IB Análisis y Enfoques NS · Repaso de álgebra e inducción matemática · Apartado 2 de 6

Polinomios: teorema del resto y del factor

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un polinomio se puede dividir como un número entero, y el resto de dividir entre $x - c$ se obtiene sin dividir: basta calcular $P (c)$ . Con esta idea se encuentran parámetros, ceros y factorizaciones, un tipo de pregunta muy habitual en la Prueba 1 y en la Prueba 2 del IB.

Polinomios, grado y ceros

Por ejemplo, $P (x) = 4 x^{3} - x + 7$ tiene grado $3$ , coeficiente principal $4$ y término independiente $7$ (el coeficiente de $x^{2}$ es $0$ ). Cuando se pide «un polinomio con coeficientes reales», todos los $a_{i}$ son números reales.

Para $P (x) = x^{2} - 5 x + 6$ se tiene $P (2) = 4 - 10 + 6 = 0$ y $P (3) = 9 - 15 + 6 = 0$ : los ceros son $2$ y $3$ . Ceros de $P$ , raíces de $P (x) = 0$ y puntos donde la gráfica de $y = P (x)$ corta al eje $x$ son tres formas de decir lo mismo. En la Prueba 2 la calculadora de pantalla gráfica los encuentra directamente, pero en la Prueba 1 hay que llegar a ellos a mano.

División de polinomios

Dividir $P (x)$ entre $D (x)$ funciona igual que dividir enteros: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ significa dividendo = divisor $\cdot$ cociente + resto, con un resto menor que el divisor.

Esta última condición dice cuándo se para: se sigue dividiendo mientras el resto tenga grado igual o mayor que el del divisor. Si el divisor es de grado 1, el resto es una constante; si es de grado 2, el resto tiene como mucho grado 1, es decir, tiene la forma $p x + q$ .

Por ejemplo, para dividir $x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 5$ entre $x^{2} - x + 1$ :

$x^{4} \div x^{2} = x^{2}$ . Se resta $x^{2} (x^{2} - x + 1) = x^{4} - x^{3} + x^{2}$ y queda $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 5$ .
$x^{3} \div x^{2} = x$ . Se resta $x (x^{2} - x + 1) = x^{3} - x^{2} + x$ y queda $- 3 x^{2} + x - 5$ .
$- 3 x^{2} \div x^{2} = - 3$ . Se resta $- 3 (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} + 3 x - 3$ y queda $- 2 x - 2$ .

Como $- 2 x - 2$ tiene grado $1 < 2$ , se termina: cociente $x^{2} + x - 3$ y resto $- 2 x - 2$ . Comprobación: $(x^{2} - x + 1) (x^{2} + x - 3) = x^{4} - 3 x^{2} + 4 x - 3$ , y sumando el resto se recupera $x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 5$ .

Teorema del resto

La razón es una línea. Por el algoritmo de la división, $P (x) = (x - c) Q (x) + R$ con $R$ constante, porque el divisor es de grado 1. Si se sustituye $x = c$ , el término $(x - c) Q (x)$ se anula y queda $P (c) = R$ . Dividir entre $x - c$ se parece a «evaluar en $c$ », que es mucho más rápido.

Atención al signo: para dividir entre $x + 3$ hay que escribirlo como $x - (- 3)$ , y el resto es $P (- 3)$ . Para un divisor de la forma $a x - b$ el resto es $P (\frac{b}{a})$ , el valor que anula el divisor.

Teorema del factor

Es el teorema del resto en el caso $R = 0$ : si el resto de dividir entre $x - c$ es cero, la división es exacta y $P (x) = (x - c) Q (x)$ ; y al revés. Tres afirmaciones son por tanto equivalentes: $c$ es un cero de $P$ , $x = c$ es una raíz de $P (x) = 0$ y $x - c$ divide a $P (x)$ .

Así, $P (x) = x^{2} - 5 x + 6$ tiene a $x - 2$ y a $x - 3$ como factores, y se factoriza como $(x - 2) (x - 3)$ .

Si el divisor es de grado 2 y tiene dos raíces conocidas, por ejemplo $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , el resto $p x + q$ cumple $R (2) = P (2)$ y $R (- 2) = P (- 2)$ : porque $P (x) = (x^{2} - 4) Q (x) + R (x)$ y el primer sumando se anula en $2$ y en $- 2$ . Eso da dos ecuaciones para $p$ y $q$ .

Teorema fundamental del álgebra y factorización

Esto dice dos cosas útiles. Un polinomio de grado $n$ tiene como mucho $n$ ceros distintos. Y si se encuentra un cero $c$ , el teorema del factor permite dividir y reducir el problema a un polinomio de grado uno menos. Los números complejos aparecen en otro tema del curso; mientras tanto, basta saber que un factor como $x^{2} + x + 1$ no se descompone con números reales, pero sí con complejos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dividir entre x - c y comprobar con el teorema del resto

Sea $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 7$ .

a) Divide $P (x)$ entre $x - 3$ y escribe el cociente y el resto.

b) Sin dividir, halla el resto de dividir $P (x)$ entre $x + 1$ .

Solución

a) Por división sintética con $c = 3$ , usando los coeficientes $2, - 5, 1, 7$ :

Se baja el $2$ .
$- 5 + 3 \cdot 2 = 1$ .
$1 + 3 \cdot 1 = 4$ .
$7 + 3 \cdot 4 = 19$ .

El último número es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente, de grado $2$ : el cociente es $2 x^{2} + x + 4$ y el resto es $19$ . Es decir,

$2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 7 = (x - 3) (2 x^{2} + x + 4) + 19$

Comprobación con el teorema del resto: $P (3) = 2 \cdot 27 - 5 \cdot 9 + 3 + 7 = 54 - 45 + 10 = 19$ , que coincide con el resto.

b) Para dividir entre $x + 1 = x - (- 1)$ el resto es $P (- 1)$ :

$P (- 1) = 2 (- 1)^{3} - 5 (- 1)^{2} + (- 1) + 7 = - 2 - 5 - 1 + 7 = - 1$

El resto es $- 1$ .

Ejemplo 2 Medio

Parámetro, factorización y raíces

Se considera el polinomio $P (x) = x^{3} + k x^{2} - 5 x - 6$ , donde $k \in R$ , y se sabe que $x - 2$ es un factor de $P (x)$ .

a) Halla el valor de $k$ .

b) Factoriza completamente $P (x)$ con ese valor de $k$ .

c) Halla todas las soluciones de la ecuación $P (x) = 0$ .

Solución

a) Teorema del factor. Si $x - 2$ es un factor, entonces $P (2) = 0$ :

$P (2) = 8 + 4 k - 10 - 6 = 4 k - 8 = 0 ⟺ k = 2$

b) Con $k = 2$ , $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$ .

Dividir entre $x - 2$ . Por división sintética con $c = 2$ y coeficientes $1, 2, - 5, - 6$ : se baja $1$ ; $2 + 2 \cdot 1 = 4$ ; $- 5 + 2 \cdot 4 = 3$ ; $- 6 + 2 \cdot 3 = 0$ . El resto es $0$ (como debía) y el cociente es $x^{2} + 4 x + 3$ .
Factorizar el cociente. Buscamos dos números que sumen $4$ y multipliquen $3$ : son $1$ y $3$ . Entonces $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$ .
Resultado.

$P (x) = (x - 2) (x + 1) (x + 3)$

c) $P (x) = 0$ si y solo si alguno de los factores vale $0$ : $x = 2$ , $x = - 1$ o $x = - 3$ .

Ejemplo 3 Difícil

Dos condiciones, factorización y resto de grado 1

El polinomio $P (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 6$ , con $a, b \in R$ , es divisible entre $x - 1$ y deja resto $8$ al dividirlo entre $x + 1$ .

a) Halla $a$ y $b$ .

b) Factoriza $P (x)$ con esos valores.

c) Halla el resto de dividir $P (x)$ entre $x^{2} - 1$ .

Solución

a) Traducimos los datos. Divisible entre $x - 1$ significa $P (1) = 0$ . Resto $8$ al dividir entre $x + 1 = x - (- 1)$ significa $P (- 1) = 8$ .

$P (1) P (- 1) = 1 + a + b + 6 = 0 = - 1 + a - b + 6 = 8 \Rightarrow a + b = - 7 \Rightarrow a - b = 3$

Sumando las dos ecuaciones, $2 a = - 4$ y $a = - 2$ . De la primera, $b = - 7 - a = - 5$ . Así,

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$

Comprobación: $P (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ y $P (- 1) = - 1 - 2 + 5 + 6 = 8$ .

b) $x - 1$ es un factor. Dividimos con $c = 1$ y coeficientes $1, - 2, - 5, 6$ : se baja $1$ ; $- 2 + 1 = - 1$ ; $- 5 + (- 1) = - 6$ ; $6 + (- 6) = 0$ . El cociente es $x^{2} - x - 6$ .

Para factorizarlo, dos números que sumen $- 1$ y multipliquen $- 6$ son $- 3$ y $2$ : $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ . Por tanto,

$P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$

c) El divisor $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ es de grado $2$ , así que el resto tiene la forma $R (x) = p x + q$ y

$P (x) = (x^{2} - 1) Q (x) + p x + q$

Sustituimos las raíces del divisor, $x = 1$ y $x = - 1$ , donde el primer sumando se anula:

$P (1) = 0 P (- 1) = 8 = p + q = - p + q$

Sumando, $2 q = 8$ , luego $q = 4$ y $p = - 4$ . El resto es $- 4 x + 4$ .

Comprobación por la división: $P (x) = (x^{2} - 1) (x - 2) + (- 4 x + 4)$ , ya que $(x^{2} - 1) (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ y al sumar $- 4 x + 4$ resulta $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ .

En el examen: escribe siempre el planteamiento ( $P (1) = 0$ , $P (- 1) = 8$ ) antes de resolver el sistema: es lo que da los puntos de método. En el apartado c), un resto de grado 1 se plantea con dos incógnitas, no con una.

Errores típicos

Resumen

Un polinomio de grado $n$ es $a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ con $a_{n} \neq = 0$ ; un cero $c$ cumple $P (c) = 0$ y es una raíz de $P (x) = 0$ .
Algoritmo de la división: $P (x) = D (x) Q (x) + R (x)$ , con $R = 0$ o grado de $R$ menor que el de $D$ . Dividir entre un divisor de grado 1 deja un resto constante.
Teorema del resto: el resto de dividir $P (x)$ entre $x - c$ es $P (c)$ . Para $x + 3$ se usa $P (- 3)$ .
Teorema del factor: $x - c$ es factor de $P (x)$ si y solo si $P (c) = 0$ .
Para hallar parámetros: traduce cada dato a una ecuación del tipo $P (c) = valor$ y resuelve el sistema.
Con un divisor de grado 2 de raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ , el resto $p x + q$ cumple $R (r_{1}) = P (r_{1})$ y $R (r_{2}) = P (r_{2})$ .
Teorema fundamental del álgebra: un polinomio de grado $n$ se factoriza en $n$ factores lineales complejos; tiene como mucho $n$ ceros distintos. (NS: los ceros no reales de un polinomio real van en parejas conjugadas.)
Para factorizar un polinomio de grado 3: halla un cero, divide, factoriza el cociente de grado 2.

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