Ejercicios IB del tema 1

Exprese $(\sqrt{3}-2{)}^3$ en la forma $a\sqrt{3}+b$, donde $a,b\in \mathbb{Z}$.

Sea $f(x)=x^4+p{x}^3+qx+5$. El resto cuando $f(x)$ se divide por $(x+1)$ es $7$, y el resto cuando $f(x)$ se divide por $(x-2)$ es $1$. Encuentre el valor de $p$ y el valor de $q$.

Cuando el polinomio $3x^3+ax+b$ se divide por $(x-2)$, el resto es $2$, y cuando se divide por $(x+1)$, es $5$. Encuentre el valor de $a$ y el valor de $b$.

Calcule los posibles valores de $k$ si $x=k$ es solución de la ecuación $x^3+k{x}^2-x-k=0$.

Sea $P(x)=x^3-3x^2+4x+c$.

a) Calcule $P(-2)$.

b) Si el resto cuando se divide $P(x)$ por $(x+2)$ es $-23$, calcule el valor de $c$.

Cuando la función $f(x)=6x^4+11x^3-22x^2+ax+6$ se divide por $(x+1)$ el resto es $-20$. Calcule el valor de $a$.

Considere $f(x)=x^3-2x^2-5x+k$. Halle el valor de $k$ si $(x+2)$ es un divisor de $f(x)$.

Cuando se divide el polinomio $x^4+ax+3$ por $(x-1)$, el resto es $8$. Halle el valor de $a$.

El polinomio $P(x)=x^3+a{x}^2+bx+2$ es divisible por $x+1$ y por $x-2$. Halle el valor de $a$ y de $b$, donde $a,b\in \mathbb{R}$.

Cuando se divide $f(x)=x^4+3x^3+p{x}^2-2x+q$ por $(x-2)$ el resto es igual a 15, y $(x+3)$ es un factor de $f(x)$. Halle los valores de $p$ y $q$.

Cuando la función $q(x)=x^3+k{x}^2-7x+3$ se divide por $(x+1)$, el resto es siete veces mayor que el resto que se obtiene cuando la función se divide por $(x+2)$. Halle el valor de $k$.

Cuando $3x^5-ax+b$ se divide por $x-1$, se obtiene el mismo resto que cuando se divide por $x+1$. Sabiendo que $a,b\in \mathbb{R}$, halle:

a) el valor de $a$.

b) el conjunto de valores de $b$.

Cuando se divide $2x^3+k{x}^2+6x+32$ y $x^4-6x^2-k^{2}x+9$ entre $x+1$, en ambos casos se obtiene el mismo resto. Halle los posibles valores de $k$.

El polinomio $3x^3+p{x}^2+qx-2$ tiene un divisor que es $(x+2)$ y cuando se lo divide entre $(x+1)$, el resto es igual a 4. Halle el valor de $p$ y el valor de $q$.

Cuando $x^2+4x-b$ se divide por $x-a$ el resto es 2. Sabiendo que $a,b\in \mathbb{R}$, calcule el menor valor posible para $b$.

El polinomio $x^2-4x+3$ es un divisor de $x^3+(a-4)x^2+(3-4a)x+3$. Calcule el valor de la constante $a$.

Cuando el polinomio $P(x)=4x^3+p{x}^2+qx+1$ se divide entre $(x-1)$, el resto es $-2$. Cuando $P(x)$ se divide entre $(2x-1)$ el resto es $\frac{13}{4}$. Halle el valor de $p$ y el valor de $q$.

Sabiendo que $(x-2)$ y $(x+2)$ son factores de $f(x)=x^3+p{x}^2+qx+4$, halle el valor de $p$ y de $q$.

La función $f(x)=4x^3+2ax-7a$, $a\in \mathbb{R}$ tiene por resto $-10$ cuando se divide por $x-a$.

a) Encuentre el valor de $a$.

b) Demuestre que para este valor de $a$ la ecuación $f(x)=0$ tiene una solución real única.

La ecuación $5x^3+48x^2+100x+2=a$ tiene las raíces $r_1,r_2$ y $r_3$. Sabiendo que $r_1+r_2+r_3+r_1{r}_2{r}_3=0$, calcule el valor de $a$.

El polinomio $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+6$ es exactamente divisible entre $(x-1)$, entre $(x-2)$ y entre $(x-3)$. Halle los valores de $p$, $q$ y $r$.

Considere el polinomio $q(x)=3x^3-11x^2+kx+8$.

a) Sabiendo que $q(x)$ tiene como factor a $(x-4)$, calcule el valor de $k$.

b) Usando lo anterior o de cualquier otra manera, factorice $q(x)$ como producto de factores lineales.

El polinomio $p(x)=(ax+b{)}^3$ tiene resto $-1$ cuando se divide por $(x+1)$, y tiene resto $27$ cuando se divide por $(x-2)$. Calcule los valores de los números reales $a$ y $b$.

El polinomio $f(x)=x^3+3x^2+ax+b$ tiene el mismo resto cuando se divide por $(x-2)$ que cuando se divide por $(x+1)$. Calcule el valor de $a$.

El polinomio $x^3+a{x}^2-3x+b$ es divisible por $(x-2)$ y da de resto $6$ al dividirlo por $(x+1)$. Halle el valor de $a$ y de $b$.

El polinomio $x^3-2x^2+ax+b$ tiene un factor $(x-1)$ y un resto $8$ cuando se divide por $(x+1)$. Calcule el valor de $a$ y de $b$.

El polinomio $P(x)=2x^3+a{x}^2-4x+b$ es divisible por $(x-1)$ y por $(x+3)$. Halle el valor de $a$ y el valor de $b$.

Sabiendo que $A{x}^3+B{x}^2+x+6$ es exactamente divisible por $(x+1)(x-2)$, encuentre el valor de $A$ y el valor de $B$.

Considere $p(x)=3x^3+ax+5a$, $a\in \mathbb{R}$. Cuando el polinomio se divide entre $(x-a)$, el resto es igual a $-7$. Muestre que sólo hay un valor que satisfaga la condición anterior e indique dicho valor.

La ecuación cúbica $x^3-k{x}^2+3k=0$, donde $k>0$, tiene por raíces $\alpha$, $\beta$ y $\alpha +\beta$. Sabiendo que $\alpha \beta =-\frac{k^2}{4}$, halle el valor de $k$.

Exprese $\frac{3x-4}{x^2-x}$ en fracciones simples.

Exprese $\frac{12}{x^4+x^3-2x^2}$ como suma de cuatro fracciones simples.

Exprese $\frac{11x^2-9x+19}{(x-1)(3x^2+4)}$ como suma de dos fracciones parciales.

Demuestre que la ecuación cuadrática $x^2-(5-k)x-(k+2)=0$ tiene dos raíces reales distintas para todos los valores reales de $k$.

Las raíces de la ecuación cuadrática $2x^2+4x-1=0$ son $\alpha$ y $\beta$. Sin resolver la ecuación,

a) Halle el valor de ${\alpha }^2+{\beta }^2$.

b) Halle una ecuación cuadrática cuyas raíces sean ${\alpha }^2$ y ${\beta }^2$.

La ecuación cuadrática $2x^2-8x+1=0$ tiene por raíces $\alpha$ y $\beta$.

a) Sin resolver la ecuación, halle el valor de:

(i) $\alpha +\beta$

(ii) $\alpha \cdot \beta$ Otra ecuación cuadrática $x^2+px+q=0$, $p,q\in \mathbb{Z}$, tiene por raíces $\frac{2}{\alpha }$ y $\frac{2}{\beta }$.

b) Halle el valor de $p$ y el valor de $q$.

La función $f$ viene dada por $f(x)=x^2-2x+k(3k+2)$ donde $k\in \mathbb{R}$. Halle el conjunto de valores de $k$ para los cuales $f(x)=0$ presenta dos raíces reales distintas.

El diagrama muestra un sólido de volumen $V$ obtenido al quitar de un cubo de lado $a>1$ un cubo más pequeño de lado $\frac{1}{a}$. Si $x=a-\frac{1}{a}$,

a) Calcule $V$ en función de $x$.

b) Usando lo anterior, o de cualquier otra forma, demuestre que el único valor de $a$ para el que $V=4x$ es $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Sabiendo que $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-5x-3=0$, escriba los valores de $\alpha \beta$ y $\alpha +\beta$. Usando lo anterior, o de cualquier otra forma, obtenga la ecuación cuadrática cuyas raíces son $\frac{1}{\alpha +1}$ y $\frac{1}{\beta +1}$.

La ecuación $x^2-5x-7=0$ tiene raíces $\alpha$ y $\beta$. La ecuación $x^2+px+q=0$ tiene raíces $\alpha +1$ y $\beta +1$. Encuentre el valor de $p$ y el valor de $q$.

En la ecuación cuadrática $7x^2-8x+p=0$, ($p\in \mathbb{Q}$), una de las raíces es tres veces la otra raíz. Calcule el valor de $p$.

Considere la ecuación $(1+2k)x^2-10x+k-2=0$, $k\in \mathbb{R}$. Halle el conjunto de valores de $k$ para los cuales la ecuación tiene raíces reales.

La ecuación cuadrática $x^2-2kx+(k-1)=0$ tiene por raíces $\alpha$ y $\beta$ tales que ${\alpha }^2+{\beta }^2=4$. Sin resolver la ecuación, halle los posibles valores del número real $k$.

Las raíces de la ecuación $x^2+5x+k=0$, donde $k$ es constante, son $x=\alpha$ y $x=\beta$. Calcule en función de $k$ la ecuación cuadrática cuyas raíces son $x={\alpha }^2$ y $x={\beta }^2$.

Calcule todos los valores de $m$ para los cuales la ecuación $m{x}^2-2(m+2)x+m+2=0$ tiene

a) Dos raíces reales;

b) Dos raíces reales, una positiva y una negativa.

Las raíces $\alpha$ y $\beta$ de la ecuación cuadrática $x^2-kx+(k+1)=0$ son tales que ${\alpha }^2+{\beta }^2=13$. Calcule los posibles valores del número real $k$.

¿Para qué valores de $m$ la recta $y=mx+5$ es tangente a la parábola $y=4-x^2$?

La ecuación $k{x}^2-3x+(k+2)=0$ tiene dos raíces reales distintas. Calcule el conjunto de los valores posibles de $k$.

La ecuación $3p{x}^2+2px+1=p$ tiene dos raíces reales distintas.

a) Calcule los posibles valores de $p$.

b) Considere el caso cuando $p=4$. Las raíces de la ecuación se pueden expresar en la forma $x=\frac{a\pm \sqrt{13}}{6}$, donde $a\in \mathbb{Z}$. Encuentre el valor de $a$.

Considere la ecuación $k{x}^2-(k+3)x+2k+9=0$, donde $k\in \mathbb{R}$.

a) Escriba una expresión para el producto de las raíces, en función de $k$.

b) Usando lo anterior, o de otra manera, determine los valores de $k$ para los cuales la ecuación tiene una solución real positiva y una solución real negativa.

a) Pruebe la identidad $(p+q{)}^3-3pq(p+q)\equiv p^3+q^3$. La ecuación $2x^2-5x+1=0$ tiene dos raíces reales $\alpha$ y $\beta$. Considere la ecuación $x^2+mx+n=0$, donde $m,n\in \mathbb{Z}$ y que tiene raíces $\frac{1}{{\alpha }^3}$ y $\frac{1}{{\beta }^3}$.

b) Sin resolver $2x^2-5x+1=0$, determine los valores de $m$ y $n$.

Dado que $x>0$, calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rl}\frac{8x^3}{y}& =3\\ xy-y& =x^2+\frac{9}{4}\end{array}$$

Considere dos números enteros positivos consecutivos, $n$ y $n+1$. Muestre que la diferencia de sus cuadrados es igual a la suma de esos dos enteros.

Considere tres números enteros consecutivos cualesquiera: $n-1$, $n$ y $n+1$.

a) Pruebe que la suma de estos tres números enteros siempre es divisible entre $3$.

b) Pruebe que la suma de los cuadrados de estos tres números enteros no es nunca divisible entre $3$.

Pruebe por contradicción que la ecuación $2x^3+6x+1=0$ no tiene ninguna raíz entera.

Considere los números enteros $a$ y $b$ tales que $a^2+b^2$ es exactamente divisible por $4$. Demuestre por contradicción que $a$ y $b$ no pueden ser impares.

Sea $a$ una constante, donde $a>1$.

a) Muestre que $a^2+{\left(\frac{a^2-1}{2}\right)}^2={\left(\frac{a^2+1}{2}\right)}^2$. Considere un triángulo rectángulo cuyos lados miden $a$, $\left(\frac{a^2-1}{2}\right)$ y $\left(\frac{a^2+1}{2}\right)$.

b) Halle una expresión para el área del triángulo en función de $a$.

Demuestre utilizando la inducción matemática que ${\sum }_{r=1}^{n}r(r!)=(n+1)!-1,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Demuestre, utilizando la inducción matemática que, para $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $$1+2\left(\frac{1}{2}\right)+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+\cdots +n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$$

Demuestre mediante inducción matemática que $n^3+11n$ es divisible entre 3 para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Pruebe, usando la inducción matemática, que $7^{8n+3}+2$, $n\in \mathbb{N}$, es divisible por 5.

Use el método de inducción matemática para probar que $4^n+15n-1$ es divisible por $9$ para $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Usando la inducción matemática, pruebe que $\sum _{r=1}^n(r+1)2^{r-1}=n\left(2^n\right)$ para todos los enteros positivos.

a) Utilice la inducción matemática para demostrar que $(1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+\dots +(n)(n!)=(n+1)!-1$ donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

b) Halle el número mínimo de términos de la serie para el cual la suma sobrepasa $10^9$.

a) Considere la siguiente sucesión de ecuaciones: $$1\times 2=\frac{1}{3}(1\times 2\times 3)$$ $$1\times 2+2\times 3=\frac{1}{3}(2\times 3\times 4)$$ $$1\times 2+2\times 3+3\times 4=\frac{1}{3}(3\times 4\times 5)$$

(i) Formule una conjetura para la n-ésima ecuación de la sucesión.

(ii) Verifique su conjetura para $n=4$.

b) El término n-ésimo de una sucesión de números viene dado por $u_n=2^n+3,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Bill conjetura que todos los elementos de la sucesión son números primos. Compruebe que la conjetura de Bill es falsa.

c) Utilice la inducción matemática para demostrar que $5\times 7^n+1$ es divisible por 6 para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Utilice el método de inducción matemática para demostrar que $5^{2n}-24n-1$ es divisible por 576 para $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Utilice la inducción matemática para demostrar que $(2n)!\ge 2^n(n!{)}^2,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Pruebe por inducción que $12^n+2(5^{n-1})$ es múltiplo de 7 para $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) Muestre que $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$, donde $n\ge 0$, $n\in \mathbb{Z}$.

b) A partir de lo anterior, muestre que $\sqrt{2}-1<\frac{1}{\sqrt{2}}$.

c) Demuestre, utilizando la inducción matemática, que ${\sum }_{r=1}^n\frac{1}{\sqrt{r}}>\sqrt{n}$, para $n\ge 2$, $n\in \mathbb{Z}$.

Utilice la inducción matemática para demostrar que $(1-a{)}^n>1-na$ para $\{n:n\in {\mathbb{Z}}^{+},n\ge 2\}$, donde $0<a<1$.

Demuestre mediante inducción matemática que $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$ donde $n\in \mathbb{Z}$, $n\ge 3$.

Utilice la inducción matemática para demostrar que $n(n^2+5)$ es divisible entre $6$.

Use la inducción matemática para probar que el número $2^{2n}-3n-1$ es divisible por $9$, para $n=1,2,\dots$

Desarrolle y simplifique ${\left(x^2-\frac{2}{x}\right)}^4$.

a) Escriba y simplifique el desarrollo de $(2+x{)}^4$ en potencias ascendentes de $x$.

b) A partir de lo anterior, halle el valor exacto de $(2,1{)}^4$.

Desarrolle $(2-3x{)}^5$ en potencias de $x$ ascendentes, simplificando los coeficientes del desarrollo.

Halle el coeficiente de $x^3$ en el desarrollo binomial de ${\left(1-\frac{x}{2}\right)}^8$.

a) Halle el desarrollo de $(2+x{)}^5$, expresando la respuesta en orden ascendente de potencias de $x$.

b) Tomando $x=0,01$, o de cualquier otro modo, halle el valor exacto de $2,01^5$.

Desarrolle $(3-x{)}^4$ en potencias ascendentes de $x$ y simplifique la respuesta.

Determine los tres primeros términos de $(1-2x{)}^{11}$ en potencias ascendentes de $x$, dando cada término en su forma más simple.

Calcule el coeficiente de $x^8$ en el desarrollo de ${\left(x^2-\frac{2}{x}\right)}^7$.

Calcule el coeficiente de $x^7$ en el desarrollo de $(2+3x{)}^{10}$, dando su respuesta como un número entero.

Halle el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo de ${\left(2-\frac{3x}{2}\right)}^6$.

En el desarrollo de $(x+k{)}^7$, donde $k\in \mathbb{R}$, el coeficiente del término en $x^5$ es $63$. Halle los posible valores de $k$.

Cuando ${\left(1+\frac{x}{2}\right)}^n$, $n\in \mathbb{N}$, se desarrolla en potencias ascendentes de $x$, el coeficiente correspondiente a $x^3$ es 70.

a) Halle el valor de $n$.

b) A partir de lo anterior, halle el coeficiente correspondiente a $x^2$.

a) Simplifique la resta de coeficientes binomiales $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)$, donde $n\ge 3$.

b) A partir de lo anterior, resuelva la inecuación $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2}\right)>32n$, donde $n\ge 3$.

a) Desarrolle y simplifique ${\left(x-\frac{2}{x}\right)}^4$.

b) A partir de lo anterior, determine el término constante del desarrollo $(2x^2+1){\left(x-\frac{2}{x}\right)}^4$.

El coeficiente de $x$ en el desarrollo de ${\left(x+\frac{1}{a{x}^2}\right)}^7$ es $\frac{7}{3}$. Calcule los posibles valores de $a$.

Determine los tres primeros términos en el desarrollo de $(1-2x{)}^5(1+x{)}^7$.

a) Escriba la expresión cuadrática $2x^2+x-3$ como producto de dos factores lineales.

b) Utilizando lo anterior, o de cualquier otra forma, calcule el coeficiente de $x$ en el desarrollo de $(2x^2+x-3{)}^8$.

Desarrolle y simplifique ${\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)}^4$.