Números reales, potencias y radicales

Conjuntos numéricos

Cada conjunto aparece para resolver una operación que el anterior no permite.

En el IB se escribe ${\mathbb{Z}}^{+}=\{1,2,3,\dots \}$ para los enteros positivos y ${\mathbb{Z}}^{-}$ para los negativos. Cada conjunto contiene al anterior:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

Un entero es también racional ($5=\frac{5}{1}$), pero no al revés. Los números complejos $\mathbb{C}$ (necesarios para resolver $x^2=-1$) quedan fuera de este apartado.

Atención con las raíces: $\sqrt{49}=7$ es entero y $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$ es racional. Solo es irracional $\sqrt{n}$ cuando $n$ es un entero positivo que no es cuadrado perfecto.

De decimal periódico a fracción

Todo decimal periódico es una fracción. El truco es multiplicar por una potencia de 10 que desplace exactamente un periodo y restar, para que la parte periódica desaparezca.

Por ejemplo, para $x=0,\overline{18}$ el periodo tiene 2 cifras: $100x=18,\overline{18}$, y al restar $x$, $99x=18$, así que $x=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$.

Potencias

Estas dos definiciones no son un capricho: son las únicas que mantienen válidas las leyes de abajo. Por ejemplo, $\frac{a^3}{a^3}=1$ por ser un número dividido entre sí mismo, y por la ley del cociente es $a^{3-3}=a^0$; luego $a^0$ debe valer $1$.

La intuición es contar factores: $a^m\cdot a^n$ tiene $m$ factores y luego $n$ más, en total $m+n$; $(a^m{)}^n$ repite $n$ veces un bloque de $m$ factores, en total $mn$. Estas leyes valen también con exponentes racionales y reales cuando la base es positiva.

Exponentes racionales y radicales

Por ejemplo, $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$ y $\sqrt[3]{-8}=-2$, pero $\sqrt{-4}$ no es un número real. Conviene calcular primero la raíz y luego elevar: los números son más pequeños.

Con exponentes fraccionarios, las leyes de potencias dan las de los radicales (con $a,b\ge 0$ si el índice es par):

Para simplificar un radical, se saca fuera de la raíz todo factor que sea potencia perfecta: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$. Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}$, que es sacar factor común. Cuidado con $\sqrt{a^2}=|a|$, no $a$: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$.

Racionalizar

Racionalizar es quitar los radicales del denominador sin cambiar el valor de la fracción, multiplicando arriba y abajo por la misma cantidad. En la Prueba 1 se pide a menudo dar el resultado en forma exacta y racionalizado.

• Denominador con una raíz cuadrada: se multiplica por esa raíz. $\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
• Denominador con suma o resta de raíces: se multiplica por el conjugado (el mismo binomio con el signo central cambiado), porque $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$ elimina las raíces. $\frac{1}{3-\sqrt{5}}=\frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{3+\sqrt{5}}{9-5}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}$.

Aproximar y redondear

Los resultados exactos ($\frac{1}{3}$, $\sqrt{2}$) se aproximan cuando se pide un valor decimal.

Cifras significativas: cuentan todas las cifras distintas de cero, los ceros entre cifras no nulas y los ceros finales a la derecha de la coma decimal. No cuentan los ceros de la izquierda. Así, $0,00407$ tiene 3 c. s. ($4$, $0$ y $7$) y $5,200$ tiene 4.

Fíjate en que 2 l. d. y 3 c. s. no son lo mismo: depende de dónde esté la primera cifra distinta de cero.

Intervalo de un valor redondeado

Un dato redondeado oculta el valor real. Si una cantidad se dio redondeada, el valor exacto está a menos de media unidad de la última cifra conservada: entre el límite inferior (incluido) y el límite superior (no incluido).

Por ejemplo, si una distancia vale $240$ km redondeada a las decenas, el valor real $d$ cumple $235\le d<245$. Si una masa es $0,85$ kg con 2 l. d., entonces $0,845\le m<0,855$. Esto se usa para acotar el error de un cálculo o en los problemas de «mayor valor posible».

Notación científica

Sirve para magnitudes muy grandes o muy pequeñas: $4200000=4,2\times 10^6$ y $0,0000017=1,7\times 10^{-6}$. Un exponente positivo desplaza la coma a la derecha; uno negativo, a la izquierda. Expresiones como $17\times 10^4$ o $0,3\times 10^5$ no están en forma estándar, aunque valgan lo mismo que $1,7\times 10^5$ y $3\times 10^4$.

Para operar, se separan las mantisas y las potencias de 10, se aplican las leyes de potencias y se reajusta al final para que la mantisa quede entre 1 y 10.