IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 2 de 5

Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Sumar uno a uno los términos de una progresión aritmética es lento y propenso a errores. Con una fórmula puedes obtener el total de $n$ términos consecutivos en dos operaciones. Esto sirve en el examen del IB para problemas de ahorro, filas de asientos, pilas de objetos o pagos que crecen de forma constante, y también para averiguar cuántos términos hacen falta para llegar a una cantidad.

Series y notación de sumatorio

Si en lugar de listar los términos de una sucesión los sumas, obtienes una serie. Cuando la sucesión es una progresión aritmética, la serie se llama serie aritmética.

Por ejemplo, para la progresión $2, 5, 8, 11, 14, \dots$ se tiene $S_{3} = 2 + 5 + 8 = 15$ y $S_{5} = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ .

De dónde sale la fórmula

La idea es la que se atribuye al joven Gauss para sumar $1 + 2 + \dots + 100$ : escribir la suma dos veces, la segunda al revés, y sumar columna a columna.

$S_{n} S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n - 1} + u_{n} = u_{n} + u_{n - 1} + u_{n - 2} + \dots + u_{2} + u_{1}$

En cada columna, un término sube y el otro baja la misma cantidad $d$ , así que todas las columnas dan lo mismo: $u_{1} + u_{n}$ . Hay $n$ columnas, luego $2 S_{n} = n (u_{1} + u_{n})$ . Dicho de otro modo: la suma es el número de términos multiplicado por la media del primero y el último.

Con la progresión anterior, $S_{5} = \frac{5}{2} (2 + 14) = 40$ , igual que al sumar a mano. Y $1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10}{2} (1 + 10) = 55$ . En el formulario del IB aparecen las dos expresiones, pero conviene entender de dónde vienen para no confundirlas.

Sumar un tramo y hallar $n$

Dos situaciones aparecen a menudo en los problemas.

Sumar un tramo intermedio. Para sumar desde el término $u_{k}$ hasta el $u_{n}$ se calcula la suma hasta $n$ y se resta la suma de los términos que sobran: $u_{k} + \dots + u_{n} = S_{n} - S_{k - 1}$ .

Hallar cuántos términos hacen falta. Si se pide el $n$ para el que la suma vale una cantidad dada, se sustituye en la fórmula y queda una ecuación en $n$ . Como $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ contiene un término en $n^{2}$ , resulta una ecuación cuadrática. De sus soluciones solo vale un entero positivo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Sumar los términos de una progresión

Una progresión aritmética empieza así: $7, 11, 15, \dots$

a) Calcula el término $u_{12}$ .

b) Calcula la suma de los 12 primeros términos, $S_{12}$ .

Solución

a) El primer término es $u_{1} = 7$ y la diferencia es $d = 11 - 7 = 4$ . Entonces $u_{12} = 7 + (12 - 1) \cdot 4 = 7 + 44 = 51$

b) Con el último término ya conocido, $S_{12} = \frac{12}{2} (7 + 51) = 6 \cdot 58 = 348$ .

Comprobación con la otra fórmula: $S_{12} = 6 (2 \cdot 7 + 11 \cdot 4) = 6 \cdot 58 = 348$ .

Ejemplo 2 Medio

Un plan de ahorro

Una persona ahorra 20 euros el primer mes y, cada mes siguiente, ingresa 15 euros más que el anterior.

a) Calcula cuánto ingresa el mes 18.

b) Calcula cuánto lleva ahorrado en total al terminar el mes 18.

c) Halla en qué mes el total ahorrado llega exactamente a 5000 euros.

Solución

Los ingresos mensuales forman una progresión aritmética con $u_{1} = 20$ y $d = 15$ .

a) $u_{18} = 20 + 17 \cdot 15 = 20 + 255 = 275$ euros.

b) $S_{18} = \frac{18}{2} (20 + 275) = 9 \cdot 295 = 2655$ euros.

c) Hay que resolver $S_{n} = 5000$ con la segunda fórmula: $\frac{n}{2} (40 + 15 (n - 1)) = 5000 \Rightarrow n (15 n + 25) = 10000 \Rightarrow 3 n^{2} + 5 n - 2000 = 0$ Aplicando la fórmula cuadrática, $Δ = 25 + 24000 = 24025 = 15 5^{2}$ , luego $n = \frac{- 5 \pm 155}{6} \Rightarrow n = 25 o n = - \frac{80}{3}$ El número de meses es positivo, así que $n = 25$ . Comprobación: $u_{25} = 20 + 24 \cdot 15 = 380$ y $S_{25} = \frac{25}{2} (20 + 380) = 5000$ .

El total llega a 5000 euros exactamente al terminar el mes 25.

Ejemplo 3 Difícil

Las filas de una grada

En una grada, el número de asientos de cada fila aumenta en una cantidad constante al pasar de una fila a la siguiente. La fila 3 tiene 11 asientos y las 10 primeras filas suman en total 210 asientos.

a) Halla el número de asientos de la primera fila y el aumento por fila.

b) Calcula cuántos asientos hay entre las filas 6 y 10, ambas incluidas.

c) Se quiere ampliar la grada con más filas siguiendo la misma regla. Halla el menor número de filas con el que se llega a un total de al menos 1000 asientos.

Solución

a) Sean $u_{1}$ y $d$ los datos buscados. Del dato de la fila 3, $u_{3} = u_{1} + 2 d = 11$ . Del dato de la suma, $S_{10} = \frac{10}{2} (2 u_{1} + 9 d) = 210 \Rightarrow 2 u_{1} + 9 d = 42$ De la primera ecuación, $u_{1} = 11 - 2 d$ . Sustituyendo: $22 - 4 d + 9 d = 42$ , luego $5 d = 20$ y $d = 4$ . Entonces $u_{1} = 11 - 8 = 3$ .

La primera fila tiene 3 asientos y cada fila tiene 4 más que la anterior.

b) Las filas de la 6 a la 10 son el total de 10 filas menos el de las 5 primeras. Como $u_{5} = 3 + 16 = 19$ , se tiene $S_{5} = \frac{5}{2} (3 + 19) = 55$ . Entonces $S_{10} - S_{5} = 210 - 55 = 155$

c) El total de $n$ filas es $S_{n} = \frac{n}{2} (6 + 4 (n - 1)) = n (2 n + 1) = 2 n^{2} + n$ . Se busca el menor entero $n$ con $2 n^{2} + n \geq 1000$ .

Para $n = 22$ : $S_{22} = 22 \cdot 45 = 990 < 1000$ .

Para $n = 23$ : $S_{23} = 23 \cdot 47 = 1081 \geq 1000$ .

Como $S_{n}$ crece con $n$ , el menor valor es $n = 23$ filas.

En el examen: en un problema como este se puntúa plantear las dos ecuaciones a partir de los datos, resolver el sistema, y en el último apartado justificar el valor entero (comparando $S_{22}$ y $S_{23}$ o resolviendo la ecuación con la CPG y redondeando hacia arriba, porque no existen fracciones de fila).

Errores típicos

Resumen

Una serie aritmética es la suma de los términos de una progresión aritmética; $S_{n} = u_{1} + \dots + u_{n} = \sum_{r = 1}^{n} u_{r}$ .
Si conoces el último término: $S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n})$ , es decir, $n$ por la media del primero y el último.
Si conoces $u_{1}$ , $d$ y $n$ : $S_{n} = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ .
Un tramo desde $u_{k}$ hasta $u_{n}$ se suma como $S_{n} - S_{k - 1}$ (hay $n - k + 1$ términos).
Para hallar $n$ a partir de una suma resulta una ecuación cuadrática; solo vale un entero positivo.
En la Prueba 2, la CPG (tabla, suma de secuencia o ecuación) acelera el cálculo, pero escribe qué has calculado.

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