IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 5 de 7

Ángulos y distancias en el espacio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Con el producto escalar se miden ángulos entre rectas y planos, y con el vector normal, o con el producto vectorial, se miden distancias. Cada cálculo parte de un vector director o de un vector normal y acaba en una fórmula corta. En el examen del IB aparecen sueltos en la Prueba 1 y encadenados en los problemas largos de la Prueba 2.

Ángulo entre dos rectas

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos, iguales de dos en dos: uno agudo (o recto) y otro obtuso. Como ángulo entre las rectas se toma siempre el agudo, es decir, un valor entre $0^{\circ}$ y $9 0^{\circ}$ . Si las rectas son paralelas, el ángulo es $0^{\circ}$ .

Dos rectas que se cruzan sin cortarse (se llaman alabeadas) no forman ángulo en sentido estricto, pero se les asigna el de sus direcciones: es el que forman dos rectas que se cortan y tienen los mismos vectores directores.

Un vector director marca el sentido de recorrido y su opuesto describe la misma recta; por eso al aplicar el producto escalar se toma el valor absoluto, que descarta el ángulo obtuso.

Sale directamente de la fórmula del ángulo entre vectores del apartado de producto escalar, con el valor absoluto añadido. Si no pones el valor absoluto y el producto escalar sale negativo, obtienes el ángulo obtuso: $18 0^{\circ} - θ$ .

Ángulo entre dos planos y entre recta y plano

Un plano queda orientado por su vector normal $n$ , el que es perpendicular a él (en $a x + b y + cz = d$ es $n = (a, b, c)$ ; si no lo recuerdas, repasa el apartado de rectas y planos). Dos planos que se cortan forman un ángulo igual al de sus normales, porque girar un plano gira su normal en el mismo ángulo.

Para una recta y un plano la situación cambia. El ángulo entre la recta y el plano es el que forma la recta con su proyección sobre el plano (la «sombra» de la recta). Si $φ$ es el ángulo entre la recta y el plano, el ángulo entre la recta y la normal vale $9 0^{\circ} - φ$ , y como $cos (9 0^{\circ} - φ) = sin φ$ , aparece el seno.

Casos extremos: si $d \cdot n = 0$ , la recta es paralela al plano (o está contenida en él) y $φ = 0^{\circ}$ ; si $d$ es proporcional a $n$ , la recta es perpendicular al plano y $φ = 9 0^{\circ}$ .

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto $P$ a una recta $ℓ$ es la menor distancia de $P$ a un punto de $ℓ$ . Se alcanza en el punto $Q$ de la recta tal que $P Q$ es perpendicular a ella. Hay dos caminos y conviene dominar los dos.

Este método da además el pie $Q$ , que a menudo se pide aparte (para hallar el simétrico de $P$ respecto de la recta, por ejemplo).

La razón: $∣ A P \times d ∣$ es el área del paralelogramo que tiene como lados $A P$ y $d$ . Su base mide $∣ d ∣$ y su altura es justo la distancia buscada, así que dividiendo el área entre la base sale la altura.

Para dos rectas paralelas, la distancia entre ellas es la de cualquier punto de una a la otra. Para una recta paralela a un plano, es la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

Distancia de un punto a un plano

La distancia de $P$ a un plano $π$ es la longitud del segmento perpendicular a $π$ que sale de $P$ . Si $Q$ es su pie en el plano, $d = ∣ P Q ∣$ .

Plano pi con un punto F en el plano y un punto P fuera; la distancia d es la longitud de PQ, perpendicular al plano, y es la proyección de FP sobre la normal n

Para obtener una fórmula, toma un punto cualquiera $F$ del plano. La distancia $d$ es la longitud de la proyección de $F P$ sobre la dirección de la normal $n$ (en el dibujo, el segmento discontinuo $F P$ y la perpendicular $P Q$ ). Esa longitud es $\frac{∣ F P \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ , y en el numerador, con $F$ en el plano, queda $p \cdot n - f \cdot n = p \cdot n - d_{0}$ .

Fíjate en que el plano está escrito con el término independiente en el segundo miembro, así que en el numerador se resta $d$ . Si la ecuación viene como $a x + b y + cz + k = 0$ , el numerador es $∣ a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + k ∣$ .

Con la misma idea se calcula la distancia entre dos planos paralelos (un punto de uno a la ecuación del otro).

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Si dos rectas $ℓ_{1}$ y $ℓ_{2}$ no son paralelas y no se cortan, la distancia entre ellas se mide a lo largo de la perpendicular común: el único segmento que une las dos rectas y es perpendicular a ambas. Su dirección es la de un vector perpendicular a $d_{1}$ y a $d_{2}$ , es decir, $d_{1} \times d_{2}$ .

Es la proyección del vector $A_{1} A_{2}$ (que une las dos rectas) sobre la dirección perpendicular común. Si $d_{1} \times d_{2} = 0$ , las rectas son paralelas y la fórmula no sirve: se usa la distancia de un punto a una recta. Si el numerador sale $0$ , las rectas se cortan.

Es la misma cuenta que la fórmula, pero paso a paso, y sirve de comprobación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Ángulos entre rectas y planos

Se consideran las rectas $ℓ_{1} : r = 102 + λ 122$ y $ℓ_{2} : r = 3 - 1 0 + μ 2 - 1 2$ , y los planos $π_{1} : 2 x + 3 y + 6 z = 12$ y $π_{2} : x - 2 y + 2 z = 4$ .

a) Halla el ángulo entre $ℓ_{1}$ y $ℓ_{2}$ .

b) Halla el ángulo entre $ℓ_{1}$ y $π_{1}$ .

c) Halla el ángulo entre $π_{1}$ y $π_{2}$ .

Da cada ángulo en grados, con un decimal.

Solución

a) Los vectores directores son $d_{1} = (1, 2, 2)$ y $d_{2} = (2, - 1, 2)$ , con $∣ d_{1} ∣ = 3$ y $∣ d_{2} ∣ = 3$ . El producto escalar es $d_{1} \cdot d_{2} = 2 - 2 + 4 = 4$ :

$cos θ = \frac{∣ 4 ∣}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} ⟹ θ \approx 63, 6^{\circ}$

b) Con $n_{1} = (2, 3, 6)$ , $∣ n_{1} ∣ = 4 + 9 + 36 = 7$ , y $d_{1} \cdot n_{1} = 2 + 6 + 12 = 20$ . Al tratarse de recta y plano se usa el seno:

$sin φ = \frac{20}{3 \cdot 7} = \frac{20}{21} ⟹ φ \approx 72, 2^{\circ}$

c) Con $n_{2} = (1, - 2, 2)$ , $∣ n_{2} ∣ = 3$ , y $n_{1} \cdot n_{2} = 2 - 6 + 12 = 8$ :

$cos θ = \frac{8}{7 \cdot 3} = \frac{8}{21} ⟹ θ \approx 67, 6^{\circ}$

Ejemplo 2 Medio

Distancias desde un punto: a una recta y a un plano

Se consideran el punto $P (4, 3, - 1)$ , la recta $ℓ : r = 120 + λ 21 - 2$ y el plano $π : x + 2 y - 2 z = 3$ .

a) Halla el pie $Q$ de la perpendicular trazada desde $P$ a la recta $ℓ$ .

b) Calcula la distancia de $P$ a $ℓ$ .

c) Calcula la distancia de $P$ al plano $π$ .

d) Halla el punto de $π$ más cercano a $P$ .

Solución

a) Un punto genérico de $ℓ$ es $Q (1 + 2 λ, 2 + λ, - 2 λ)$ . Entonces

$P Q = 2 λ - 3 λ - 1 1 - 2 λ$

y se impone $P Q \cdot d = 0$ con $d = (2, 1, - 2)$ :

$2 (2 λ - 3) + (λ - 1) - 2 (1 - 2 λ) = 9 λ - 9 = 0 ⟹ λ = 1$

Por tanto $Q (3, 3, - 2)$ .

b) $P Q = (- 1, 0, - 1)$ , luego $dist (P, ℓ) = 1 + 0 + 1 = 2$ .

Comprobación con el producto vectorial: con $A (1, 2, 0)$ es $A P = (3, 1, - 1)$ y $A P \times d = (- 1, 4, 1)$ , de módulo $18 = 32$ . Dividiendo entre $∣ d ∣ = 3$ se obtiene $2$ .

c) Con $n = (1, 2, - 2)$ , $∣ n ∣ = 3$ :

$dist (P, π) = \frac{∣ 4 + 6 + 2 - 3 ∣}{3} = \frac{9}{3} = 3$

d) La recta por $P$ perpendicular a $π$ es $(4 + t, 3 + 2 t, - 1 - 2 t)$ . Al sustituir en el plano: $(4 + t) + 2 (3 + 2 t) - 2 (- 1 - 2 t) = 3$ , es decir, $12 + 9 t = 3$ y $t = - 1$ . El punto más cercano es

$(3, 1, 1)$

Comprobación: $3 + 2 - 2 = 3$ , y $∣ P M ∣ = ∣(- 1, - 2, 2)∣ = 3$ , que coincide con la distancia del apartado c).

Ejemplo 3 Difícil

Dos rectas que se cruzan: perpendicular común y distancia

Se consideran las rectas $ℓ_{1} : r = 1 - 1 2 + λ 122$ y $ℓ_{2} : r = 021 + μ 110$ .

a) Demuestra que las rectas se cruzan y halla un vector perpendicular a las dos, con componentes enteras primas entre sí y primera componente positiva.

b) Halla el ángulo entre las dos rectas, en grados.

c) Calcula la distancia entre $ℓ_{1}$ y $ℓ_{2}$ .

d) Halla la ecuación cartesiana del plano que contiene a $ℓ_{1}$ y es paralelo a $ℓ_{2}$ , en la forma $a x + b y + cz + k = 0$ con $a = 2$ , y comprueba el resultado del apartado c) con la distancia de un punto de $ℓ_{2}$ a ese plano.

Solución

a) Los vectores directores $(1, 2, 2)$ y $(1, 1, 0)$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Para ver si se cortan se usan parámetros distintos:

$⎩ ⎨ ⎧ 1 + λ - 1 + 2 λ 2 + 2 λ = μ = 2 + μ = 1$

La tercera da $λ = - \frac{1}{2}$ , la primera entonces $μ = \frac{1}{2}$ , y la segunda queda $- 2 = \frac{5}{2}$ , que es falso. El sistema no tiene solución: las rectas no se cortan y, al no ser paralelas, se cruzan.

Un vector perpendicular a las dos es

$d_{1} \times d_{2} = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = - 2 2 - 1$

Cambiando el signo se cumple la condición pedida: $n = (2, - 2, 1)$ . Comprobación: $n \cdot d_{1} = 2 - 4 + 2 = 0$ y $n \cdot d_{2} = 2 - 2 + 0 = 0$ .

b) $d_{1} \cdot d_{2} = 1 + 2 + 0 = 3$ , $∣ d_{1} ∣ = 3$ y $∣ d_{2} ∣ = 2$ :

$cos θ = \frac{3}{3 2} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 4 5^{\circ}$

c) Con $A_{1} (1, - 1, 2)$ y $A_{2} (0, 2, 1)$ , es $A_{1} A_{2} = (- 1, 3, - 1)$ . Entonces

$A_{1} A_{2} \cdot n = - 2 - 6 - 1 = - 9, ∣ n ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$

$dist (ℓ_{1}, ℓ_{2}) = \frac{∣ - 9 ∣}{3} = 3$

d) El plano pasa por $A_{1} (1, - 1, 2)$ con normal $n = (2, - 2, 1)$ : $2 x - 2 y + z = 2 + 2 + 2 = 6$ , es decir,

$2 x - 2 y + z - 6 = 0$

El plano contiene a $ℓ_{1}$ (pasa por $A_{1}$ y su normal es perpendicular a $d_{1}$ ) y es paralelo a $ℓ_{2}$ (su normal es perpendicular a $d_{2}$ ). La distancia de $A_{2} (0, 2, 1)$ al plano es

$\frac{∣ 0 - 4 + 1 - 6 ∣}{4 + 4 + 1} = \frac{9}{3} = 3$

igual que en el apartado c).

En el examen: en un apartado «demuestre que se cruzan» hay que probar las dos cosas, que no son paralelas y que el sistema no tiene solución; con una sola no basta. Para la distancia, escribe qué vector usas como perpendicular común y qué vector une los puntos; el valor absoluto del producto escalar es lo que impide que una distancia salga negativa.

Errores típicos

Resumen

Ángulo entre rectas: $cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣ ∣ d _{2} ∣}$ ; entre planos: igual con los vectores normales. Siempre entre $0^{\circ}$ y $9 0^{\circ}$ .
Ángulo recta-plano: $sin φ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣ ∣ n ∣}$ (seno, no coseno).
Punto a recta: pie de la perpendicular ( $P Q \cdot d = 0$ con $Q = A + λ d$ ) o $\frac{∣ A P \times d ∣}{∣ d ∣}$ .
Punto a plano $a x + b y + cz = d$ : $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ . El pie se halla con la recta por $P$ de dirección $n$ .
Rectas que se cruzan: $\frac{∣ A _{1} A _{2} \cdot ( d _{1} \times d _{2} )∣}{∣ d _{1} \times d _{2} ∣}$ , o distancia de $A_{2}$ al plano que contiene a $ℓ_{1}$ y es paralelo a $ℓ_{2}$ .
Paralelas (rectas o planos): distancia de un punto de una a la otra; recta paralela a plano: de un punto de la recta al plano.

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