Vectores en el espacio

Puntos y ejes en el espacio

Para situar un punto en el espacio se fijan un origen $O$ y tres ejes perpendiculares entre sí que pasan por él: el eje $x$, el eje $y$ y el eje $z$. Cada punto $P$ queda descrito por una terna de números, sus coordenadas $P(x,y,z)$: cuánto hay que avanzar a lo largo de cada eje para llegar a él desde $O$. El conjunto de todos los puntos se escribe ${\mathbb{R}}^3$.

Vector fijo y vector libre

Dos puntos $A$ y $B$ determinan una flecha que va de $A$ (el origen) a $B$ (el extremo). Esa flecha es el vector fijo $\overrightarrow{AB}$. Se caracteriza por tres datos:

• su módulo, que es la longitud del segmento $AB$ y se escribe $|\overrightarrow{AB}|$;
• su dirección, la de la recta $AB$ (o cualquier recta paralela a ella);
• su sentido, el que va del origen al extremo.

El camino contrario, $\overrightarrow{BA}$, es el vector opuesto, que se escribe $-\overrightarrow{AB}$. Si origen y extremo coinciden se obtiene el vector nulo, $\overrightarrow{AA}=0$.

Dos vectores fijos son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque estén dibujados en lugares distintos. Al agrupar todos los vectores fijos que son iguales entre sí se obtiene un vector libre: un desplazamiento sin punto de partida concreto, que se nombra con una letra en negrita, $\mathbf{u}$, y que se puede dibujar empezando en el punto que se quiera. El que empieza en el origen $O$ y termina en un punto $P$ es el vector de posición de $P$, $\overrightarrow{OP}$.

Componentes de un vector

Un vector libre se describe con una columna de tres números, sus componentes:

$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)$$

Cada componente es el desplazamiento a lo largo de un eje: positivo si va en el sentido del eje y negativo si va en el contrario.

Para ir de $A$ a $B$ se recorren tres tramos, uno paralelo a cada eje, y cada tramo es una componente. Esto es lo mismo que en el plano (puedes repasarlo en vectores en el plano), con una componente más.

Como $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$ son los vectores de posición, que tienen por componentes las coordenadas de $A$ y $B$, también se cumple $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$. Y si se conoce el origen y las componentes, el extremo sale de sumar: $B=A+\overrightarrow{AB}$. Con el mismo razonamiento, si se conoce el extremo $B$ y el vector, el origen es $A=B-\overrightarrow{AB}$.

Dos vectores son iguales si y solo si tienen las mismas componentes. Por eso, si $ABCD$ es un paralelogramo con los vértices en ese orden, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, y esa igualdad permite hallar un vértice desconocido.

Módulo de un vector

Al aplicar el teorema de Pitágoras dos veces seguidas (primero en la base de la caja y luego con la altura) se obtiene la longitud de la diagonal.

El módulo nunca es negativo y vale $0$ solo para el vector nulo. Un vector de módulo $1$ es unitario. Dividiendo un vector $\mathbf{u}\ne 0$ entre su módulo se obtiene el unitario que apunta igual que $\mathbf{u}$:

$$\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\mathbf{u}$$

Por ejemplo, $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$ tiene módulo $\sqrt{4+9+36}=7$ y su unitario es $\frac{1}{7}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 6\end{array}\right)$.

Suma, resta y producto por un escalar

Las tres operaciones se hacen componente a componente.

• Suma. Es encadenar dos desplazamientos: si $\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{v}=\overrightarrow{BC}$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\overrightarrow{AC}$. Esta igualdad $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ se conoce como relación de Chasles y vale para tres puntos cualesquiera.
• Resta. $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})$. Observa que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$, donde $0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ es el vector nulo de ${\mathbb{R}}^3$.
• Producto por un escalar. El vector $k\mathbf{u}$ conserva la dirección de $\mathbf{u}$, tiene su mismo sentido si $k>0$ y el contrario si $k<0$, y su módulo se multiplica por $|k|$:

$$|k\mathbf{u}|=|k||\mathbf{u}|$$

La suma es conmutativa y el producto por un escalar es distributivo: $k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$.

Vectores paralelos (colineales)

Dos vectores son paralelos cuando uno es un múltiplo del otro. También se dice que son colineales, porque dibujados desde un mismo punto quedan en una sola recta.

Si alguna componente de $\mathbf{v}$ vale $0$, no se puede dividir: entonces la componente correspondiente de $\mathbf{u}$ tiene que valer $0$ también, y el valor de $k$ se saca de las otras. Un método seguro es calcular $k$ con una componente que no sea cero y comprobar con ella las demás. Cuidado: en el espacio no basta con comparar dos de las tres razones.

Tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados exactamente cuando $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son paralelos. Y si un vector paralelo a otro tiene un parámetro desconocido, la proporcionalidad de las componentes da ecuaciones para calcularlo.

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ cumple $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Igualando componentes sale una media de coordenadas.

Si lo que se conoce es el punto medio $M$ y un extremo $A$, el otro extremo se obtiene despejando: $B=2M-A$. De forma más general, el punto $P$ del segmento con $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ (con $0\le t\le 1$) es $P=A+t\overrightarrow{AB}$.

Vectores base: $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ y $\mathbf{k}$

Los vectores unitarios en el sentido de cada eje son

$$\mathbf{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\mathbf{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\mathbf{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

Por ejemplo, $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -5\end{array}\right)=2\mathbf{i}-5\mathbf{k}$: la componente que falta vale $0$. En los problemas del IB la notación cambia de un apartado a otro sin aviso, y las operaciones se hacen igual: $(\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k})+(3\mathbf{j}+2\mathbf{k})=\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$.