IB Análisis y Enfoques NS · Trigonometría · Apartado 3 de 5

Identidades: suma, ángulo doble y ángulo mitad

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Con las fórmulas de la suma de dos ángulos se obtienen todas las demás: ángulo doble, ángulo mitad y valores exactos como $sin 7 5^{\circ}$ que no están en la tabla de $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ y $6 0^{\circ}$ . Además, sirven para simplificar expresiones y para demostrar identidades, un tipo de pregunta muy típico de la Prueba 1.

Seno, coseno y tangente de una suma y de una diferencia

Es tentador pensar que $sin (A + B)$ es $sin A + sin B$ , pero no es así: con $A = B = 9 0^{\circ}$ daría $sin 18 0^{\circ} = 0$ a un lado y $1 + 1 = 2$ al otro. El seno de una suma mezcla los senos y los cosenos de los dos ángulos.

Fíjate en el signo del coseno: es el contrario al de la suma. Se entiende con $cos (A + B)$ cuando $A$ y $B$ son pequeños: el coseno de un ángulo mayor tiene que ser menor, y por eso se resta el producto $sin A sin B$ .

De dónde sale todo: la fórmula del seno de la suma se puede demostrar con un dibujo en la circunferencia goniométrica, y de ella se deducen las demás. Para la diferencia basta cambiar $B$ por $- B$ y recordar que $sin (- B) = - sin B$ y $cos (- B) = cos B$ . La del coseno sale de $cos x = sin (9 0^{\circ} - x)$ , y la de la tangente, de dividir seno entre coseno:

$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

(se divide numerador y denominador entre $cos A cos B$ ).

Valores exactos de ángulos nuevos

Con las fórmulas de la suma puedes obtener las razones exactas de cualquier ángulo que se escriba como suma o diferencia de ángulos con razones conocidas (los de la tabla de valores exactos y sus equivalentes en otros cuadrantes, como $12 0^{\circ}$ o $21 0^{\circ}$ ). Por ejemplo, $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ y $1 5^{\circ} = 6 0^{\circ} - 4 5^{\circ}$ .

Ángulo doble

Si en las fórmulas de la suma tomas $B = A$ , obtienes las del ángulo doble. Usa la letra $θ$ para el ángulo:

Hay tres formas del coseno. La segunda y la tercera salen de la primera al sustituir $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ o $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ (de $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ). Cuál usar depende de lo que conozcas: si solo sabes $cos θ$ , usa $2 cos^{2} θ - 1$ ; si solo sabes $sin θ$ , usa $1 - 2 sin^{2} θ$ .

Un uso muy frecuente es despejar los cuadrados: de las dos últimas formas se obtiene

$cos^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2} sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}$

que permiten convertir un cuadrado de seno o coseno en una expresión de grado uno (se usa mucho en integrales y en ecuaciones).

Ángulo mitad

El ángulo mitad es el ángulo doble leído al revés. Si en $cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1$ llamas $θ = 2 α$ , es decir $α = \frac{θ}{2}$ , resulta

$cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2} - 1 y, con la otra forma, cos θ = 1 - 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$

Estas fórmulas no suelen venir en el cuadernillo de fórmulas del IB tal cual: lo habitual es deducirlas a partir del coseno del ángulo doble, como acabas de ver. Conviene saber hacerlo.

Demostrar identidades

Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de la variable en que ambos lados existen, como $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ . Demostrar una identidad es probar que el lado izquierdo y el lado derecho son la misma expresión.

Simplificar y calcular con las identidades

Las identidades sirven también para reducir una expresión a otra más sencilla o para calcular valores. Dos reconocimientos útiles:

$sin A cos B + cos A sin B$ es $sin (A + B)$ , y $cos A cos B - sin A sin B$ es $cos (A + B)$ ; así, $cos 4 7^{\circ} cos 1 3^{\circ} - sin 4 7^{\circ} sin 1 3^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$2 sin θ cos θ$ es $sin 2 θ$ y $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ es $cos 2 θ$ ; así, $2 sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Cuando te dan una razón de $θ$ y el cuadrante, calcula primero las otras razones de $θ$ con $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ (eligiendo el signo por el cuadrante) y después aplica la fórmula que corresponda.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Valores exactos con la suma y la diferencia

Calcula el valor exacto de:

a) $sin 7 5^{\circ}$

b) $cos 16 5^{\circ}$ (escribe $16 5^{\circ} = 12 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ )

c) $tan 7 5^{\circ}$

d) $sin 7 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} + cos 7 5^{\circ} sin 1 5^{\circ}$

Solución

a) Con $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ :

$sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ} = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$

b) Con $16 5^{\circ} = 12 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ , y teniendo en cuenta que $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ y $sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ :

$cos 16 5^{\circ} = cos 12 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} - sin 12 0^{\circ} sin 4 5^{\circ} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = - \frac{2 + 6}{4}$

El signo negativo es coherente: $16 5^{\circ}$ está en el segundo cuadrante.

c) Con $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ y $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ :

$tan 7 5^{\circ} = \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - \frac{3}{3}} = \frac{3 + 3}{3 - 3} = \frac{( 3 + 3 ) ^{2}}{9 - 3} = \frac{12 + 6 3}{6} = 2 + 3$

d) Es el desarrollo de $sin (7 5^{\circ} + 1 5^{\circ})$ , así que vale $sin 9 0^{\circ} = 1$ .

Ejemplo 2 Medio

Ángulo doble y ángulo mitad dados el seno y el cuadrante

El ángulo $θ$ cumple $sin θ = \frac{5}{13}$ y $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ . El ángulo $φ$ cumple $cos φ = \frac{4}{5}$ y $27 0^{\circ} < φ < 36 0^{\circ}$ .

a) Halla $cos θ$ , $sin 2 θ$ y $cos 2 θ$ .

b) Halla $cos \frac{θ}{2}$ y $tan \frac{θ}{2}$ .

c) Halla $sin (θ + φ)$ .

Solución

a) De $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ se tiene $cos^{2} θ = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , es decir, $cos θ = \pm \frac{12}{13}$ . Como $θ$ está en el segundo cuadrante, el coseno es negativo: $cos θ = - \frac{12}{13}$ .

Con las fórmulas del ángulo doble:

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (- \frac{12}{13}) = - \frac{120}{169}$

$cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$

(Se comprueba con la otra forma: $cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{144 - 25}{169} = \frac{119}{169}$ .)

b) Como $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ , el ángulo mitad cumple $4 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 9 0^{\circ}$ : está en el primer cuadrante y su coseno es positivo.

$cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1 - \frac{12}{13}}{2} = \frac{1}{26} = \frac{26}{26}$

Para la tangente no hace falta el signo:

$tan \frac{θ}{2} = \frac{sin θ}{1 + cos θ} = \frac{\frac{5}{13}}{1 - \frac{12}{13}} = \frac{5/13}{1/13} = 5$

c) Para $φ$ en el cuarto cuadrante el seno es negativo: $sin^{2} φ = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ , luego $sin φ = - \frac{3}{5}$ . Entonces

$sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ = \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} + (- \frac{12}{13}) (- \frac{3}{5}) = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}$

Ejemplo 3 DifícilDemostración

Demostrar tres identidades

Demuestra las siguientes identidades:

a) $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

b) $tan x + \frac{1}{tan x} = \frac{2}{sin 2 x}$

c) $cos (A + B) cos (A - B) = cos^{2} A - sin^{2} B$

Solución

a) Se trabaja solo con el lado izquierdo, escribiendo $3 θ = 2 θ + θ$ y usando el ángulo doble:

$sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + sin θ - 2 sin^{3} θ = 2 sin θ - 2 sin^{3} θ + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

Hemos elegido $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ y $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ para que todo quede en función de $sin θ$ , que es lo que aparece en el lado derecho.

b) Se parte del lado izquierdo y se expresa todo en senos y cosenos (para $x$ con $sin x \neq = 0$ y $cos x \neq = 0$ ):

$tan x + \frac{1}{tan x} = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{1}{sin x cos x} = \frac{2}{2 sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}$

c) Se desarrolla el lado izquierdo con las fórmulas de la suma y de la diferencia. Es un producto de la forma $(P - Q) (P + Q)$ con $P = cos A cos B$ y $Q = sin A sin B$ :

$cos (A + B) cos (A - B) = (cos A cos B - sin A sin B) (cos A cos B + sin A sin B) = cos^{2} A cos^{2} B - sin^{2} A sin^{2} B = cos^{2} A (1 - sin^{2} B) - (1 - cos^{2} A) sin^{2} B = cos^{2} A - cos^{2} A sin^{2} B - sin^{2} B + cos^{2} A sin^{2} B = cos^{2} A - sin^{2} B$

En el examen: una demostración empieza en un lado y acaba en el otro, sin escribir en ningún paso «lado izquierdo $=$ lado derecho» antes de haberlo probado. Puntúa cada transformación bien justificada (por ejemplo, «por la fórmula del ángulo doble») y la expresión final exacta que pide el enunciado.

Errores típicos

Resumen

Suma y diferencia: $sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$ ; $cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$ ; $tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$ .
Se usan para obtener valores exactos como $sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}$ y $tan 7 5^{\circ} = 2 + 3$ , escribiendo el ángulo como suma o diferencia de ángulos conocidos.
Ángulo doble: $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ ; $cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$ ; $tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}$ .
Ángulo mitad (se deduce del doble): $cos \frac{θ}{2} = \pm \frac{1 + c o s θ}{2}$ , $sin \frac{θ}{2} = \pm \frac{1 - c o s θ}{2}$ , $tan \frac{θ}{2} = \frac{s i n θ}{1 + c o s θ}$ ; el signo depende del cuadrante de $\frac{θ}{2}$ .
Dada una razón y el cuadrante, calcula primero las demás razones de $θ$ con $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ y elige el signo.
Demostrar una identidad: parte de un solo lado, transforma con pasos justificados y llega exactamente al otro; no operes en los dos lados a la vez.

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