Teoremas del seno y del coseno; área del triángulo

Notación y qué significa «resolver un triángulo»

En un triángulo $ABC$ el ángulo $A$ está en el vértice $A$ y el lado $a$ es el que tiene enfrente: cada lado lleva la letra minúscula del vértice opuesto. Esto es lo que da sentido a todas las fórmulas siguientes.

Resolver un triángulo es calcular los tres lados y los tres ángulos a partir de tres datos (con al menos un lado). Recuerda siempre que los ángulos suman $180^{\circ }$: si conoces dos, el tercero sale directamente.

Teorema del seno

En un triángulo, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto. La idea es sencilla: el lado mayor se opone siempre al ángulo mayor, y el seno recoge esa proporción.

Basta con usar dos de las tres razones cada vez. Es el teorema adecuado cuando conoces una pareja «lado y ángulo opuesto» y un dato más de esa clase: dos ángulos y un lado cualquiera (AAL o ALA), o dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA).

Una pista de por qué funciona: la altura $h$ desde $C$ vale $h=b\sin A$ y también $h=a\sin B$. Igualando, $b\sin A=a\sin B$, que es el teorema con otra ordenación.

El caso ambiguo (LLA)

Si conoces dos lados y un ángulo que no está entre ellos, el teorema del seno te da $\sin B$ y de ahí hay que obtener $B$. Pero un mismo valor de $\sin B$ lo tienen dos ángulos entre $0^{\circ }$ y $180^{\circ }$:

$$B_1=\arcsin (\sin B)\text{y}{B}_2=180^{\circ }-B_1$$

A veces los dos sirven y hay dos triángulos distintos. La figura lo muestra: con el ángulo $A$, el lado $b$ y un lado $a$ fijados, la circunferencia de radio $a$ y centro $C$ corta a la base en dos puntos $B_1$ y $B_2$.

Teorema del coseno

Cuando los datos no forman una pareja «lado–ángulo opuesto» (por ejemplo, dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados), el teorema del seno no sirve. Aquí entra el del coseno, que generaliza al de Pitágoras: si el ángulo es $90^{\circ }$, el término con $\cos$ desaparece.

El lado que va solo a la izquierda es el opuesto al ángulo de la derecha. Si $C$ es agudo, $\cos C>0$ y $c^2<a^2+b^2$; si $C$ es obtuso, $\cos C<0$ y $c^2>a^2+b^2$.

Una ventaja del teorema del coseno para calcular ángulos: como el coseno es inyectivo entre $0^{\circ }$ y $180^{\circ }$ (distinto valor para cada ángulo), no hay caso ambiguo y su signo indica si el ángulo es agudo u obtuso. Por eso, cuando conoces los tres lados, calcula primero el ángulo mayor con el coseno (el opuesto al lado mayor) y los otros con el seno: ya sabes que son agudos.

Área de un triángulo

La altura sobre el lado $b$ vale $h=a\sin C$, así que el área $\frac{1}{2}bh$ queda como sigue.

Hace falta que el ángulo esté entre los dos lados. Si lo que tienes son los tres lados, calcula antes un ángulo con el teorema del coseno, y obtén el seno con $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}$, que es válido porque $C$ está entre $0^{\circ }$ y $180^{\circ }$ y su seno es positivo.

Qué teorema uso

Mira los tres datos que te dan, no el dibujo.

Para el área, cualquier pareja de lados con su ángulo comprendido.

Rumbos

En problemas de navegación, el rumbo de un punto respecto a otro es el ángulo medido desde la dirección norte, en sentido horario, y se escribe con tres cifras: $045^{\circ }$ es noreste, $090^{\circ }$ es este, $180^{\circ }$ es sur y $270^{\circ }$ es oeste.

Para convertir rumbos en ángulos del triángulo, dibuja en cada punto una flecha que apunte al norte (todas son paralelas) y usa que dos rectas paralelas cortadas por una transversal forman ángulos iguales o suplementarios. Lo que se necesita es el ángulo interior del triángulo en cada vértice.

Recuerda también el rumbo inverso: si $B$ está en rumbo $\theta$ desde $A$, entonces $A$ está en rumbo $\theta +180^{\circ }$ desde $B$ (si $\theta \ge 180^{\circ }$, resta $180^{\circ }$).

Un ejemplo para ver todo junto. Desde el puerto $P$ un barco navega $12$ km con rumbo $070^{\circ }$ hasta $A$, y de allí $9$ km con rumbo $130^{\circ }$ hasta $B$. El rumbo inverso de $A$ a $P$ es $070^{\circ }+180^{\circ }=250^{\circ }$, y el ángulo interior en $A$ es $250^{\circ }-130^{\circ }=120^{\circ }$. Con el teorema del coseno:

$$P{B}^2=12^2+9^2-2\cdot 12\cdot 9\cos 120^{\circ }=144+81+108=333⟹PB=\sqrt{333}\approx 18,25\text{ km}$$

Para el rumbo de $B$ desde $P$, el ángulo en $P$ cumple $\sin \hat{P}=\frac{9\sin 120^{\circ }}{\sqrt{333}}\approx 0,427$, luego $\hat{P}\approx 25,3^{\circ }$ (agudo, porque $\hat{A}$ ya es obtuso). $B$ queda a la derecha de la dirección de $A$, así que el rumbo es $070^{\circ }+25,3^{\circ }\approx 095^{\circ }$.

Ángulos de elevación y de depresión

El ángulo de elevación es el que forma con la horizontal la visual hacia un objeto más alto que el observador. El ángulo de depresión es el que forma con la horizontal la visual hacia un objeto más bajo. Los dos se miden desde la horizontal, no desde la vertical, y por las rectas paralelas, el ángulo de depresión desde un punto es igual al de elevación desde el punto de abajo.

Dos ejemplos de base. A $40$ m de la base de un edificio el ángulo de elevación de la azotea es $35^{\circ }$: la altura es $40\tan 35^{\circ }\approx 28,0$ m. Desde lo alto de un faro de $50$ m se ve una boya con ángulo de depresión de $20^{\circ }$: su distancia horizontal al pie del faro es $\frac{50}{\tan 20^{\circ }}\approx 137,4$ m.

Cuando el problema tiene dos observaciones desde puntos distintos, se forma un triángulo no rectángulo: se resuelve primero con el teorema del seno (o del coseno) para hallar un lado auxiliar, y después con el triángulo rectángulo se obtiene la altura.