Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Los lados de un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el lado más largo, opuesto al ángulo recto, es la hipotenusa. Los otros dos son los catetos. Si eliges uno de los ángulos agudos, $\theta$, los catetos se distinguen por su posición respecto a él: el cateto opuesto es el que no toca a $\theta$, y el cateto contiguo es el que forma el ángulo junto con la hipotenusa.

Dos recordatorios que se usan constantemente: los tres ángulos de un triángulo suman $180^{\circ }$, así que los dos agudos de un triángulo rectángulo suman $90^{\circ }$ (son complementarios); y los lados cumplen el teorema de Pitágoras, ${\text{hipotenusa}}^2={\text{cateto}}_1^2+{\text{cateto}}_2^2$. Cambiar de ángulo agudo intercambia los papeles de «opuesto» y «contiguo».

Seno, coseno y tangente

Todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo $\theta$ son semejantes (tienen los mismos ángulos), de modo que sus lados son proporcionales. Por eso el cociente entre dos lados cualesquiera no depende del tamaño del triángulo, solo de $\theta$.

Como la hipotenusa es el lado mayor, $0<\sin \theta <1$ y $0<\cos \theta <1$ para un ángulo agudo; en cambio, $\tan \theta$ puede valer cualquier número positivo.

Por ejemplo, en un triángulo de catetos $3$ y $4$ la hipotenusa es $5$. Para el ángulo que se opone al cateto $3$: $\sin \theta =\frac{3}{5}$, $\cos \theta =\frac{4}{5}$ y $\tan \theta =\frac{3}{4}$. Para el otro ángulo agudo, $\phi$, el cateto opuesto es $4$, y salen $\sin \phi =\frac{4}{5}$, $\cos \phi =\frac{3}{5}$.

Observa que $\sin \phi =\cos \theta$. No es casualidad: lo que es opuesto para un ángulo es contiguo para el otro.

Relaciones entre las razones

Las tres salen directamente de la definición. Si llamamos $a$ al cateto opuesto, $b$ al contiguo y $h$ a la hipotenusa:

• $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{a/h}{b/h}=\frac{a}{b}=\tan \theta$.
• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\frac{a^2}{h^2}+\frac{b^2}{h^2}=\frac{a^2+b^2}{h^2}=1$, por Pitágoras.
• El ángulo $90^{\circ }-\theta$ es el otro ángulo agudo, para el que el opuesto es $b$ y el contiguo es $a$; por tanto su coseno es $\frac{a}{h}=\sin \theta$.

Gracias a la segunda identidad, si conoces una razón de un ángulo agudo, puedes hallar las demás sin calcular el ángulo: se despeja la otra con ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ (tomando la raíz positiva, porque el ángulo es agudo) y se usa $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

Valores exactos de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ y $60^{\circ }$

En la Prueba 1 no hay calculadora y se espera que conozcas estos valores. No hace falta memorizarlos a ciegas: salen de dos triángulos sencillos.

• La mitad de un cuadrado de lado $1$, cortado por una diagonal, es un triángulo rectángulo con ángulos $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ y lados $1,1,\sqrt{2}$.
• La mitad de un triángulo equilátero de lado $2$, cortado por una altura, es un triángulo rectángulo con ángulos $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ y lados $1,\sqrt{3},2$ (la altura mide $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$).

Leyendo las razones en estos triángulos:

Por ejemplo, en el triángulo de $45^{\circ }$: $\sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ tras racionalizar. Fíjate en el patrón del seno, $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$, y en que el coseno lo recorre al revés: es la identidad $\cos \theta =\sin (90^{\circ }-\theta )$.

Resolver un triángulo rectángulo

Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y ángulos a partir de algunos datos. Con el ángulo recto ya conoces uno de los ángulos; hacen falta dos datos más, de los cuales al menos uno es un lado.

Cuando la incógnita es un lado, conviene elegir la razón que la deja multiplicando o dividiendo por el dato, sin ángulos complicados. Si la incógnita queda en el denominador, por ejemplo $\sin 30^{\circ }=\frac{5}{x}$, se despeja igualmente: $x=\frac{5}{\sin 30^{\circ }}$.

Un triángulo que no es rectángulo, pero se puede cortar con una altura en dos que sí lo son, también se resuelve con estas razones. Más adelante verás los teoremas del seno y del coseno, que lo hacen de forma directa (teoremas del seno y del coseno).