Ecuaciones trigonométricas

a) $\sin x=-\frac{1}{2}$. El valor principal es $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-30^{\circ }$, que no está en el intervalo. El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrantes, y el ángulo de referencia es $30^{\circ }$:

$$x=180^{\circ }+30^{\circ }=210^{\circ }\text{y}x=360^{\circ }-30^{\circ }=330^{\circ }$$

b) El valor principal es $x_0=\arctan 2\approx 1,107$, en el primer cuadrante. La tangente tiene periodo $\pi$, luego

$$x=\arctan 2\text{y}x=\arctan 2+\pi (\approx 4,249)$$

La siguiente, $\arctan 2+2\pi$, ya se sale del intervalo.

c) $\cos x=\frac{3}{10}$. El valor principal es $x_0=\arccos \frac{3}{10}\approx 1,266$. El coseno es positivo en los cuadrantes primero y cuarto, y la simetría respecto al eje horizontal da $2\pi -x_0$:

$$x=\arccos \frac{3}{10}\text{y}x=2\pi -\arccos \frac{3}{10}(\approx 5,017)$$

a) Sea $u=2x$. Si $0\le x\le 2\pi$, entonces $0\le u\le 4\pi$ (dos vueltas). Para $\sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}$, el valor principal es $\frac{\pi }{3}$ y la otra solución de una vuelta, $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Sumando $2\pi$:

$$u=\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{3},\frac{8\pi }{3}$$

Todas están en $[0,4\pi ]$. Al dividir por $2$:

$$x=\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}$$

b) Sea $u=3x$. Si $0\le x\le \pi$, entonces $0\le u\le 3\pi$ (una vuelta y media). Para $\cos u=-\frac{1}{2}$: $u=\frac{2\pi }{3}$ y $u=\frac{4\pi }{3}$; sumando $2\pi$ se obtiene $\frac{8\pi }{3}\le 3\pi$ (vale) y $\frac{10\pi }{3}>3\pi$ (no vale). Entonces

$$u=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{8\pi }{3}⟹x=\frac{2\pi }{9},\frac{4\pi }{9},\frac{8\pi }{9}$$

c) Sea $u=x-\frac{\pi }{4}$. Si $0\le x\le 2\pi$, entonces $-\frac{\pi }{4}\le u\le \frac{7\pi }{4}$. Para $\tan u=1$: $u=\frac{\pi }{4}$ y $u=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$ (la siguiente ya excede $\frac{7\pi }{4}$, y la anterior, $-\frac{3\pi }{4}$, es menor que $-\frac{\pi }{4}$). Ahora $x=u+\frac{\pi }{4}$:

$$x=\frac{\pi }{2}\text{y}x=\frac{3\pi }{2}$$

a) 1. Una sola razón: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, luego $$2(1-{\cos }^{2}x)-\cos x=1⟹2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

2. Factorizar con $t=\cos x$: $2t^2+t-1=(2t-1)(t+1)=0$, de modo que $t=\frac{1}{2}$ o $t=-1$. Los dos valores están en $[-1,1]$.

3. $\cos x=\frac{1}{2}$ da $x=\frac{\pi }{3}$ y $x=\frac{5\pi }{3}$; $\cos x=-1$ da $x=\pi$.

b) 1. Ángulo doble: $2\sin x\cos x=\cos x$.

2. Pasar todo a un miembro y factorizar (sin dividir): $\cos x(2\sin x-1)=0$.

3. $\cos x=0$ da $x=\frac{\pi }{2}$ y $x=\frac{3\pi }{2}$; $\sin x=\frac{1}{2}$ da $x=\frac{\pi }{6}$ y $x=\frac{5\pi }{6}$.

c) 1. La ecuación no está definida cuando $\cos x=0$ (es decir, en $x=\frac{\pi }{2}$ y $\frac{3\pi }{2}$); esos valores no pueden ser solución.

2. Con $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$: $\frac{\sin x}{\cos x}=2\sin x$, así que $\sin x-2\sin x\cos x=0$ (multiplicamos por $\cos x\ne 0$) y

$$\sin x(1-2\cos x)=0$$

3. $\sin x=0$ da $x=0,\pi ,2\pi$; $\cos x=\frac{1}{2}$ da $x=\frac{\pi }{3}$ y $x=\frac{5\pi }{3}$. Ninguna anula $\cos x$, así que valen las cinco.

En el examen: se puntúa reducir a una sola razón o factorizar, resolver cada factor y dar todas las soluciones del intervalo. No se puede dividir entre $\cos x$ en b), y en c) hay que recordar que $x=0$ y $x=2\pi$ pertenecen al intervalo cerrado.