IB Análisis y Enfoques NS · Repaso de álgebra e inducción matemática · Apartado 5 de 6

Demostración matemática e inducción

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Demostrar es justificar con pasos lógicos que una afirmación es cierta para todos los casos, no solo para los que has probado. En la Prueba 1 de NS casi siempre hay una demostración por inducción, y se puntúa por su estructura: caso base, hipótesis, paso inductivo y una frase de conclusión.

Qué es demostrar (y qué no lo es)

Comprobar una fórmula con $n = 1, 2, 3$ no la demuestra: solo hace creíble la conjetura. Una demostración es una cadena de deducciones, cada una justificada, que parte de lo que se sabe (definiciones, propiedades ya demostradas) y llega a lo que se quiere probar, valiéndose de que vale para cualquier valor permitido de las variables.

Dos herramientas que se usan en todas las demostraciones con enteros:

Un entero par se escribe $2 m$ y uno impar $2 m + 1$ , con $m \in Z$ .
Un múltiplo de $3$ se escribe $3 m$ ; los demás, $3 m + 1$ o $3 m + 2$ . En general, un múltiplo de $d$ es $d \cdot m$ con $m \in Z$ .

Al terminar, el IB acepta cerrar con una frase («queda demostrado») o con el símbolo $■$ (o «c.q.d.»). Lo importante es que la conclusión se diga.

Demostración directa

Se parte de la hipótesis y se avanza hasta la conclusión. En las identidades algebraicas se trabaja sobre un lado hasta obtener exactamente el otro (o sobre los dos hasta llegar a la misma expresión); no se «pasan términos» de un lado a otro, porque eso supone dar por cierta la igualdad que se quiere probar.

Demostración por contraejemplo

Para refutar una afirmación general («para todo $n$ …») basta un solo caso en el que falle. Un contraejemplo no sirve para demostrar que algo es cierto, solo para probar que es falso.

La expresión $n^{2} + n + 41$ da un número primo para $n = 0, 1, 2, \dots, 39$ (40 valores seguidos), y aun así la afirmación «es primo para todo entero $n \geq 0$ » es falsa: para $n = 40$ , $4 0^{2} + 40 + 41 = 1681 = 4 1^{2},$ que no es primo. Este caso enseña por qué 40 comprobaciones no demuestran nada.

Demostración por contradicción

Se supone que la afirmación es falsa, se deduce una consecuencia absurda (algo que contradice un dato, una hipótesis o un hecho conocido) y se concluye que la suposición era imposible, luego la afirmación es cierta.

Inducción matemática

La idea

La inducción sirve para afirmaciones $P (n)$ que dependen de un entero $n \in Z^{+}$ (una fórmula para una suma, una divisibilidad, una desigualdad). Funciona como una fila de fichas de dominó: si la primera cae, y cada ficha que cae derriba la siguiente, caen todas. Aquí «la primera cae» es $P (1)$ y «cada ficha derriba la siguiente» es $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ para cualquier $k$ . Con $P (1)$ y la implicación se obtiene $P (2)$ , de $P (2)$ sale $P (3)$ , y así sin fin.

Las dos partes son imprescindibles: sin el caso base la cadena no arranca (una afirmación puede cumplir $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ y ser falsa siempre), y sin el paso inductivo solo has comprobado un caso.

Estructura que se espera en el examen

La conclusión no es un adorno: en los esquemas de puntuación del IB se reserva un punto para ella. La frase tiene que recoger a la vez el caso base y la implicación $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ , y ese punto normalmente solo se concede si antes has conseguido los del caso base y el paso inductivo. Con «CQD» a secas, o sin nada, se pierde.

Cómo se hace el paso inductivo según el tipo

Tipo de afirmación	Qué hacer en $P (k + 1)$
Suma $\sum_{r = 1}^{n}$	La suma hasta $k + 1$ es la suma hasta $k$ más el último término. Sustituye la suma hasta $k$ por la fórmula supuesta y simplifica hasta la fórmula con $k + 1$ .
Divisibilidad (« $f (n)$ es múltiplo de $d$ »)	Escribe la hipótesis como $f (k) = d m$ con $m \in Z$ . Descompón $f (k + 1)$ para que aparezca $f (k)$ o un múltiplo suyo, más algo que sea claramente múltiplo de $d$ .
Desigualdad	Parte del lado complicado de $P (k + 1)$ , aplica la hipótesis para acotarlo y encadena otra desigualdad que sepas probar. Lo que se usa se justifica (por ejemplo, para qué valores de $k$ es cierto).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Conjeturar una fórmula y demostrarla

Sea $S_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ .

a) Calcula $S_{1}$ , $S_{2}$ y $S_{3}$ como fracciones.

b) Conjetura una fórmula para $S_{n}$ en función de $n$ .

c) Demuestra por inducción matemática que tu fórmula es cierta para todo $n \in Z^{+}$ .

Solución

a) $S_{1} = \frac{1}{2}$ . $S_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ . $S_{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8 + 1}{12} = \frac{3}{4}$ .

b) Los resultados $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ siguen el patrón «el numerador es $n$ y el denominador es $n + 1$ »: $S_{n} = \frac{n}{n + 1} .$

c) Sea $P (n)$ : $r = 1 \sum n \frac{1}{r ( r + 1 )} = \frac{n}{n + 1}$ .

Caso base. Para $n = 1$ : lado izquierdo $\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ ; lado derecho $\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ . Coinciden: $P (1)$ es cierta.
Hipótesis. Supongamos que $P (k)$ es cierta para algún $k \in Z^{+}$ , es decir, $\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{k}{k + 1} .$
Paso inductivo. Hay que probar $P (k + 1)$ : la suma hasta $k + 1$ vale $\frac{k + 1}{k + 2}$ . La suma hasta $k + 1$ es la suma hasta $k$ más el término nuevo; usamos la hipótesis: $\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{k ( k + 1 )} + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{k ( k + 2 ) + 1}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{( k + 1 ) ^{2}}{( k + 1 ) ( k + 2 )} = \frac{k + 1}{k + 2} .$ Es justo el lado derecho de $P (k + 1)$ .
Conclusión. Como $P (1)$ es cierta y $P (k)$ cierta implica $P (k + 1)$ cierta, por inducción matemática $P (n)$ es cierta para todo $n \in Z^{+}$ . $■$

Observa que el numerador $k^{2} + 2 k + 1$ se reconoce como $(k + 1)^{2}$ porque ya sabíamos adónde queríamos llegar: escribir el objetivo $\frac{k + 1}{k + 2}$ al lado ayuda a guiar la simplificación.

Ejemplo 2 MedioDemostración

Una divisibilidad por inducción

Demuestra por inducción matemática que $8^{n} - 3^{n}$ es divisible por $5$ para todo $n \in Z^{+}$ .

Solución

Sea $P (n)$ : « $8^{n} - 3^{n}$ es múltiplo de $5$ ».

Caso base. Para $n = 1$ : $8 - 3 = 5$ , que es múltiplo de $5$ . $P (1)$ es cierta.
Hipótesis. Supongamos que $P (k)$ es cierta para algún $k \in Z^{+}$ : $8^{k} - 3^{k} = 5 m$ con $m \in Z$ . De aquí, $8^{k} = 5 m + 3^{k}$ .
Paso inductivo. Hay que probar que $8^{k + 1} - 3^{k + 1}$ es múltiplo de $5$ . Descomponemos $8^{k + 1} = 8 \cdot 8^{k}$ y usamos la hipótesis para sustituir $8^{k}$ : $8^{k + 1} - 3^{k + 1} = 8 (5 m + 3^{k}) - 3 \cdot 3^{k} = 40 m + 8 \cdot 3^{k} - 3 \cdot 3^{k} = 40 m + 5 \cdot 3^{k} = 5 (8 m + 3^{k}) .$ Como $8 m + 3^{k}$ es un entero, $8^{k + 1} - 3^{k + 1}$ es múltiplo de $5$ : $P (k + 1)$ es cierta.
Conclusión. Como $P (1)$ es cierta y $P (k)$ cierta implica $P (k + 1)$ cierta, por inducción matemática $8^{n} - 3^{n}$ es divisible por $5$ para todo $n \in Z^{+}$ . $■$

La idea del paso 3 es siempre la misma: hacer aparecer la hipótesis y que lo que sobre sea un múltiplo evidente de $5$ (aquí, $5 \cdot 3^{k}$ ).

Ejemplo 3 DifícilDemostración

Una desigualdad que empieza en n = 5

Demuestra por inducción matemática que $2^{n} > n^{2}$ para todo entero $n \geq 5$ .

Solución

Antes de demostrar, conviene ver por qué se pide $n \geq 5$ : para $n = 2$ hay igualdad ( $4 = 4$ ), para $n = 3$ es falsa ( $8 < 9$ ) y para $n = 4$ vuelve a haber igualdad ( $16 = 16$ ). Es cierta desde $n = 5$ ( $32 > 25$ ), y ese es el caso base. Así que el caso base no es $n = 1$ .

Sea $P (n)$ : $2^{n} > n^{2}$ .

Caso base. Para $n = 5$ : $2^{5} = 32$ y $5^{2} = 25$ , y $32 > 25$ . $P (5)$ es cierta.
Hipótesis. Supongamos que $P (k)$ es cierta para algún entero $k \geq 5$ : $2^{k} > k^{2}$ .
Paso inductivo. Hay que probar que $2^{k + 1} > (k + 1)^{2}$ . Partimos del lado de las potencias de $2$ y usamos la hipótesis: $2^{k + 1} = 2 \cdot 2^{k} > 2 k^{2} .$ Ahora hay que comparar $2 k^{2}$ con $(k + 1)^{2}$ : $2 k^{2} - (k + 1)^{2} = k^{2} - 2 k - 1 = (k - 1)^{2} - 2.$ Como $k \geq 5$ , $(k - 1)^{2} \geq 16 > 2$ , luego $2 k^{2} - (k + 1)^{2} > 0$ , es decir, $2 k^{2} > (k + 1)^{2}$ . Encadenando, $2^{k + 1} > 2 k^{2} > (k + 1)^{2} .$ Por tanto $P (k + 1)$ es cierta.
Conclusión. Como $P (5)$ es cierta y $P (k)$ cierta implica $P (k + 1)$ cierta para todo $k \geq 5$ , por inducción matemática $2^{n} > n^{2}$ para todo entero $n \geq 5$ . $■$

En el examen: en las desigualdades, las dos cosas que más puntos cuestan son escribir un caso base equivocado (usar $n = 1$ cuando no vale) y no justificar la segunda desigualdad de la cadena. Di siempre para qué valores de $k$ es cierto lo que usas (aquí, $k \geq 5$ ), y en la conclusión menciona el valor inicial real.

Errores típicos

Resumen

Demostrar es deducir con pasos justificados para todos los valores; comprobar casos no es demostrar, y un único contraejemplo sí refuta una afirmación general.
Directa: de la hipótesis a la conclusión, trabajando sobre un lado (sin «pasar términos»). Enteros: par $2 m$ , impar $2 m + 1$ , múltiplo de $d$ : $d m$ .
Contradicción: supón lo contrario, llega a un absurdo concreto y concluye (ejemplo clásico: $2$ irracional).
Inducción: caso base, hipótesis $P (k)$ , paso inductivo $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ usando la hipótesis, y frase de conclusión que menciona ambas partes.
Sumas: suma hasta $k + 1$ = suma hasta $k$ + término nuevo. Divisibilidad: escribe $f (k) = d m$ y haz aparecer un múltiplo de $d$ . Desigualdades: acota con la hipótesis y justifica para qué $k$ vale cada paso; el caso base puede no ser $n = 1$ .
En el examen la estructura da la puntuación: no omitas la hipótesis ni la conclusión.

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