Desigualdades y valor absoluto

Reglas para operar con desigualdades

Resolver una inecuación es transformarla, paso a paso, en otra más sencilla con las mismas soluciones. Solo valen las operaciones que no cambian el conjunto de soluciones, y para eso hay que saber qué le pasa al sentido del signo.

La regla 4 se entiende en la recta numérica: multiplicar por $-1$ es una simetría respecto del cero, que cambia el orden. Como $2<5$, al reflejar queda $-2>-5$. Lo mismo ocurre con $\ge$, $<$ y $\le$.

Estas reglas permiten resolver una inecuación lineal como una ecuación, con una única precaución. Para $7-2x<15$: se resta $7$ para obtener $-2x<8$ y se divide entre $-2$, invirtiendo el signo, lo que da $x>-4$. La solución es el intervalo $]-4,+\infty [$.

Notación de intervalos

En este curso se usan corchetes hacia fuera para los extremos que no pertenecen al intervalo: $]a,b[$ es $a<x<b$, y $[a,b]$ es $a\le x\le b$. También $]a,b]$ es $a<x\le b$. El símbolo $\infty$ siempre lleva corchete abierto, porque no es un número. La unión $A\cup B$ reúne las soluciones de los dos conjuntos.

Demostrar una desigualdad con un cuadrado

Un cuadrado nunca es negativo: $t^2\ge 0$ para todo número real $t$. Muchas desigualdades se demuestran partiendo de aquí. Por ejemplo, para cualesquiera números reales $a$ y $b$:

$$(a-b{)}^2\ge 0⟺a^2-2ab+b^2\ge 0⟺a^2+b^2\ge 2ab$$

La igualdad se da solo si $a=b$. Si además $a$ y $b$ son positivos, dividiendo entre $ab>0$ resulta

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$$

que dice, por ejemplo, que una fracción positiva más su inversa nunca suma menos que $2$. La técnica es siempre la misma: pasar todo a un lado, reconocer un cuadrado y concluir. Cada paso es una equivalencia (una flecha doble) o una implicación que se pueda leer hacia atrás, y por eso la cadena demuestra lo que se pedía.

Inecuaciones no lineales: la tabla de signos

Para resolver $x^2-x-6\ge 0$ no se puede «despejar» $x$. Se procede así:

Para $x^2-x-6\ge 0$: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, con raíces $-2$ y $3$. A la izquierda de $-2$ los dos factores son negativos y su producto es positivo; entre $-2$ y $3$ el factor $x+2$ es positivo y $x-3$ negativo, luego el producto es negativo; a la derecha de $3$ ambos son positivos. Como se pide $\ge 0$ y los extremos sirven, la solución es $]-\infty ,-2]\cup [3,+\infty [$.

Una trampa frecuente en las fracciones: $\frac{x+1}{x-3}\ge 2$ no se resuelve multiplicando por $x-3$, porque no se sabe si ese número es positivo o negativo y habría que separar casos. Se resta $2$ y se estudia el signo de una única fracción.

Valor absoluto

El resultado nunca es negativo: $|-7|=7$ y $|7|=7$. Observa que $-x$ es positivo cuando $x$ es negativo, y por eso la definición es coherente. Una forma equivalente es $|x|=\sqrt{x^2}$, porque la raíz cuadrada es la positiva.

Cuando dentro hay una expresión, hay que averiguar su signo antes de quitar las barras. Por ejemplo, $|1-\sqrt{5}|$: como $\sqrt{5}>1$, el interior es negativo y vale $-(1-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1$. Con una variable, la definición se aplica al interior:

$$|2x-8|=\{\begin{array}{ll}2x-8& \text{si }x\ge 4\\ 8-2x& \text{si }x<4\end{array}$$

Las cinco primeras se deducen de $|x|=\sqrt{x^2}$; por ejemplo, $|xy|=\sqrt{x^2{y}^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=|x||y|$.

La desigualdad triangular tiene una intuición clara: ir directamente de un punto a otro nunca es más largo que dar un rodeo. Si $x=5$ e $y=-3$, entonces $|x+y|=2$ pero $|x|+|y|=8$: al sumar números de signos opuestos hay «cancelación» y la suma queda más cerca del cero. La igualdad solo se da cuando $x$ e $y$ tienen el mismo signo (o alguno es $0$). Para demostrarla basta comparar cuadrados: ${\left(|x|+|y|\right)}^2=x^2+2|xy|+y^2\ge x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$, porque $|xy|\ge xy$, y después se toman raíces cuadradas, que conservan el orden entre números no negativos.

Ecuaciones con valor absoluto

La primera dice que hay dos números a distancia $c$ del cero. La segunda, que dos números tienen el mismo valor absoluto cuando son iguales u opuestos. Para resolver $|2x-1|=|x+4|$ se plantean los dos casos $2x-1=x+4$, que da $x=5$, y $2x-1=-(x+4)$, que da $x=-1$.

Cuando la ecuación no tiene esa forma sencilla, por ejemplo $|x-3|=2x$, hay que separar según el signo del interior y, al final, comprobar cada resultado en la ecuación original: una solución que no cumple la condición del caso, o que haga negativo el lado derecho, se descarta.

Inecuaciones con valor absoluto

Lo importante es la lectura como distancia. $|x-4|<3$ significa que $x$ está a menos de $3$ unidades de $4$, es decir, $1<x<7$. Por eso «menor que» da un intervalo (una condición «y») y «mayor que» da dos semirrectas (una condición «o»).

Para resolver una inecuación con una expresión dentro, se sustituye $x$ por esa expresión: $|2x+1|\le 5$ equivale a $-5\le 2x+1\le 5$, es decir, $-6\le 2x\le 4$ y $-3\le x\le 2$. Aquí no se invierte nada porque se divide entre $2>0$. Si el valor absoluto aparece comparado con una expresión que depende de $x$, o hay dos valores absolutos, la salida habitual es la tercera propiedad (elevar al cuadrado) o la partición en casos según el signo de cada interior.