IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el plano: vectores y rectas · Apartado 2 de 3

Producto escalar y ángulo entre vectores

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El producto escalar convierte dos vectores en un número que mide cuánto «apuntan en la misma dirección». Con él se calcula el ángulo entre dos vectores, se comprueba si son perpendiculares y se halla el ángulo entre dos rectas. Aparece en la Prueba 1 con vectores sencillos y en la Prueba 2 dentro de problemas de geometría y de movimiento.

Dos formas de calcularlo

Dados dos vectores $u$ y $v$ con el mismo origen, sea $θ$ el ángulo que forman, con $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ . Para que $θ$ esté bien definido, los dos vectores se dibujan saliendo del mismo punto.

Dos vectores u y v con el mismo origen O y ángulo theta entre ellos; la proyección de v sobre u mide módulo de v por coseno de theta

Por qué las dos fórmulas dan lo mismo

Los vectores $u$ , $v$ y $u - v$ forman un triángulo cuyos lados miden $∣ u ∣$ , $∣ v ∣$ y $∣ u - v ∣$ , y el ángulo entre los dos primeros es $θ$ . El teorema del coseno dice:

$∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - 2 ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$

Por otro lado, en componentes, $∣ u - v ∣^{2} = (u_{1} - v_{1})^{2} + (u_{2} - v_{2})^{2}$ . Al desarrollar y simplificar los cuadrados $u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = ∣ u ∣^{2}$ y $v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = ∣ v ∣^{2}$ , queda

$- 2 u_{1} v_{1} - 2 u_{2} v_{2} = - 2 ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ ⟹ u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$

La forma con el coseno sirve cuando conoces módulos y ángulo; la de componentes, cuando conoces las coordenadas. Casi siempre se usan juntas: se iguala una con otra para despejar el ángulo o un parámetro.

Propiedades

La penúltima sale de la fórmula con $θ = 0^{\circ}$ : un vector forma ángulo $0^{\circ}$ consigo mismo y $cos 0^{\circ} = 1$ . Las demás se comprueban en un momento con las componentes. Lo que no hay es una «división» ni una propiedad asociativa: $(u \cdot v) \cdot w$ no tiene sentido, porque $u \cdot v$ ya es un número.

El signo del resultado informa del tipo de ángulo, porque lo único que puede cambiar de signo en $∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$ es el coseno (los módulos son positivos si los vectores no son nulos):

Ángulo $θ$	$cos θ$	$u \cdot v$
$0^{\circ} \leq θ < 9 0^{\circ}$ (agudo)	positivo	$> 0$
$θ = 9 0^{\circ}$ (recto)	cero	$= 0$
$9 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ (obtuso)	negativo	$< 0$

Ángulo entre dos vectores

Despejando $cos θ$ en la fórmula geométrica y sustituyendo la de componentes:

Como el coseno es inyectivo entre $0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ , aquí no hay caso ambiguo: el ángulo es único y su signo dice si es agudo u obtuso. Si el ángulo que pide el problema es el de un triángulo $A B C$ en el vértice $B$ , usa los vectores $B A$ y $B C$ , ambos saliendo de $B$ .

Vectores perpendiculares

Si $θ = 9 0^{\circ}$ entonces $cos θ = 0$ , y recíprocamente. Para vectores no nulos:

Una consecuencia útil: en el plano, el vector $(- b a)$ es perpendicular a $(a b)$ , porque $a (- b) + b a = 0$ . Basta intercambiar las componentes y cambiar el signo de una. Si lo que buscas es un vector con una condición de perpendicularidad que dependa de un parámetro, plantea $u \cdot v = 0$ y despeja.

Proyección escalar

Mira de nuevo la figura. Si se baja desde el extremo de $v$ una perpendicular a la recta de $u$ , el segmento que queda sobre esa recta mide $∣ v ∣ cos θ$ : es la «sombra» de $v$ sobre la dirección de $u$ .

Esta cantidad es la distancia con signo que $v$ avanza en la dirección de $u$ . La distancia de un punto a una recta se apoya en la misma idea.

Ángulo entre dos rectas

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos, iguales dos a dos: uno agudo $α$ (o recto) y su suplementario $18 0^{\circ} - α$ . Por convenio, el ángulo entre dos rectas es el agudo (o $9 0^{\circ}$ ). Se calcula con sus vectores directores $u$ y $v$ , que pueden formar un ángulo agudo o su suplementario obtuso según el sentido en que los hayas escrito. Para no depender de ese sentido se toma el valor absoluto:

Si una recta se da en forma cartesiana $a x + b y + c = 0$ , un vector director es $(b - a)$ . En la Prueba 2, el ángulo entre dos rectas con pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ también puede obtenerse con la CPG, pero el método vectorial es el que se pide justificar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Producto escalar con módulos y con componentes

a) Los vectores $p$ y $q$ cumplen $∣ p ∣ = 4$ , $∣ q ∣ = 5$ y forman un ángulo de $6 0^{\circ}$ . Calcula $p \cdot q$ .

b) Calcula $u \cdot v$ si $u = (2 - 3)$ y $v = (45)$ , y di si el ángulo entre ellos es agudo, recto u obtuso.

c) Halla $k$ para que $(k 3)$ y $(6 - 2)$ sean perpendiculares.

Solución

a) Con la forma geométrica: $p \cdot q = 4 \cdot 5 \cdot cos 6 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ .

b) En componentes: $u \cdot v = 2 \cdot 4 + (- 3) \cdot 5 = 8 - 15 = - 7$ . Es negativo, así que el ángulo es obtuso.

c) Perpendiculares equivale a producto escalar nulo: $6 k + 3 \cdot (- 2) = 0$ , es decir, $6 k - 6 = 0$ , luego $k = 1$ .

Ejemplo 2 Medio

Ángulos y proyección en un triángulo

Un triángulo tiene vértices $A (1, 1)$ , $B (0, 4)$ y $C (3, 5)$ .

a) Calcula $A B \cdot A C$ .

b) Halla el ángulo del triángulo en $A$ (en radianes, exacto).

c) Calcula $B A \cdot B C$ .

d) Calcula la proyección escalar de $A C$ sobre $A B$ .

Solución

Primero los vectores, restando extremo menos origen:

$A B = (0 - 1 4 - 1) = (- 1 3), A C = (3 - 1 5 - 1) = (24)$

a) $A B \cdot A C = (- 1) \cdot 2 + 3 \cdot 4 = 10$ .

b) Los módulos son $∣ A B ∣ = 1 + 9 = 10$ y $∣ A C ∣ = 4 + 16 = 25$ . Entonces

$cos A = \frac{10}{10 \cdot 2 5} = \frac{10}{2 50} = \frac{10}{10 2} = \frac{2}{2}$

y el ángulo es $A = \frac{π}{4}$ (es decir, $4 5^{\circ}$ ).

c) En $B$ se usan vectores que salen de $B$ : $B A = (1 - 3)$ y $B C = (31)$ . Su producto es $1 \cdot 3 + (- 3) \cdot 1 = 0$ : el ángulo en $B$ es recto.

d) $\frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣} = \frac{10}{10} = 10$ . Coincide con $∣ A B ∣$ , y es lo esperado: como el ángulo en $B$ es recto, el pie de la perpendicular desde $C$ a la recta $A B$ es justo $B$ .

Ejemplo 3 Difícil

Un parámetro y el ángulo entre dos senderos

a) Los vectores $u = (k 1)$ y $v = (13)$ forman un ángulo de $4 5^{\circ}$ . Halla todos los valores posibles de $k$ .

b) Dos senderos rectos de un parque tienen vectores de dirección $v = (13)$ y $w = (- 2 - 1)$ . Halla el ángulo que forman los vectores $v$ y $w$ (en radianes, exacto).

c) Halla el ángulo agudo entre los dos senderos (en radianes, exacto).

Solución

a) Se iguala $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ con la fórmula del ángulo. Como $u \cdot v = k + 3$ , $∣ u ∣ = k^{2} + 1$ y $∣ v ∣ = 10$ :

$\frac{k + 3}{k ^{2} + 1 10} = \frac{2}{2}$

Para quitar la raíz se eleva al cuadrado (hay que comprobar el resultado después, porque se pierde el signo):

$\frac{( k + 3 ) ^{2}}{10 ( k ^{2} + 1 )} = \frac{1}{2} ⟹ 2 (k + 3)^{2} = 10 (k^{2} + 1) ⟹ k^{2} + 6 k + 9 = 5 k^{2} + 5$

$4 k^{2} - 6 k - 4 = 0 ⟹ 2 k^{2} - 3 k - 2 = 0 ⟹ k = \frac{3 \pm 5}{4} ⟹ k = 2 o k = - \frac{1}{2}$

Comprobación: el coseno original es positivo, así que hace falta $k + 3 > 0$ . Se cumple con $k = 2$ ( $5 > 0$ ) y con $k = - \frac{1}{2}$ ( $\frac{5}{2} > 0$ ): los dos valores son válidos.

b) $v \cdot w = 1 \cdot (- 2) + 3 \cdot (- 1) = - 5$ , $∣ v ∣ = 10$ y $∣ w ∣ = 5$ :

$cos θ = \frac{- 5}{10 5} = \frac{- 5}{5 2} = - \frac{2}{2} ⟹ θ = \frac{3 π}{4}$

c) El resultado de b) es un ángulo obtuso ( $13 5^{\circ}$ ), pero el ángulo entre rectas es el agudo, o sea el suplementario: $π - \frac{3 π}{4} = \frac{π}{4}$ . También sale con el valor absoluto: $cos α = \frac{∣ - 5 ∣}{5 2} = \frac{2}{2}$ , luego $α = \frac{π}{4}$ ( $4 5^{\circ}$ ).

En el examen: al elevar al cuadrado, comprueba el signo del producto escalar para no dar soluciones falsas. Y al hablar de rectas escribe siempre el ángulo agudo, aunque el producto escalar de tus vectores salga negativo.

Errores típicos

Resumen

Producto escalar: $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$ . Es un número, no un vector. Las dos formas coinciden por el teorema del coseno.
Propiedades: conmutativo, distributivo, $(k u) \cdot v = k (u \cdot v)$ , $u \cdot u = ∣ u ∣^{2}$ . Positivo si el ángulo es agudo, negativo si es obtuso.
Ángulo entre vectores: $cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ , con los dos vectores saliendo del mismo punto.
Perpendiculares: $u \cdot v = 0$ . El vector $(- b a)$ es perpendicular a $(a b)$ .
Proyección escalar de $v$ sobre $u$ : $∣ v ∣ cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣}$ .
Ángulo entre rectas (agudo): $cos α = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ ∣ v ∣}$ con sus vectores directores.

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