IB Aplicaciones e Interpretación NM · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 4 de 5

Interés simple y compuesto, depreciación y crecimiento

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El dinero que se invierte, el valor de un coche que envejece o una población que crece siguen el mismo patrón: cada año se multiplica por un factor fijo, o se le suma una cantidad fija. Son progresiones geométricas y aritméticas disfrazadas de problema real, y aparecen casi siempre en el examen del IB con una fórmula que debes saber leer y despejar.

Interés simple

Cuando depositas un capital en un banco, este te paga unos intereses. Hay dos maneras de calcularlos. En el interés simple, los intereses de cada año se calculan siempre sobre la cantidad con la que empezaste, y no se reinvierten.

La razón es sencilla: cada año se añade la misma cantidad, $P V \cdot \frac{r}{100}$ . Los valores del capital año tras año forman una progresión aritmética con diferencia $P V \cdot \frac{r}{100}$ , es decir, crecen en línea recta.

Por ejemplo, 1 000 euros al $5 %$ simple ganan 50 euros cada año: 1 050, 1 100, 1 150...

Interés compuesto

En el interés compuesto, al terminar cada periodo los intereses se suman al capital y, desde entonces, también generan intereses. Por eso el crecimiento es cada vez más rápido.

Esta fórmula está en el cuadernillo de fórmulas del IB, pero conviene entenderla. En cada periodo el capital se multiplica por $1 + \frac{r}{100 k}$ , de modo que los valores sucesivos forman una progresión geométrica de razón $1 + \frac{r}{100 k}$ . Tras $k n$ periodos, el capital inicial queda multiplicado por esa razón elevada a $k n$ .

Periodos de capitalización

El tipo $r %$ es siempre el nominal anual. Si los intereses se abonan varias veces al año, el tipo de cada periodo es solo una parte:

Capitalización	$k$	Tipo por periodo	Periodos en $n$ años
Anual	1	$r %$	$n$
Semestral	2	$\frac{r}{2} %$	$2 n$
Trimestral	4	$\frac{r}{4} %$	$4 n$
Mensual	12	$\frac{r}{12} %$	$12 n$

Cuanto mayor es $k$ , algo más crece el capital al cabo del año, porque los intereses empiezan antes a generar más intereses. La diferencia es pequeña, pero se nota en cantidades grandes o en plazos largos.

Depreciación e inflación

La inflación es una subida generalizada de los precios y la depreciación es la pérdida de valor de un bien con el paso del tiempo. Ambas se modelan como el interés compuesto anual: el factor es mayor que $1$ cuando el valor sube y menor que $1$ cuando baja.

Observa que cada año se pierde el $r %$ del valor de ese momento, no del valor inicial. Por eso un bien nunca llega a valer cero y las pérdidas anuales, en dinero, son cada vez menores.

Crecimiento demográfico

Las poblaciones (de personas, de animales, de bacterias) suelen modelarse con un porcentaje de crecimiento anual constante. Si hoy hay $P_{0}$ individuos y la población crece un $r %$ cada año, dentro de $n$ años habrá

$P_{n} = P_{0} (1 + \frac{r}{100})^{n}$

Es otra vez una progresión geométrica. Por ejemplo, una ciudad de $50000$ habitantes que crece un $2 %$ anual tendrá, dentro de $3$ años, $50000 \cdot 1, 0 2^{3} \approx 53060$ habitantes.

Si el enunciado numera los términos de la progresión, con el primero como $u_{1}$ , ten cuidado: el valor de «hoy» es $u_{1}$ y el de dentro de $n$ años es $u_{n + 1}$ , con $u_{n + 1} = u_{1} r^{n}$ . Es la misma fórmula escrita con la notación de sucesiones y término $n$ -ésimo.

Nota · La CPG en los problemas financieros

En la Prueba 1 se evalúan expresiones sencillas sin calculadora. En la Prueba 2 puedes usar la calculadora de pantalla gráfica (CPG), y estos problemas son un caso típico:

Casi todas las CPG tienen una herramienta financiera (a veces llamada TVM) en la que introduces el número de periodos o de años, el tipo de interés anual, el capital inicial, el pago periódico (aquí cero), el valor final y el número de pagos y de capitalizaciones por año. Dejas una incógnita y la calculadora la resuelve. El capital inicial y el valor final tienen signos opuestos (lo que se invierte frente a lo que se recibe); si te sale un resultado negativo, probablemente sea esto.
Cuando la incógnita es el tiempo, el tipo de interés o el capital en el exponente, la herramienta financiera o el solucionador de ecuaciones (o la intersección de dos gráficas) evita despejar con logaritmos.
Escribe siempre la fórmula con los datos sustituidos o los valores introducidos, aunque uses la herramienta: aporta puntos de método si el resultado final falla.
Fíjate bien en el número de capitalizaciones por año que introduces, que es el fallo más habitual con la herramienta.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un depósito a interés simple

Marta deposita $3200$ euros en una cuenta que paga un interés simple del $2, 5 %$ nominal anual.

a) ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta al cabo de $6$ años?

b) ¿Cuántos años han de pasar para que los intereses ganados sean de $1600$ euros?

Solución

a) Se aplica la fórmula del interés simple con $P V = 3200$ , $r = 2, 5$ y $n = 6$ :

$F V = 3200 (1 + \frac{6 \cdot 2 , 5}{100}) = 3200 \cdot 1, 15 = 3680 euros$

b) Cada año se ganan $3200 \cdot \frac{2 , 5}{100} = 80$ euros. Se plantea cuántos años hacen falta para acumular $1600$ :

$80 n = 1600 \Rightarrow n = 20 a n ˜ os$

Ejemplo 2 Medio

Capitalización mensual

Se invierten $2500$ libras (GBP) en una cuenta que ofrece un interés compuesto del $4, 8 %$ nominal anual, con capitalización mensual. Da los resultados con dos cifras decimales.

a) ¿Cuánto vale la inversión después de $5$ años?

b) ¿Qué intereses se han generado en ese tiempo?

Solución

a) La capitalización es mensual, así que $k = 12$ . Hay $k n = 12 \cdot 5 = 60$ periodos y el tipo de cada periodo es $\frac{4 , 8}{12} = 0, 4 %$ :

$F V = 2500 (1 + \frac{4 , 8}{100 \cdot 12})^{60} = 2500 \cdot 1, 00 4^{60} \approx 3176, 60 GBP$

b) Los intereses son la diferencia entre el valor final y el inicial:

$3176, 60 - 2500 = 676, 60 GBP$

Con la CPG se introducen $n = 5$ , $I % = 4, 8$ , $P V = - 2500$ , pago cero y $12$ capitalizaciones por año, y se obtiene el valor final.

Ejemplo 3 Difícil

Una máquina que pierde valor

Una empresa compra una máquina por $18000$ euros. Su valor se deprecia un $12 %$ cada año.

a) Calcula su valor al cabo de $4$ años, con dos cifras decimales.

b) ¿Cuántos años completos han de pasar para que valga menos de la mitad de su precio de compra?

c) Otra máquina costó $16000$ euros y, tras $3$ años, vale $11664$ euros. Si la depreciación anual es constante, ¿cuál es su tasa en porcentaje?

Solución

a) El factor anual es $1 - \frac{12}{100} = 0, 88$ :

$F V = 18000 \cdot 0, 8 8^{4} = 18000 \cdot 0, 59969536 \approx 10794, 52 euros$

b) Se busca el menor entero $n$ con $18000 \cdot 0, 8 8^{n} < 9000$ , es decir, $0, 8 8^{n} < 0, 5$ . Se compara con la CPG (tabla de valores) o con logaritmos:

$n > \frac{ln 0 , 5}{ln 0 , 88} \approx 5, 42$

Se comprueba: $0, 8 8^{5} \approx 0, 528 > 0, 5$ (aún vale más de la mitad) y $0, 8 8^{6} \approx 0, 464 < 0, 5$ . Hacen falta 6 años completos.

c) Se plantea la ecuación con la tasa $r$ como incógnita:

$16000 (1 - \frac{r}{100})^{3} = 11664 \Rightarrow (1 - \frac{r}{100})^{3} = 0, 729$

Como $0, 9^{3} = 0, 729$ , resulta $1 - \frac{r}{100} = 0, 9$ y $r = 10$ . La tasa es del $10 %$ anual. La CPG da el mismo resultado con su herramienta financiera (con signo negativo para la tasa, porque el valor baja) o con el solucionador.

En el examen: escribe la fórmula con los datos sustituidos antes de calcular. En las partes con incógnita en el exponente, muestra la desigualdad o la tabla que has usado y responde con un número entero de años cuando te lo piden, no con un decimal.

Errores típicos

Resumen

Interés simple: $F V = P V (1 + \frac{n r}{100})$ . Los intereses salen siempre del capital inicial y el valor crece en progresión aritmética.
Interés compuesto: $F V = P V (1 + \frac{r}{100 k})^{k n}$ , con $k$ capitalizaciones al año y $r$ el tipo nominal anual. Es una progresión geométrica.
Capitalización semestral, trimestral y mensual: $k = 2, 4, 12$ . El tipo por periodo es $\frac{r}{k}$ y hay $k n$ periodos.
Depreciación anual: $F V = P V (1 - \frac{r}{100})^{n}$ . Crecimiento de una población: $P_{n} = P_{0} (1 + \frac{r}{100})^{n}$ . La inflación se trata como un interés compuesto.
Si te piden los intereses, calcula $F V - P V$ .
En la Prueba 2, la herramienta financiera o el solucionador de la CPG resuelven cualquier incógnita; escribe siempre la fórmula con los datos y no redondees los pasos intermedios.

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