IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 4 de 7

Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En el espacio, una recta se fija con un punto y un vector director, y un plano con un punto y dos vectores directores (o con un punto y un vector normal). Saber escribirlos en todas sus formas y pasar de una a otra es la base de los ángulos, las distancias y las posiciones relativas, y aparece en la Prueba 1 y en la Prueba 2.

Ecuaciones de la recta en el espacio

La idea es la misma que en el plano: una recta queda determinada por un punto $A$ de ella, con vector de posición $a$ , y por una dirección, dada por un vector director $d \neq = 0$ . Lo único que cambia es que ahora los vectores tienen tres componentes.

Cada valor de $λ$ da un punto de la recta. No hay una única ecuación: sirve cualquier punto de la recta y cualquier múltiplo no nulo de $d$ .

Si se igualan las componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas:

$⎩ ⎨ ⎧ x y z = x_{0} + λ d_{1} = y_{0} + λ d_{2} = z_{0} + λ d_{3}$

Y si $d_{1}$ , $d_{2}$ y $d_{3}$ no son cero, al despejar $λ$ en las tres e igualar queda la ecuación continua:

$\frac{x - x _{0}}{d _{1}} = \frac{y - y _{0}}{d _{2}} = \frac{z - z _{0}}{d _{3}}$

Para decidir si un punto $P$ pertenece a la recta, se sustituyen sus coordenadas en las paramétricas y se comprueba que el mismo $λ$ cumple las tres ecuaciones. Basta que falle una para que $P$ no esté en la recta.

Ecuaciones del plano

Un plano necesita más información que una recta. Hay dos maneras habituales de fijarlo.

Un punto y dos vectores directores no paralelos entre sí, $u$ y $v$ , que quedan contenidos en el plano: desde $A$ puedes llegar a cualquier punto del plano avanzando cierta cantidad de $u$ y cierta cantidad de $v$ .
Un punto y un vector normal $n$ , perpendicular al plano.

Si el plano viene dado por tres puntos $A$ , $B$ y $C$ que no están alineados, los dos vectores directores pueden ser $A B$ y $A C$ y el punto, $A$ .

El vector normal

Un vector $n$ no nulo es normal (o perpendicular) al plano cuando es perpendicular a todos los vectores contenidos en él. Para comprobarlo basta con que lo sea a dos vectores directores no paralelos, y de ahí sale cómo calcularlo.

Plano pi con un punto A, otro punto P y el vector normal n perpendicular al plano en A

La intuición: el producto vectorial (apartado anterior) da un vector perpendicular a los dos que se multiplican, y esos dos generan el plano. La segunda parte dice que ir de $A$ a cualquier punto del plano es moverse por él, y ese movimiento es siempre perpendicular a $n$ .

Ecuación cartesiana

Sea $n = a b c$ un vector normal y $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ un punto del plano. La condición $A P \cdot n = 0$ para $P (x, y, z)$ se escribe

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

Al operar y agrupar las constantes queda la ecuación cartesiana.

Las dos formas, $r \cdot n = a \cdot n$ y $a x + b y + cz = d$ , dicen lo mismo: la segunda es la primera con las componentes escritas, y $d$ es el número $a \cdot n$ (el mismo para todos los puntos del plano).

Una consecuencia útil: dos planos con vectores normales proporcionales son paralelos, y los planos $a x + b y + cz = d$ y $a x + b y + cz = d^{'}$ lo son siempre.

Pasar de una forma a otra

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una recta por dos puntos

Se consideran los puntos $A (2, - 1, 3)$ y $B (4, 1, 0)$ .

a) Halla un vector director de la recta $A B$ de componentes enteras primas entre sí.

b) Indica si el punto $P (8, 5, - 6)$ pertenece a la recta $A B$ .

c) El punto $Q (6, m, k)$ está en la recta $A B$ . Halla $m$ y $k$ .

Solución

a) $A B = B - A = 22 - 3$ , y sus componentes ya no tienen factor común. Las ecuaciones de la recta, con punto $A$ , son

$r = 2 - 1 3 + λ 22 - 3, ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 + 2 λ = - 1 + 2 λ = 3 - 3 λ, \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$

b) Se sustituye $P$ : $2 + 2 λ = 8$ da $λ = 3$ ; $- 1 + 2 λ = 5$ da $λ = 3$ ; $3 - 3 λ = - 6$ da $λ = 3$ . El mismo valor cumple las tres ecuaciones, así que $P$ pertenece a la recta.

c) De $x = 6$ : $2 + 2 λ = 6$ , luego $λ = 2$ . Entonces $m = - 1 + 2 \cdot 2 = 3$ y $k = 3 - 3 \cdot 2 = - 3$ .

Ejemplo 2 Medio

Plano por tres puntos

Se consideran los puntos $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 1)$ y $C (2, 3, 0)$ .

a) Halla un vector normal al plano $π$ que pasa por $A$ , $B$ y $C$ .

b) Halla la ecuación cartesiana de $π$ en la forma $a x + b y + cz - d = 0$ , con $a, b, c, d$ enteros primos entre sí y $a > 0$ .

c) El punto $D (k, 1, 1)$ pertenece a $π$ . Halla $k$ .

d) Halla el punto en el que $π$ corta al eje $O X$ .

Solución

a) Dos vectores directores son $A B = (2, 1, - 1)$ y $A C = (1, 3, - 2)$ . No son paralelos, porque no son proporcionales. Un vector normal es su producto vectorial:

$A B \times A C = 1 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot 3 (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot (- 2) 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 135$

b) La ecuación es $x + 3 y + 5 z = d$ . Con $A$ : $d = 1 + 0 + 10 = 11$ , así que

$x + 3 y + 5 z - 11 = 0$

Comprobación con $B$ : $3 + 3 + 5 = 11$ . Con $C$ : $2 + 9 + 0 = 11$ . Los dos cumplen la ecuación.

c) Se sustituye $D$ : $k + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1 = 11$ , luego $k = 3$ .

d) El eje $O X$ son los puntos $(x, 0, 0)$ . Sustituyendo: $x = 11$ , así que el punto de corte es $(11, 0, 0)$ .

Ejemplo 3 Difícil

De paramétricas a cartesiana, un plano paralelo y el pie de la perpendicular

El plano $Π_{1}$ tiene ecuación vectorial

$r = 102 + s 120 + t 013, s, t \in R$

a) Halla la ecuación cartesiana de $Π_{1}$ en la forma $a x + b y + cz - d = 0$ , con $a, b, c, d$ enteros primos entre sí y $a > 0$ .

b) El plano $Π_{2}$ es paralelo a $Π_{1}$ y pasa por $P (8, - 2, 0)$ . Halla $d$ en su ecuación $6 x - 3 y + z = d$ , escribiéndola antes en la forma $r \cdot n = a \cdot n$ .

c) La recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $Π_{1}$ corta a $Π_{1}$ en el punto $Q$ . Halla las coordenadas de $Q$ .

Solución

a) Los vectores directores son $u = (1, 2, 0)$ y $v = (0, 1, 3)$ . El vector normal es

$n = u \times v = 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 6 - 3 1$

Entonces $6 x - 3 y + z = d$ , y con el punto $(1, 0, 2)$ : $d = 6 + 0 + 2 = 8$ .

$6 x - 3 y + z - 8 = 0$

Comprobación con otro punto del plano, $A + u + v = (2, 3, 5)$ : $12 - 9 + 5 = 8$ .

b) Dos planos paralelos comparten vector normal, así que $n = (6, - 3, 1)$ también vale para $Π_{2}$ . Con $a = (8, - 2, 0)$ :

$r \cdot 6 - 3 1 = 8 - 2 0 \cdot 6 - 3 1 = 48 + 6 + 0 = 54$

Por tanto $Π_{2} : 6 x - 3 y + z = 54$ y $d = 54$ .

c) La recta perpendicular a $Π_{1}$ por $P$ tiene como vector director $n$ :

$r = 8 - 2 0 + λ 6 - 3 1 ⟹ x = 8 + 6 λ, y = - 2 - 3 λ, z = λ$

Se sustituye en $6 x - 3 y + z = 8$ :

$6 (8 + 6 λ) - 3 (- 2 - 3 λ) + λ = 8 ⟹ 54 + 46 λ = 8 ⟹ λ = - 1$

Entonces $Q = (8 - 6, - 2 + 3, - 1) = (2, 1, - 1)$ . Comprobación en $Π_{1}$ : $12 - 3 - 1 = 8$ .

En el examen: en un cambio de forma puntúa el planteamiento: el vector normal bien calculado (producto vectorial o dos productos escalares nulos) y la sustitución del punto para hallar $d$ . En el apartado c) escribe la recta con su parámetro y sustitúyela en la ecuación del plano; el resultado debe comprobarse en el plano.

Errores típicos

Resumen

Recta en $R^{3}$ : $r = a + λ d$ ; paramétricas $x = x_{0} + λ d_{1}$ , $y = y_{0} + λ d_{2}$ , $z = z_{0} + λ d_{3}$ ; continua $\frac{x - x _{0}}{d _{1}} = \frac{y - y _{0}}{d _{2}} = \frac{z - z _{0}}{d _{3}}$ . Por dos puntos: director $A B = B - A$ .
Un punto está en la recta si el mismo $λ$ cumple las tres componentes.
Plano: $r = a + λ u + μ v$ con dos directores no paralelos (dos parámetros). Por tres puntos: $A B$ y $A C$ .
Vector normal: $n = u \times v$ ; $P$ está en el plano si $A P \cdot n = 0$ .
Cartesiana: $a x + b y + cz = d$ con $n = (a, b, c)$ y $d = a \cdot n$ ; es lo mismo que $r \cdot n = a \cdot n$ . Planos con normales proporcionales son paralelos.
Una recta en el espacio no tiene una sola ecuación cartesiana: son dos planos.

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