac{200 \cdot 5 , 1917364 \dots}{0 , 2} = 5191, 7364 \dots$ En total, unas 5192 descargas en los 10 primeros días.

Ejemplo 3 Difícil

¿Cuántos años hasta superar el objetivo?

Un ayuntamiento recicla 500 toneladas de vidrio el primer año de un programa, y cada año recicla un 10 % más que el anterior.

a) Calcula las toneladas recicladas en total durante los 8 primeros años, redondeando a la unidad.

b) El objetivo es acumular más de 10 000 toneladas. Halla, usando logaritmos, el número mínimo de años necesarios.

c) Comprueba el resultado de b) calculando el total acumulado con el número de años obtenido y con el anterior.

Solución

Es una progresión geométrica con $u_{1} = 500$ y $r = 1, 1$ .

a) $S_{8} = \frac{500 ( 1 , 1 ^{8} - 1 )}{0 , 1} = 5000 (2, 14358881 - 1) = 5717, 94 \dots \approx 5718 toneladas$

b) Se necesita $S_{n} > 10000$ : $\frac{500 ( 1 , 1 ^{n} - 1 )}{0 , 1} > 10000 \Rightarrow 5000 (1, 1^{n} - 1) > 10000 \Rightarrow 1, 1^{n} > 3$ Aplicando logaritmos neperianos (como $ln 1, 1 > 0$ , el sentido de la desigualdad se mantiene): $n ln 1, 1 > ln 3$ , luego $n > \frac{ln 3}{ln 1 , 1} = \frac{1 , 0986 \dots}{0 , 09531 \dots} = 11, 527 \dots$ Como $n$ es un entero, el mínimo es $n = 12$ años.

c) Con $n = 11$ : $S_{11} = 5000 (1, 1^{11} - 1) = 5000 \cdot 1, 853117 \dots = 9265, 6 \dots < 10000$ . Con $n = 12$ : $S_{12} = 5000 (3, 138428 \dots - 1) = 10692, 1 \dots > 10000$ . Confirmado: se supera el objetivo por primera vez al cabo de 12 años.

En el examen: en una pregunta de este tipo se puntúa la fórmula correcta con $r = 1, 1$ (no $0, 1$ ), el despeje de la potencia, el uso del logaritmo y, sobre todo, redondear $n$ hacia arriba a un entero. Con la CPG, escribe la ecuación o la gráfica que has usado.

Errores típicos

Resumen

Serie geométrica: $S_{n} = u_{1} + u_{1} r + \dots + u_{1} r^{n - 1}$ , con $n$ sumandos.
Si $r \neq = 1$ : $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ . La fórmula sale de restar $S_{n}$ a $r S_{n}$ .
Si $r = 1$ : $S_{n} = n u_{1}$ .
Un porcentaje de subida o bajada se convierte en razón: $+ p %$ da $r = 1 + \frac{p}{100}$ y $- p %$ da $r = 1 - \frac{p}{100}$ .
Para hallar $n$ : despeja $r^{n}$ y aplica logaritmos, o usa la CPG (ecuación, gráfica o tabla). Redondea $n$ a un entero y comprueba con $S_{n}$ .
Calcula con todas las cifras y redondea al final, con tres cifras significativas si no se indica otra cosa.

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