IB Análisis y Enfoques NS · Repaso de álgebra e inducción matemática · Apartado 6 de 6

Teorema del binomio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El teorema del binomio da el desarrollo de $(a + b)^{n}$ sin multiplicar $n$ paréntesis. En este apartado aprendes a calcular los coeficientes, a escribir el término general y a localizar un término concreto (el de $x^{k}$ o el término independiente), que es lo que se pide en el examen del IB. En NS, además, se extiende a exponentes negativos o fraccionarios.

Factorial

Por ejemplo, $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ . Los factoriales crecen muy deprisa, así que casi nunca se calculan enteros: se simplifican. Como $n! = n \cdot (n - 1)!$ , un cociente se reduce cancelando el factor común:

$\frac{8 !}{6 !} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 !}{6 !} = 8 \cdot 7 = 56$

El convenio $0! = 1$ no es un capricho: hace que las fórmulas de más abajo sigan funcionando en los casos extremos.

Números combinatorios

Ejemplo: de un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ para una comisión. El número de comisiones posibles es

$(3 8) = \frac{8 !}{3 ! 5 !} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Observa el atajo: el numerador es el producto de $r$ factores que bajan desde $n$ , y el denominador es $r!$ . Es decir,

$(r n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots ( n - r + 1 )}{r !}$

Esta forma es la que se generaliza al final del apartado. En la Prueba 1 se calcula a mano con ese atajo; en la Prueba 2 puedes obtener cualquier número combinatorio directamente con la calculadora de pantalla gráfica (CPG).

La intuición de cada una, con el grupo de $n$ personas:

Hay una sola forma de elegir a nadie ( $r = 0$ ) y una sola de elegir a todos ( $r = n$ ).
Elegir a quienes entran en la comisión equivale a elegir a quienes se quedan fuera: por eso $(3 8) = (5 8) = 56$ . Sirve para ahorrar cuentas: $(10 12) = (2 12) = 66$ .
Para elegir $r + 1$ personas de un grupo de $n + 1$ , fijas a una persona concreta: o no la eliges (te quedan $r + 1$ por elegir entre las otras $n$ ) o sí la eliges (te quedan $r$ por elegir entre las otras $n$ ). De ahí la suma. Comprobación numérica: $(2 6) + (3 6) = 15 + 20 = 35 = (3 7)$ .

Triángulo de Pascal

La fórmula de Pascal permite construir los números combinatorios sin calcular factoriales: cada número es la suma de los dos que tiene encima. La fila $n$ (empezando a contar en $n = 0$ ) contiene $(0 n), (1 n), \dots, (n n)$ :

$111615141513101262013101415151611$

Cada fila es simétrica (propiedad 2) y empieza y acaba en $1$ (propiedad 1). Además, la suma de la fila $n$ es $2^{n}$ : la fila $5$ suma $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$ . Para $n$ pequeño (hasta unos $6$ u $8$ ), el triángulo es la forma más rápida de obtener los coeficientes.

El teorema del binomio

Desarrolla $(a + b)^{3}$ multiplicando: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Los coeficientes $1, 3, 3, 1$ son la fila $3$ del triángulo, es decir, $(0 3), (1 3), (2 3), (3 3)$ . No es casualidad.

Por qué funciona: al multiplicar $n$ paréntesis $(a + b) (a + b) \dots (a + b)$ , de cada paréntesis se escoge $a$ o $b$ . Para obtener $a^{n - r} b^{r}$ hay que escoger $b$ en exactamente $r$ de los $n$ paréntesis, y hay $(r n)$ formas de decidir en cuáles. Ese número es el coeficiente.

Qué hay que ver en el desarrollo:

Tiene $n + 1$ términos.
Las potencias de $a$ bajan de $n$ a $0$ y las de $b$ suben de $0$ a $n$ ; en cada término suman $n$ .
Si $b$ es negativo, los signos se alternan: $(a - b)^{n}$ se obtiene poniendo $b \to (- b)$ .
Como el IB trata esta fórmula como conocida en el curso (aparece en el cuadernillo de fórmulas), lo que se evalúa es saber usarla: sustituir bien $a$ y $b$ y simplificar.

Término general y búsqueda de un término

En el desarrollo de $(a + b)^{n}$ , el término que contiene $b^{r}$ ocupa el lugar $r + 1$ (porque $r$ empieza en $0$ ). Se llama término general:

Casi todas las preguntas del IB sobre el binomio se resuelven con el término general, no desarrollando todo. Lo que hay que hacer es escribir el término general, simplificar sus potencias de $x$ y averiguar qué valor de $r$ da el exponente buscado.

Un caso corto: el término en $x^{2}$ de $(1 + 3 x)^{5}$ . Aquí $a = 1$ , $b = 3 x$ , y $T_{r + 1} = (r 5) (3 x)^{r}$ lleva $x^{r}$ , así que $r = 2$ y el término es $(2 5) \cdot 3^{2} x^{2} = 10 \cdot 9 x^{2} = 90 x^{2}$ .

Si el desarrollo está multiplicado por otra expresión, como $(x + 2) (1 + 3 x)^{5}$ , se buscan por separado los términos de $(1 + 3 x)^{5}$ que, al multiplicarse por $x$ o por $2$ , den la potencia pedida, y se suman. Para el $x^{2}$ : $x \cdot (15 x) + 2 \cdot (90 x^{2}) = 15 x^{2} + 180 x^{2} = 195 x^{2}$ , usando que el término en $x$ de $(1 + 3 x)^{5}$ es $(1 5) \cdot 3 x = 15 x$ .

Generalización: exponentes negativos y fraccionarios (solo NS)

Hasta ahora $n$ era un entero no negativo y el desarrollo era finito. En NS el teorema se extiende a cualquier exponente racional $n$ (negativo o fraccionario), pero entonces el desarrollo es una serie infinita y solo es válido para ciertos valores de $x$ .

Fíjate en que el coeficiente de $x^{r}$ es el atajo $\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - r + 1 )}{r !}$ que vimos para $(r n)$ , ahora con $n$ cualquiera. Si $n$ es un entero positivo, uno de los factores $n - j$ se anula en algún momento y la serie se corta: se recupera el teorema de siempre. Si $n$ es negativo o fraccionario, nunca se anula y los términos continúan sin fin.

Dos casos conocidos:

$(1 + x)^{- 1} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots (1 + x)^{- 2} = 1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots$

El primero es la serie geométrica de razón $- x$ , que solo converge si $∣ x ∣ < 1$ : por eso esa condición no se puede omitir. Con $n = \frac{1}{2}$ se obtiene $1 + x = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + \frac{x ^{3}}{16} - \dots$ .

Ten en cuenta que el desarrollo tiene la forma $(1 + x)^{n}$ . Si el binomio no empieza en $1$ , hay que sacar factor común el primer término:

$(a + b x)^{n} = a^{n} (1 + \frac{b}{a} x)^{n}$

y aplicar la serie con $\frac{b}{a} x$ en lugar de $x$ . La condición de validez pasa entonces a ser $\frac{b}{a} x < 1$ , es decir, $∣ x ∣ < \frac{a}{b}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Desarrollar un binomio con coeficiente y signo negativo

Desarrolla y simplifica $(2 x - 3)^{4}$ .

Solución

Identificar. $a = 2 x$ , $b = - 3$ , $n = 4$ . Los coeficientes son la fila $4$ del triángulo de Pascal: $1, 4, 6, 4, 1$ .
Escribir cada término (con $b = - 3$ entre paréntesis, para no perder los signos):

$(2 x - 3)^{4} = (2 x)^{4} + 4 (2 x)^{3} (- 3) + 6 (2 x)^{2} (- 3)^{2} + 4 (2 x) (- 3)^{3} + (- 3)^{4}$

Simplificar cada término.

$(2 x)^{4} = 16 x^{4}$ .
$4 (2 x)^{3} (- 3) = 4 \cdot 8 x^{3} \cdot (- 3) = - 96 x^{3}$ .
$6 (2 x)^{2} (- 3)^{2} = 6 \cdot 4 x^{2} \cdot 9 = 216 x^{2}$ .
$4 (2 x) (- 3)^{3} = 4 \cdot 2 x \cdot (- 27) = - 216 x$ .
$(- 3)^{4} = 81$ .

$(2 x - 3)^{4} = 16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$

Comprobación con $x = 1$ : el original da $(2 - 3)^{4} = 1$ y el desarrollo da $16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1$ .

Los signos alternan porque $b$ es negativo: se elevan $- 3$ a potencias pares e impares.

Ejemplo 2 Medio

Término en x^6 y término independiente

Considera el desarrollo de $(x^{2} - \frac{3}{x})^{9}$ .

a) Halla el coeficiente del término en $x^{6}$ .

b) Halla el término independiente de $x$ .

c) ¿Existe algún término en $x^{5}$ ? Indica su coeficiente.

Solución

Término general. Con $a = x^{2}$ , $b = - \frac{3}{x}$ y $n = 9$ :

$T_{r + 1} = (r 9) (x^{2})^{9 - r} (- \frac{3}{x})^{r} = (r 9) (- 3)^{r} x^{18 - 2 r} x^{- r} = (r 9) (- 3)^{r} x^{18 - 3 r}$

Exponente de $x$ : $18 - 3 r$ , con $r = 0, 1, \dots, 9$ .

a) Término en $x^{6}$ . $18 - 3 r = 6 ⟺ r = 4$ , que es un entero entre $0$ y $9$ . El coeficiente es

$(4 9) (- 3)^{4} = 126 \cdot 81 = 10206$

b) Término independiente. $18 - 3 r = 0 ⟺ r = 6$ . El término es

$(6 9) (- 3)^{6} = 84 \cdot 729 = 61236$

c) Término en $x^{5}$ . $18 - 3 r = 5 ⟺ r = \frac{13}{3}$ , que no es entero. No existe ese término: todos los exponentes son múltiplos de $3$ ( $18, 15, 12, \dots, - 9$ ). Su coeficiente es $0$ .

Observa que el exponente de $x$ baja de $3$ en $3$ , no de $1$ en $1$ : por eso hay exponentes que nunca aparecen.

Ejemplo 3 Difícil

Raíz cúbica: serie infinita, validez y aproximación (NS)

Se considera la función $f (x) = 3 8 + x$ .

a) Escribe el desarrollo de $f (x)$ en potencias de $x$ hasta el término en $x^{3}$ .

b) Halla el mayor número $M$ tal que el desarrollo es válido para todo $x$ con $∣ x ∣ < M$ .

c) Usa los términos hasta $x^{2}$ del desarrollo con $x = 1$ para aproximar $39$ . Da el resultado como fracción.

Solución

a) 1. Sacar factor común. El binomio no empieza en $1$ , así que sacamos el $8$ :

$3 8 + x = (8 + x)^{1/3} = 8^{1/3} (1 + \frac{x}{8})^{1/3} = 2 (1 + \frac{x}{8})^{1/3}$

Aplicar el teorema generalizado con $n = \frac{1}{3}$ y $\frac{x}{8}$ en el lugar de $x$ . Los coeficientes son:

$x^{1}$ : $n = \frac{1}{3}$ .
$x^{2}$ : $\frac{\frac{1}{3} \cdot ( - \frac{2}{3} )}{2 !} = - \frac{1}{9}$ .
$x^{3}$ : $\frac{\frac{1}{3} \cdot ( - \frac{2}{3} ) \cdot ( - \frac{5}{3} )}{3 !} = \frac{\frac{10}{27}}{6} = \frac{5}{81}$ .

$(1 + \frac{x}{8})^{1/3} = 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{8} - \frac{1}{9} (\frac{x}{8})^{2} + \frac{5}{81} (\frac{x}{8})^{3} + \dots = 1 + \frac{x}{24} - \frac{x ^{2}}{576} + \frac{5 x ^{3}}{41472} + \dots$

Multiplicar por $2$ :

$f (x) = 2 + \frac{x}{12} - \frac{x ^{2}}{288} + \frac{5 x ^{3}}{20736} + \dots$

b) El teorema exige $\frac{x}{8} < 1$ , es decir, $∣ x ∣ < 8$ . El mayor valor es $M = 8$ .

c) Con $x = 1$ (que cumple $∣ x ∣ < 8$ ) y hasta el término en $x^{2}$ :

$39 \approx 2 + \frac{1}{12} - \frac{1}{288} = \frac{576 + 24 - 1}{288} = \frac{599}{288} \approx 2, 0799$

El valor real es $2, 0801$ (con cuatro decimales): el error es de unas dos diezmilésimas. Añadir el término en $x^{3}$ lo reduciría aún más.

En el examen: en el apartado a) se puntúa por separado sacar factor común, usar $\frac{x}{8}$ (no $x$ ) en la fórmula y simplificar bien los coeficientes; el error más caro es olvidar el factor $2$ del principio. Escribe la condición $∣ x ∣ < 8$ aunque no te la pidan explícitamente.

Errores típicos

Resumen

$n! = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ y $0! = 1$ ; los cocientes de factoriales se simplifican cancelando.
$(r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - r + 1 )}{r !}$ cuenta las formas de elegir $r$ elementos de $n$ .
Propiedades: $(0 n) = (n n) = 1$ , $(r n) = (n - r n)$ y $(r n) + (r + 1 n) = (r + 1 n + 1)$ . El triángulo de Pascal las recoge: cada número es la suma de los dos de encima.
Teorema del binomio: $(a + b)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) a^{n - r} b^{r}$ , con $n + 1$ términos; el término general es $T_{r + 1} = (r n) a^{n - r} b^{r}$ .
Para hallar el término en $x^{k}$ (o el independiente, $k = 0$ ): exponente de $x$ en función de $r$ , igualar a $k$ , comprobar que $r$ es entero de $0$ a $n$ y calcular el coeficiente.
Solo NS: si $n \in Q$ y $∣ x ∣ < 1$ , $(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n ( n - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots$ es una serie infinita. Para $(a + b x)^{n}$ se saca factor común $a^{n}$ y la validez es $\frac{b}{a} x < 1$ .

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp