IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 2 de 7

Producto escalar y ángulo entre vectores en el espacio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En el espacio el producto escalar funciona igual que en el plano: convierte dos vectores en un número que informa del ángulo que forman. Con él compruebas si dos vectores son perpendiculares, calculas ángulos de triángulos y de figuras en 3D y despejas parámetros desconocidos. Es una herramienta de la Prueba 1 (vectores sencillos, exactos) y de la Prueba 2 (problemas con la CPG).

Dos formas de calcularlo

Si ya conoces el producto escalar en el plano, aquí solo se añade una tercera componente. Dos vectores $u$ y $v$ dibujados desde el mismo punto forman un ángulo $θ$ con $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ (en radianes, $0 \leq θ \leq π$ ): siempre el menor de los dos giros posibles.

Dos vectores u y v con el mismo origen O y ángulo theta entre ellos; la proyección de v sobre u mide módulo de v por coseno de theta

La figura está dibujada en un plano, y eso no es una limitación: dos vectores con el mismo origen, estén donde estén en el espacio, siempre quedan dentro de un plano, y en ese plano el ángulo $θ$ se mide como siempre. Por eso la fórmula geométrica no cambia al pasar de $R^{2}$ a $R^{3}$ .

Las dos expresiones son válidas a la vez, y casi todos los problemas las igualan: unas veces conoces las coordenadas y quieres el ángulo, otras conoces el ángulo y quieres un parámetro de las coordenadas.

Propiedades

Todas se comprueban sustituyendo las componentes. La cuarta es la fórmula del módulo ya conocida: $u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} = ∣ u ∣^{2}$ . Con la forma geométrica sale igual, porque un vector forma ángulo $0^{\circ}$ consigo mismo. Ten presente que $(u \cdot v) w$ sí tiene sentido (un número por un vector, y da un vector paralelo a $w$ ), pero $(u \cdot v) \cdot w$ no, porque $u \cdot v$ ya es un número.

Como los módulos de vectores no nulos son positivos, el signo del producto escalar es el del coseno:

Ángulo $θ$	$cos θ$	$u \cdot v$
$0^{\circ} \leq θ < 9 0^{\circ}$ (agudo)	positivo	$> 0$
$θ = 9 0^{\circ}$ (recto)	cero	$= 0$
$9 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ (obtuso)	negativo	$< 0$

Ángulo entre dos vectores

Entre $0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ el coseno toma cada valor una sola vez, así que el ángulo queda determinado sin ambigüedad. Para el ángulo de un triángulo $A B C$ en el vértice $A$ usa $A B$ y $A C$ , que salen los dos de $A$ .

Vectores perpendiculares

Si $θ = 9 0^{\circ}$ el coseno vale $0$ , y al revés. Para vectores no nulos:

Hay una diferencia importante respecto al plano: en $R^{2}$ solo existe una dirección perpendicular a una dada, mientras que en $R^{3}$ hay infinitas (todas las que están en un plano). Por eso la condición $u \cdot v = 0$ es una sola ecuación con tres incógnitas: si te piden «un vector perpendicular a $u$ », basta encontrar una solución cualquiera, y si te piden el valor de un parámetro, esa ecuación lo despeja. Para obtener un vector perpendicular a dos vectores a la vez se usa el producto vectorial, que se ve en el siguiente apartado.

Proyección de un vector sobre otro

La «sombra» de $v$ sobre la recta de $u$ es el segmento que queda al bajar desde el extremo de $v$ una perpendicular a esa recta (ver la figura). Su longitud con signo es la proyección escalar, y si se coloca en la dirección de $u$ se obtiene la proyección vectorial.

La vectorial sale de la escalar multiplicándola por el vector unitario $\frac{u}{∣ u ∣}$ (que marca la dirección de $u$ ), y por eso aparece $∣ u ∣^{2}$ abajo. Si restas a $v$ su proyección vectorial sobre $u$ , lo que queda es perpendicular a $u$ : sirve para comprobar el resultado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Producto escalar con módulos y con componentes

a) Los vectores $p$ y $q$ cumplen $∣ p ∣ = 6$ y $∣ q ∣ = 2$ , y forman un ángulo de $12 0^{\circ}$ . Calcula $p \cdot q$ .

b) Calcula $u \cdot v$ para $u = 12 - 2$ y $v = 304$ , y di si el ángulo que forman es agudo, recto u obtuso.

c) Halla $k$ para que $k 2 - 1$ y $2 - 3 4$ sean perpendiculares.

Solución

a) Con la forma geométrica: $p \cdot q = 6 \cdot 2 \cdot cos 12 0^{\circ} = 12 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 6$ .

b) En componentes: $u \cdot v = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + (- 2) \cdot 4 = 3 + 0 - 8 = - 5$ . Es negativo, luego el ángulo es obtuso.

c) Perpendiculares significa producto escalar nulo: $2 k + 2 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot 4 = 0$ , es decir, $2 k - 10 = 0$ , y $k = 5$ .

Resultado: a) $- 6$ ; b) $- 5$ (ángulo obtuso); c) $k = 5$ .

Ejemplo 2 Medio

Ángulos y proyecciones en un triángulo del espacio

Un triángulo tiene vértices $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 2, 1)$ y $C (2, 4, 3)$ .

a) Calcula $A B \cdot A C$ .

b) Halla el ángulo del triángulo en $A$ (en radianes, exacto).

c) Calcula $B A \cdot B C$ .

d) Halla la proyección escalar de $A B$ sobre $A C$ .

e) Halla la proyección vectorial de $A B$ sobre $A C$ .

Solución

Se restan coordenadas, extremo menos origen:

$A B = 22 - 1, A C = 141$

a) $A B \cdot A C = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 1 = 9$ .

b) Los módulos son $∣ A B ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$ y $∣ A C ∣ = 1 + 16 + 1 = 32$ . Entonces

$cos A = \frac{9}{3 \cdot 3 2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} ⟹ A = \frac{π}{4}$

c) Los dos vectores deben salir de $B$ : $B A = - 2 - 2 1$ y $B C = - 1 22$ . Su producto es $2 - 4 + 2 = 0$ : el ángulo en $B$ es recto.

d) $\frac{A C \cdot A B}{∣ A C ∣} = \frac{9}{3 2} = \frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$ .

e) Se multiplica $\frac{A C \cdot A B}{∣ A C ∣ ^{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ por $A C$ :

$\frac{1}{2} 141 = \frac{1}{2} 2 \frac{1}{2}$

Comprobación: $A B$ menos esa proyección es $\frac{3}{2} 0 - \frac{3}{2}$ , y su producto escalar con $A C$ es $\frac{3}{2} + 0 - \frac{3}{2} = 0$ , como debe ser.

Resultado: a) $9$ ; b) $\frac{π}{4}$ ; c) $0$ ; d) $\frac{3 2}{2}$ ; e) $\frac{1}{2} 2 \frac{1}{2}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Parámetros con perpendicularidad y con un ángulo dado

Sean $a = 1 - 2 3$ , $b = 20 - 1$ y $c = k 31$ .

a) Halla $k$ para que $c$ sea perpendicular a $3 a - b$ .

Sean ahora $u = k 11$ y $v = 110$ , que forman un ángulo de $6 0^{\circ}$ .

b) Halla todos los valores posibles de $k$ .

c) Para el valor de $k$ del apartado b), calcula la proyección escalar de $u$ sobre $v$ .

Solución

a) Primero el vector: $3 a - b = 3 - 2 - 6 - 0 9 + 1 = 1 - 6 10$ . La perpendicularidad exige

$c \cdot (3 a - b) = k - 18 + 10 = 0 ⟹ k = 8$

b) Se igualan las dos formas del producto escalar. Se tiene $u \cdot v = k + 1$ , $∣ u ∣ = k^{2} + 2$ y $∣ v ∣ = 2$ , con $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ :

$\frac{k + 1}{k ^{2} + 2 2} = \frac{1}{2}$

Se despeja la raíz y se eleva al cuadrado (esto puede introducir soluciones falsas, así que habrá que comprobar):

$2 (k + 1) = 2 (k^{2} + 2) ⟹ 4 (k + 1)^{2} = 2 (k^{2} + 2) ⟹ 2 k^{2} + 8 k = 0 ⟹ k = 0 o k = - 4$

Comprobación: el coseno es positivo, luego hace falta $k + 1 > 0$ . Con $k = 0$ se cumple ( $1 > 0$ ); con $k = - 4$ sale $- 3 < 0$ , y ese valor da en realidad un ángulo de $12 0^{\circ}$ . Solo vale $k = 0$ .

c) Con $k = 0$ , $u = 011$ y $u \cdot v = 1$ . La proyección escalar de $u$ sobre $v$ es $\frac{v \cdot u}{∣ v ∣} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ .

En el examen: al elevar al cuadrado una ecuación con raíz, comprueba siempre el signo del producto escalar para descartar la solución falsa; dar las dos soluciones sin comprobar se penaliza. Escribe también el desarrollo del producto escalar antes de igualar a cero.

Resultado: a) $k = 8$ ; b) $k = 0$ ; c) $\frac{2}{2}$ .

Errores típicos

Resumen

En $R^{3}$ : $u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$ . Es un número, no un vector.
Propiedades: conmutativo, distributivo, $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ , $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ . Positivo si el ángulo es agudo, negativo si es obtuso.
Ángulo: $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ , con los dos vectores saliendo del mismo punto.
Perpendiculares: $u \cdot v = 0$ . Con un parámetro, esa ecuación lo despeja.
Proyección escalar de $v$ sobre $u$ : $\frac{u \cdot v}{∣ u ∣}$ ; vectorial: $\frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ^{2}} u$ .
Si elevas al cuadrado para quitar una raíz, comprueba el signo del producto escalar.

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