IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 7 de 7

Volúmenes y áreas de sólidos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Los problemas de sólidos piden dos cosas: cuánto cabe (volumen) y cuánta superficie tiene (área), y a menudo también una longitud o un ángulo escondidos dentro del cuerpo. Con unas pocas fórmulas, el teorema de Pitágoras, la trigonometría y los vectores del tema se resuelve casi todo. En el examen se dispone de un cuadernillo de fórmulas, así que lo importante es saber qué mide cada letra y reconocer el triángulo rectángulo que hay que dibujar.

Prismas y cilindros

Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, unidas por caras laterales que son paralelogramos. El cilindro es lo mismo con una base circular. Cuando las caras laterales son perpendiculares a las bases se habla de prisma o cilindro recto, y entonces la altura $h$ es la longitud de una arista lateral.

La idea del volumen es sencilla: el prisma está formado por capas idénticas a la base apiladas hasta la altura $h$ . El área lateral del cilindro es un rectángulo enrollado, de ancho $2 π r$ y alto $h$ .

Pirámides y conos

Una pirámide tiene una base poligonal y un vértice (la cúspide) al que llegan todas las caras laterales, que son triángulos. El cono es la versión con base circular. Aquí hay que distinguir tres longitudes que se confunden con facilidad:

la altura $h$ , que es perpendicular a la base y llega a la cúspide;
la apotema de una pirámide regular, que es la altura de una cara lateral (va de la cúspide al punto medio de una arista de la base);
la generatriz $ℓ$ de un cono, que va de la cúspide a un punto del borde de la base.

Pirámide regular de base cuadrada con la altura VO, la apotema VM y el segmento OM, mitad del lado de la base

El triángulo $V O M$ de la figura es rectángulo en $O$ , y de él sale la relación entre altura, apotema y lado: $a^{2} = h^{2} + (\frac{ℓ}{2})^{2}$ para una base cuadrada de lado $ℓ$ . En un cono, la altura, el radio y la generatriz cumplen $ℓ^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

Si se despliega la superficie lateral de un cono sobre un plano, queda un sector circular de radio $ℓ$ y longitud de arco $2 π r$ ; su área es $\frac{1}{2} \cdot ℓ \cdot 2 π r = π r ℓ$ . Es la misma fórmula que la de la pirámide, tomando como «perímetro» la circunferencia de la base.

Esfera

Sólidos compuestos y semejanza

Un sólido compuesto se obtiene pegando o quitando piezas simples: un silo (cilindro con una semiesfera encima), un lápiz (prisma y cono), una pieza con un agujero.

Hay además una regla útil cuando dos cuerpos son semejantes (uno es una ampliación o reducción del otro). Si las longitudes se multiplican por $k$ , las áreas se multiplican por $k^{2}$ y los volúmenes por $k^{3}$ . Sirve, por ejemplo, para el cono pequeño que se corta de la punta de un cono grande, o para saber qué pasa con el volumen de un globo cuando se duplica su radio (queda multiplicado por $8$ ).

Longitudes y ángulos dentro de un sólido

Casi todo lo que se pide en el interior de un cuerpo (una arista inclinada, una diagonal, un ángulo) sale de triángulos rectángulos. La clave es elegir el triángulo y calcular sus lados con Pitágoras.

Diagonal de un ortoedro. En un ortoedro de aristas $a$ , $b$ , $c$ , la diagonal de la base mide $a^{2} + b^{2}$ . Esa diagonal y la arista vertical $c$ forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal del sólido:

Ángulo entre una recta y un plano. El ángulo que forma una arista (o una diagonal) con la base es el que forma con su proyección ortogonal sobre la base: el triángulo rectángulo tiene como cateto la altura del extremo y como otro cateto la proyección. En el cubo de arista $2$ , la diagonal del sólido mide $23$ , su proyección es la diagonal de la base, $22$ , y la altura es $2$ , así que el ángulo con la base cumple $tan θ = \frac{2}{2 2} = \frac{1}{2}$ , es decir, $θ \approx 35, 3^{\circ}$ .

Altura de una pirámide. En una pirámide regular, el pie de la altura es el centro de la base. Con eso, la altura sale de un triángulo rectángulo: cúspide, centro de la base y vértice (para la arista lateral) o punto medio de una arista (para la apotema).

Con ayuda de los vectores

Cuando el sólido viene dado por las coordenadas de sus vértices, los vectores sustituyen a los triángulos del dibujo:

una longitud es el módulo $∣ A B ∣$ ;
el ángulo entre dos aristas sale del producto escalar, $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ ;
el área de una cara triangular $A B C$ es $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ y el volumen del tetraedro (pirámide de base triangular) es $\frac{1}{6} ∣[A B, A C, A D]∣$ , como en el producto vectorial;
la altura desde un vértice hasta la cara opuesta es la distancia de un punto a un plano (véase ángulos y distancias); también se despeja de $V = \frac{1}{3} A h$ si ya se conocen el volumen y el área de esa cara.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un silo con tapa semiesférica

Un silo tiene forma de cilindro recto de radio $3$ m y altura $8$ m, coronado por una semiesfera del mismo radio. La base inferior es plana y se cierra con una losa.

a) Halla el volumen del silo, en forma exacta.

b) Halla el área de la superficie exterior del silo (incluida la base inferior), en forma exacta.

Solución

a) Se suman los volúmenes de las dos piezas:

$V = π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{3} = π \cdot 9 \cdot 8 + \frac{2}{3} π \cdot 27 = 72 π + 18 π = 90 π m^{3}$

b) La superficie exterior está formada por la base inferior, la pared lateral del cilindro y la cúpula semiesférica. La cara circular de unión no cuenta.

$S = π r^{2} + 2 π r h + 2 π r^{2} = 9 π + 48 π + 18 π = 75 π m^{2}$

Ejemplo 2 Medio

Pirámide regular: volumen, área y ángulos

Una pirámide regular tiene como base un cuadrado de lado $8$ cm y su altura es $3$ cm.

a) Halla el volumen.

b) Halla el área total.

c) Halla el ángulo, en grados, que forma una arista lateral con la base.

d) Halla el ángulo, en grados, que forma una cara lateral con la base.

Solución

a) El área de la base es $64$ y

$V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64 cm^{3}$

b) Se necesita la apotema $a$ . El triángulo que forman la altura, la mitad del lado y la apotema es rectángulo:

$a = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$

Cada cara lateral tiene área $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ , así que

$S = 64 + 4 \cdot 20 = 144 cm^{2}$

c) La proyección de una arista lateral sobre la base es la mitad de la diagonal de la base: $\frac{1}{2} \cdot 82 = 42$ . En el triángulo rectángulo de altura $3$ :

$tan θ = \frac{3}{4 2} ⟹ θ = arctan \frac{3 2}{8} \approx 27, 9^{\circ}$

d) El ángulo entre una cara y la base se mide en el triángulo de la altura, la mitad del lado y la apotema (los dos segmentos $O M$ y $V M$ son perpendiculares a la arista de la base):

$tan φ = \frac{3}{4} ⟹ φ = arctan \frac{3}{4} \approx 36, 9^{\circ}$

Ejemplo 3 Difícil

Una pirámide dada por coordenadas

Una pirámide de base triangular tiene como vértices $A (0, 0, 0)$ , $B (4, 0, 0)$ , $C (0, 3, 0)$ y $V (0, 0, 6)$ (unidades en metros).

a) Calcula su volumen.

b) Halla el área de la cara $V B C$ .

c) Halla el área total de la pirámide.

d) Halla la distancia del vértice $A$ al plano de la cara $V B C$ .

Solución

a) La base $A B C$ es un triángulo rectángulo con catetos $4$ y $3$ , de área $6$ , y la arista $A V$ es perpendicular a ella, así que la altura es $6$ :

$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 6 = 12 m^{3}$

(Con el producto mixto: $A B = (4, 0, 0)$ , $A C = (0, 3, 0)$ , $A V = (0, 0, 6)$ , determinante $72$ , y $\frac{1}{6} \cdot 72 = 12$ .)

b) Se toman $V B = (4, 0, - 6)$ y $V C = (0, 3, - 6)$ :

$V B \times V C = 0 \cdot (- 6) - (- 6) \cdot 3 (- 6) \cdot 0 - 4 \cdot (- 6) 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0 = 182412$

El módulo es $324 + 576 + 144 = 1044 = 629$ , así que el área es

$\frac{1}{2} \cdot 629 = 329 m^{2}$

c) Las otras tres caras son triángulos rectángulos: $A B C$ con área $6$ , $V A B$ con $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$ y $V A C$ con $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$ . Por tanto

$S = 6 + 12 + 9 + 329 = 27 + 329 m^{2}$

d) La distancia de $A$ a la cara $V B C$ es la altura de la pirámide si se toma $V B C$ como base. Como $V = \frac{1}{3} A_{V B C} h$ :

$h = \frac{3 V}{A _{V B C}} = \frac{36}{3 29} = \frac{12}{29} = \frac{12 29}{29} m$

Comprobación con el plano: el vector $(18, 24, 12)$ es proporcional a $(3, 4, 2)$ , y el plano que pasa por $B$ es $3 x + 4 y + 2 z = 12$ (también lo cumplen $C$ y $V$ ). La distancia desde el origen es $\frac{∣ - 12 ∣}{9 + 16 + 4} = \frac{12}{29}$ , que coincide.

En el examen: al calcular un área con el producto vectorial, escribe los dos vectores que usas y no olvides el factor $\frac{1}{2}$ ; para la altura, deja claro el método (despejar $h$ de $V = \frac{1}{3} A h$ con la cara elegida como base, o la fórmula punto-plano), porque es lo que se puntúa además del valor.

Errores típicos

Resumen

Prisma y cilindro: $V = A h$ ; área total $2 A + P h$ . Cilindro: $V = π r^{2} h$ , $S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .
Pirámide y cono: $V = \frac{1}{3} A h$ . Pirámide regular: $S = A + \frac{1}{2} P a$ . Cono: $S = π r^{2} + π r ℓ$ , con $ℓ^{2} = h^{2} + r^{2}$ .
Esfera: $S = 4 π r^{2}$ , $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ . En el examen se dispone de un cuadernillo de fórmulas; lo que hay que saber es qué mide cada letra.
Sólidos compuestos: suma y resta de volúmenes; en la superficie, solo las caras exteriores. Cuerpos semejantes con razón $k$ : áreas $\times k^{2}$ , volúmenes $\times k^{3}$ .
Diagonal de un ortoedro $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ; el ángulo de una arista con la base se mide con su proyección sobre la base.
Con coordenadas: módulo para longitudes, producto escalar para ángulos, producto vectorial para áreas, producto mixto para el volumen y distancia punto-plano para la altura.

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