IB Análisis y Enfoques NS · Repaso de álgebra e inducción matemática · Apartado 3 de 6

Ecuación cuadrática y discriminante

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una ecuación cuadrática es la que se puede escribir como $a x^{2} + b x + c = 0$ . En este apartado ves tres formas de resolverla (factorizar, completar el cuadrado, fórmula), cómo el discriminante dice cuántas raíces reales tiene sin resolverla y cómo la suma y el producto de las raíces permiten plantear problemas con parámetros: son preguntas habituales de la Prueba 1 y de la Prueba 2.

Qué es una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces reales. Antes de resolverla hay que llevarla a esa forma, con todo a un lado y $0$ en el otro: $2 x^{2} - 3 x = 1$ se escribe $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ , con $a = 2$ , $b = - 3$ y $c = - 1$ . Los signos de $b$ y de $c$ forman parte del coeficiente.

Ecuaciones incompletas

Cuando falta el término en $x$ o el término independiente no hace falta ningún método general.

Si $b = 0$ ( $a x^{2} + c = 0$ ): se despeja $x^{2} = - \frac{c}{a}$ . Hay dos raíces opuestas, $x = \pm - c / a$ , si $- c / a > 0$ ; una sola raíz, $x = 0$ , si $c = 0$ ; y ninguna raíz real si $- c / a < 0$ . Por ejemplo, $5 x^{2} - 45 = 0$ da $x^{2} = 9$ , es decir, $x = \pm 3$ , mientras que $x^{2} + 4 = 0$ no tiene raíces reales.
Si $c = 0$ ( $a x^{2} + b x = 0$ ): se saca factor común, $x (a x + b) = 0$ . Una de las raíces es siempre $x = 0$ y la otra es $x = - \frac{b}{a}$ . Por ejemplo, $4 x^{2} - 12 x = 0$ se escribe $4 x (x - 3) = 0$ , con raíces $0$ y $3$ .

El segundo caso usa la propiedad que sostiene el método de factorizar: un producto es cero si y solo si alguno de sus factores es cero. No hay ninguna otra forma de que dos números multiplicados den $0$ .

Método 1: factorizar

Por ejemplo, en $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ buscamos dos números de producto $12$ y suma $- 7$ : son $- 3$ y $- 4$ . Entonces $(x - 3) (x - 4) = 0$ y las raíces son $x = 3$ y $x = 4$ .

Factorizar es rápido cuando las raíces son enteras o fracciones sencillas, pero muchas ecuaciones (por ejemplo $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ ) no se pueden descomponer con números racionales. Para esas hace falta uno de los métodos siguientes.

Método 2: completar el cuadrado

La idea es reescribir $x^{2} + b x$ como parte de un cuadrado perfecto, porque $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ . Si el coeficiente de $x$ es $b$ , hay que sumar $(\frac{b}{2})^{2}$ a los dos miembros para obtener $(x + \frac{b}{2})^{2}$ .

Para $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ : pasamos el $2$ al otro lado, $x^{2} + 6 x = - 2$ , sumamos $3^{2} = 9$ en los dos miembros, $x^{2} + 6 x + 9 = 7$ , y queda $(x + 3)^{2} = 7$ . Tomando raíz cuadrada con los dos signos, $x + 3 = \pm 7$ , luego $x = - 3 \pm 7$ .

Si $a \neq = 1$ , se divide antes toda la ecuación entre $a$ para que el coeficiente de $x^{2}$ sea $1$ .

Método 3: la fórmula cuadrática

Completar el cuadrado en la ecuación general conduce a una fórmula que sirve para cualquier ecuación cuadrática.

Por qué funciona. Dividimos entre $a$ y completamos el cuadrado:

$x^{2} + \frac{b}{a} x x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} (x + \frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}$

Si el miembro de la derecha no es negativo, se toma raíz cuadrada con los dos signos, $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ , y al despejar $x$ sale la fórmula.

Por ejemplo, para $3 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ tenemos $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = - 4$ :

$x = \frac{2 \pm 4 + 48}{6} = \frac{2 \pm 2 13}{6} = \frac{1 \pm 13}{3}$

El discriminante

Es la cantidad que aparece dentro de la raíz cuadrada de la fórmula, y por eso decide cuántas raíces reales hay:

Signo de $Δ$	Número de raíces reales	Qué pasa en la fórmula
$Δ > 0$	dos raíces reales distintas	$\pm Δ$ da dos valores diferentes
$Δ = 0$	una raíz real (raíz doble)	$\pm 0$ da el mismo valor: $x = - \frac{b}{2 a}$
$Δ < 0$	ninguna raíz real	no existe la raíz cuadrada de un número negativo

Ejemplos: $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ tiene $Δ = 36 - 36 = 0$ , y su raíz doble es $x = 3$ (porque $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ). La ecuación $x^{2} + x + 5 = 0$ tiene $Δ = 1 - 20 = - 19 < 0$ , así que no tiene raíces reales, y $x^{2} + x - 6 = 0$ tiene $Δ = 25 > 0$ y raíces $2$ y $- 3$ .

Interpretación gráfica. Las raíces son los puntos donde la parábola $y = a x^{2} + b x + c$ corta al eje $x$ : $Δ > 0$ equivale a dos cortes, $Δ = 0$ a que la parábola solo toca el eje (en el vértice) y $Δ < 0$ a que no lo alcanza.

Ecuaciones con parámetro

En muchos problemas la ecuación contiene una letra, $k$ por ejemplo, y se pregunta para qué valores de $k$ ocurre algo sobre las raíces. El discriminante convierte esa pregunta en una ecuación o una inecuación en $k$ .

Por ejemplo, para que $x^{2} + k x + 4 = 0$ no tenga raíces reales: $Δ = k^{2} - 16 < 0 ⟺ - 4 < k < 4$ . Los valores $k = \pm 4$ dan raíz doble, y para $∣ k ∣ > 4$ hay dos raíces.

Suma y producto de las raíces

Por qué. Con la fórmula, $α = \frac{- b + Δ}{2 a}$ y $β = \frac{- b - Δ}{2 a}$ . Al sumar, las raíces cuadradas se cancelan y queda $\frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$ . Al multiplicar, $α β = \frac{b ^{2} - Δ}{4 a ^{2}} = \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a}$ . (Si $Δ = 0$ se cuenta la raíz doble dos veces.)

Estas relaciones permiten trabajar sin calcular las raíces. Por ejemplo, si $α$ y $β$ son las raíces de $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ , entonces $α + β = 5$ y $α β = 3$ , y se pueden calcular expresiones simétricas como

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 25 - 6 = 19$

También sirven en sentido contrario, para construir una ecuación a partir de sus raíces. Dividiendo entre $a$ , la ecuación es $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ . Las raíces $3 + 2$ y $3 - 2$ tienen suma $6$ y producto $9 - 2 = 7$ , y son las raíces de $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ .

Es la misma idea: al desarrollar $a_{n} (x - r_{1}) \dots (x - r_{n})$ , el coeficiente de $x^{n - 1}$ es $- a_{n} (r_{1} + \dots + r_{n})$ y el término independiente es $a_{n} (- 1)^{n} r_{1} \dots r_{n}$ . Comprobación con $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ , cuyas raíces son $- 1$ , $2$ y $3$ : la suma es $4 = - \frac{- 4}{1}$ y el producto es $- 6 = (- 1)^{3} \cdot \frac{6}{1}$ .

Ecuaciones reducibles a cuadráticas

Algunas ecuaciones de grado mayor tienen forma cuadrática si se hace un cambio de variable. La más común es la bicuadrada, $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : con $t = x^{2}$ se convierte en $a t^{2} + b t + c = 0$ .

Por ejemplo, $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ da $t^{2} - 13 t + 36 = 0$ , es decir, $(t - 4) (t - 9) = 0$ y $t = 4$ o $t = 9$ . Después hay que deshacer el cambio: $x^{2} = 4$ da $x = \pm 2$ y $x^{2} = 9$ da $x = \pm 3$ . Las cuatro raíces son $- 3, - 2, 2, 3$ .

Hay que tener en cuenta que $t = x^{2}$ no puede ser negativo: si la ecuación en $t$ da una solución $t < 0$ , esa solución no produce ninguna $x$ real.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres tipos de ecuación cuadrática

Resuelve, dando las soluciones exactas, cada una de las ecuaciones:

a) $3 x^{2} - 12 = 0$

b) $5 x^{2} + 15 x = 0$

c) $2 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Solución

a) Falta el término en $x$ . Se despeja: $3 x^{2} = 12$ , luego $x^{2} = 4$ y $x = \pm 2$ .

b) Falta el término independiente. Se saca factor común: $5 x (x + 3) = 0$ . Un producto es cero cuando lo es algún factor: $x = 0$ o $x + 3 = 0$ . Las raíces son $x = 0$ y $x = - 3$ . Un error habitual es dividir entre $x$ y perder la raíz $x = 0$ .

c) Ecuación completa. Aplicamos la fórmula con $a = 2$ , $b = 5$ , $c = - 12$ :

$Δ = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (- 12) = 25 + 96 = 121 = 1 1^{2}$

$x = \frac{- 5 \pm 11}{4} \Rightarrow x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} o x = \frac{- 16}{4} = - 4$

Como $Δ$ es un cuadrado perfecto, la ecuación se podía factorizar: $2 x^{2} + 5 x - 12 = (2 x - 3) (x + 4)$ , que da las mismas raíces.

Ejemplo 2 Medio

Una ecuación con parámetro y una trampa

Se considera la ecuación $k x^{2} + 4 x + (k - 3) = 0$ , donde $k \in R$ .

a) Halla los valores de $k$ para los que la ecuación tiene una raíz doble.

b) Halla todos los valores enteros de $k$ para los que la ecuación tiene dos raíces reales distintas.

Solución

Discriminante. Con $a = k$ , $b = 4$ y $c = k - 3$ :

$Δ = 16 - 4 k (k - 3) = - 4 k^{2} + 12 k + 16 = - 4 (k^{2} - 3 k - 4) = - 4 (k - 4) (k + 1)$

a) Raíz doble significa $Δ = 0$ : $- 4 (k - 4) (k + 1) = 0$ , luego $k = 4$ o $k = - 1$ . Ambos valores tienen $k \neq = 0$ , así que la ecuación sigue siendo cuadrática. Con $k = 4$ la ecuación es $4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ , es decir, $(2 x + 1)^{2} = 0$ , con raíz doble $x = - \frac{1}{2}$ .

b) Dos raíces distintas significa $Δ > 0$ , es decir, $- 4 (k - 4) (k + 1) > 0 ⟺ (k - 4) (k + 1) < 0$ . El producto de dos factores es negativo si están entre las raíces: $- 1 < k < 4$ .

La trampa. Si $k = 0$ la ecuación es $4 x - 3 = 0$ , de primer grado, con una sola raíz $x = \frac{3}{4}$ . No es una ecuación cuadrática y no tiene dos raíces, aunque $0$ esté en el intervalo $- 1 < k < 4$ . Hay que excluirlo.
Los enteros del intervalo $] - 1, 4 [$ son $0, 1, 2, 3$ . Quitando $k = 0$ , los valores son $k = 1, 2, 3$ .

Ejemplo 3 Difícil

Condición sobre las raíces sin resolver la ecuación

Sean $α$ y $β$ las raíces de la ecuación $x^{2} - k x + (k + 3) = 0$ , donde $k \in R$ .

a) Escribe $α + β$ y $α β$ en función de $k$ .

b) Sabiendo que $α^{2} + β^{2} = 2$ , halla los posibles valores de $k$ .

c) Determina cuáles de los valores de $k$ del apartado b) corresponden realmente a una ecuación con raíces reales.

Solución

a) Con $a = 1$ , $b = - k$ y $c = k + 3$ , la suma y el producto de las raíces son

$α + β = k α β = k + 3$

b) Escribimos $α^{2} + β^{2}$ solo con la suma y el producto:

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = k^{2} - 2 (k + 3) = k^{2} - 2 k - 6$

La condición es $k^{2} - 2 k - 6 = 2$ , es decir, $k^{2} - 2 k - 8 = 0$ , que se factoriza como $(k - 4) (k + 2) = 0$ . Los candidatos son $k = 4$ y $k = - 2$ .

c) Comprobación con el discriminante. Para que las raíces sean reales hace falta $Δ \geq 0$ :

$Δ = k^{2} - 4 (k + 3) = k^{2} - 4 k - 12 = (k - 6) (k + 2)$

Para $k = 4$ : $Δ = (- 2) (6) = - 12 < 0$ . La ecuación $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ no tiene raíces reales, así que no hay números reales $α$ , $β$ con esa suma y ese producto. El valor $k = 4$ se descarta.
Para $k = - 2$ : $Δ = (- 8) (0) = 0$ . La ecuación es $x^{2} + 2 x + 1 = 0 = (x + 1)^{2}$ , con raíz doble $α = β = - 1$ , y se cumple $α^{2} + β^{2} = 1 + 1 = 2$ .

El único valor válido es $k = - 2$ .

En el examen: las fórmulas de la suma y del producto se cumplen siempre, pero hablan de las raíces, y estas solo existen en $R$ si $Δ \geq 0$ . Si el enunciado dice que las raíces son reales, un apartado de comprobación como c) es la parte que se puntúa aparte; dejar $k = 4$ como solución quita el último punto.

Errores típicos

Resumen

Ecuación cuadrática: $a x^{2} + b x + c = 0$ con $a \neq = 0$ ; se lleva siempre a esa forma, con $0$ en un miembro, antes de resolverla.
Incompletas: $a x^{2} + c = 0$ se despeja; $a x^{2} + b x = 0$ se resuelve con factor común (no se divide entre $x$ , se perdería $x = 0$ ).
Métodos: factorizar (producto nulo), completar el cuadrado y fórmula $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ , que sirve siempre.
Discriminante $Δ = b^{2} - 4 a c$ : $Δ > 0$ dos raíces reales distintas, $Δ = 0$ una raíz doble, $Δ < 0$ ninguna raíz real.
Con parámetro: traduce la condición a una igualdad o desigualdad sobre $Δ$ y excluye los valores que anulan $a$ .
Suma y producto: $α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$ ; permiten calcular expresiones como $α^{2} + β^{2}$ sin resolver, y construir $x^{2} - (α + β) x + α β = 0$ . En NS se generalizan a grado $n$ .
Las ecuaciones bicuadradas se resuelven con $t = x^{2}$ , descartando $t < 0$ y deshaciendo el cambio.

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