Ejercicios IB del tema 4

Sabiendo que $\cos \theta =\frac{2}{5}$ y $\sin \theta <0$, calcule los valores exactos de $\sin \theta$, $\tan \theta$ y $\sec \theta$.

Sabiendo que $\mathrm{cosec}\theta =\frac{3}{2}$ donde $\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{3\pi }{2}$, calcule el valor exacto de $\cot \theta$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, donde $\hat{C}=90^{\circ }$. La recta $(AD)$ biseca $\widehat{BAC}$, $BD=3$ y $DC=2$, como se muestra en el diagrama. Calcule el ángulo $\widehat{DAC}$

a) Desarrolle y simplifique $(1-\sqrt{3}{)}^2$.

b) Escribiendo $15^{\circ }$ como $60^{\circ }-45^{\circ }$, encuentre el valor de $\cos (15^{\circ })$. El siguiente diagrama muestra el triángulo $ABC$ donde $AB=2$, $AC=\sqrt{2}$ y $\widehat{BAC}=15^{\circ }$.

c) Calcule $BC$ en la forma $a+\sqrt{b}$, donde $a,b\in \mathbb{Z}$.

El final de la manecilla de minutos de un reloj de la estación de ferrocarril está a 1,2 metros del centro del reloj. Si el final de la manecilla de la hora del mismo reloj desde el centro es 0.8 metros, entonces calcule las velocidades, en metros por minuto, de los extremos de la aguja de los minutos y de la manecilla de las horas.

Un sector circular con radio $r$ cm, donde $r>0$, se muestra en el siguiente diagrama. El sector tiene un ángulo de 1 radián en el centro. Sea el área del sector $A{\text{cm}}^2$ y el perímetro de $P$ cm. Sabiendo que $A=P$, calcule el valor de $r$.

El logo, para una empresa que produce chocolate, es un sector circular de radio 2 cm, que se muestra sombreado en el diagrama. El área del logotipo es $3\pi {\text{cm}}^2$.

a) Hallar, en radianes, el valor del ángulo $\theta$, que aparece en el diagrama.

b) Encuentre la longitud total del perímetro del logotipo.

La siguiente figura muestra un círculo de 5 metros de radio y con centro en O. Los puntos A y B pertenecen a la circunferencia y $\widehat{AOB}=1,9$ radianes.

a) Halle la longitud de la cuerda [AB].

b) Halle el área del sector circular sombreado.

La siguiente figura muestra un círculo con centro en $O$ y radio $r$ y una recta $TP$ tangente a él. El ángulo $\widehat{POA}$ mide $\theta$ radianes.

a) Halle el área del triángulo $AOP$ en función de $r$ y de $\theta$.

b) Halle el área del triángulo $POT$ en función de $r$ y de $\theta$.

c) Utilizando los resultados de los apartados (a) y (b), compruebe que $\sin \theta <\tan \theta$.

Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran sobre una circunferencia de 8 cm de radio y centro $O$, de tal manera que $\widehat{POQ}=59^{\circ }$. Halle el área del segmento circular sombreado, contenido entre el arco $PQ$ y la cuerda $[PQ]$.

La siguiente figura muestra un sector circular, donde $A\hat{O}B=x$ radianes y la longitud del arco $AB=\frac{2}{x}$ cm. Sabiendo que el área del sector circular es igual a $16{\text{cm}}^2$, halle la longitud del arco $AB$.

Un círculo de 4 cm de radio y centro $O$ se corta mediante una cuerda $AB$, de 6 cm de longitud.

a) Halle $A\hat{O}B$, expresando la respuesta en radianes y con una aproximación de cuatro cifras significativas.

b) Determine el área de la región sombreada.

La siguiente figura muestra un semicírculo de 20 cm de diámetro y centro $O$, y dos puntos $A$ y $B$, tales que $A\hat{O}B=\theta$, donde $\theta$ está expresado en radianes.

a) Demuestra que el área de la región sombreada se puede expresar como $50\theta -50\sin \theta$.

b) Halla el valor de $\theta$ para el cual el área de la región sombreada es igual a la mitad del área de la región no sombreada, con una aproximación de 4 cifras significativas.

El siguiente diagrama muestra un círculo de centro $O$ y radio $OA=5$ cm. El ángulo $\widehat{AOB}=135^{\circ }$. Halle el área de la región rayada.

Un disco circular se divide en 12 sectores cuyas áreas forman una progresión aritmética. El ángulo del sector más grande es el doble del ángulo del sector más pequeño. Calcule la medida del ángulo del sector más pequeño.

El diagrama muestra un círculo de centro $O$ y radio 1, donde $\widehat{AOB}=\theta$, $\theta \ne 0$. El área del triángulo $AOB$ es tres veces el área rayada. Calcule el valor de $\theta$

El siguiente diagrama muestra un pendiente metálico formado por cuatro sectores circulares iguales de radio $OB=9$ cm y cuatro sectores iguales de radio $OA=3$ cm. El ángulo $BOC=20^{\circ }$. Calcule el área del pendiente.

El siguiente diagrama muestra un círculo con centro $O$ y radio $r$. La longitud del arco $ACB$ es $2r$. El área del segmento sombreado puede expresarse como $k{r}^2$. Calcule el valor de $k$.

El siguiente diagrama muestra dos líneas rectas que se cruzan en O y dos círculos, cada uno con el centro O. El círculo exterior tiene un radio $R$ y el círculo interno tiene un radio $r$. Considere las regiones sombreadas con las áreas $A$ y $B$. Sabiendo que $A:B=2:1$, encuentre el valor exacto de la relación $R:r$.

Desde el vértice de un triángulo equilátero de lado $2x$, se traza un arco circular para dividir el triángulo en dos regiones, tal y como muestra la siguiente figura. Sabiendo que las dos regiones tienen la misma área, halle el radio del arco en función de $x$.

Se dibuja un rectángulo alrededor de un sector circular como se muestra. Si el ángulo del sector es 1 radian y el área del sector es $7{\text{cm}}^2$, encuentre las dimensiones del rectángulo, dando sus respuestas al milímetro más cercano.

La siguiente figura muestra un sector circular $AOB$ de un círculo de radio 1 y centro $O$, con $\widehat{AOB}=\theta$. Las rectas $A{B}_1$, $A_1{B}_2$, $A_2{B}_3$ son perpendiculares a $OB$. $A_1{B}_1$, $A_2{B}_2$ son todos arcos de circunferencia con centro en $O$. Calcule la suma infinita de las longitudes de los arcos $AB+A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3+\dots$

El diagrama muestra un círculo con centro $O$ y radio $r$. El ángulo $\widehat{AOB}$ en el centro del círculo es $\theta$ radianes. La cuerda $AB$ divide al círculo en un segmento menor (región sombreada) y en un segmento mayor.

a) Muestre que el área del menor segmento es $\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta )$.

b) Calcule el área del mayor segmento.

c) Sabiendo que la razón de las áreas de los dos segmentos es 2:3, demuestre que $\sin \theta =\theta -\frac{4\pi }{5}$.

d) Calcule el valor de $\theta$.

El siguiente diagrama muestra dos círculos que se cortan con centros $P$ y $Q$ y radios de 5 cm y 6 cm respectivamente. $RS$ es la cuerda común de ambos círculos y $PQ$ mide 7 cm. Calcule el área de la región rayada.

Considere la siguiente figura Los lados del triángulo equilátero $ABC$ tienen longitudes de 1 m. $P$ es el punto medio de $[AB]$. El arco de circunferencia $AB$ tiene por centro $M$, el punto medio de $[CP]$.

a) (i) Halle $AM$.

(ii) Halle $\widehat{AMP}$ en radianes.

b) Halle el área de la región sombreada.

El barco $A$ se encuentra a 10 km de distancia del barco $B$. Cada barco lleva a bordo un transmisor de radio. El transmisor del barco $A$ tiene un alcance de 7 km y el transmisor del barco $B$ tiene un alcance de 5 km. En el siguiente diagrama la zona sombreada representa la región en la que se puede detectar los dos transmisores. Halle el área de esta región.

El diagrama muestra dos circunferencias con centros en los puntos $A$ y $B$ y radios $2r$ y $r$, respectivamente. El punto $B$ pertenece a la circunferencia que tiene centro en $A$. Las circunferencias se cortan en los puntos $C$ y $D$. Sea $\alpha$ la medida del ángulo $CAD$ y $\theta$ la medida del ángulo $CBD$, ambas en radianes.

a) Halle una expresión para el área de la zona sombreada en función de $\alpha$, $\theta$ y $r$.

b) Muestre que $\alpha =4\arcsin \frac{1}{4}$.

c) A partir de lo anterior, halle el valor de $r$, sabiendo que el área de la zona sombreada es igual a 4.

El radio del círculo con el centro C es 7 cm y el radio del círculo con el centro D es de 5 cm. Si la longitud de la cuerda [AB] es de 9 cm, calcule el área de la región sombreada encerrada por los dos arcos AB.

La siguiente figura muestra dos círculos que se cortan, de radios 4 cm y 3 cm. El centro C del círculo pequeño está situado en la circunferencia del círculo grande. O es el centro del círculo grande, y los dos círculos se cortan en los puntos A y B. Halle;

a) $\widehat{BOC}$

b) El área de la región sombreada.

El siguiente diagrama muestra un semicírculo con centro O y radio $r$. Los puntos P, Q y R se encuentran en la circunferencia del círculo, tal que $PQ=2r$ y $\widehat{ROQ}=\theta$, donde $0<\theta <\pi$.

a) Sabiendo que las áreas de las dos regiones sombreadas son iguales, muestre que $\theta =2\sin \theta$.

b) Usando lo anterior, determine el valor de $\theta$.

Una empresa está diseñando un nuevo logotipo. El logotipo se crea quitando dos segmentos iguales de un rectángulo, como se muestra en el siguiente diagrama. El rectángulo mide 5 cm por 4 cm. Los puntos A y B pertenecen a una circunferencia de centro O y radio 2 cm, tal que $\widehat{AOB}=\theta$, donde $0<\theta <\pi$. Esta información se muestra en el siguiente diagrama.

a) Encuentre el área de uno de los segmentos sombreados en función de $\theta$.

b) Sabiendo que el área del logotipo es $13.4{\text{cm}}^2$, calcule el valor de $\theta$.

Sabiendo que $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ y $\cos \alpha =-\frac{3}{4}$, encuentre el valor de $\sin 2\alpha$.

Sabiendo que $a\sin (4x)+b\sin (2x)=0$, halle una expresión para ${\cos }^2(x)$ en función de $a$ y $b$.

Si $x$ satisface la ecuación $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin x\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$, compruebe que $11\tan x=a+b\sqrt{3}$ donde $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

En la figura que aparece a continuación, $AD$ es perpendicular a $BC$. $CD=4$, $BD=2$ y $AD=3$. $\widehat{CAD}=\alpha$ y $\widehat{BAD}=\beta$. Halle el valor exacto de $\cos (\alpha -\beta )$.

Compruebe que $\frac{\cos A+\sin A}{\cos A-\sin A}=\sec 2A+\tan 2A$

a) Sabiendo que $\arctan \left(\frac{1}{5}\right)+\arctan \left(\frac{1}{8}\right)=\arctan \left(\frac{1}{p}\right)$, donde $p\in {\mathbb{Z}}^{+}$, halle $p$.

b) A partir de lo anterior, halle el valor de $\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+\arctan \left(\frac{1}{5}\right)+\arctan \left(\frac{1}{8}\right)$.

Sean $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ los ángulos de un triángulo. Compruebe que $\tan \hat{A}+\tan \hat{B}+\tan \hat{C}=\tan \hat{A}\tan \hat{B}\tan \hat{C}$

a) Demuestre que $\frac{\sin 2\theta }{1+\cos 2\theta }=\tan \theta$.

b) Usando lo anterior, encuentre el valor de $\cot \frac{\pi }{8}$ en la forma $a+b\sqrt{2}$, donde $a,b\in \mathbb{Z}$.

a) Sabiendo que $\arctan \frac{1}{2}-\arctan \frac{1}{3}=\arctan a$, $a\in {\mathbb{Q}}^{+}$, halle el valor de $a$.

b) A partir de lo anterior, o de cualquier otro modo, resuelva la ecuación $\arcsin x=\arctan a$.

Sabiendo que $\sin x+\cos x=\frac{2}{3}$, halle $\cos 4x$.

Los tres primeros términos de una progresión geométrica son: $\sin x$, $\sin 2x$ y $4\sin x{\cos }^{2}x$, $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$.

a) Halle la razón común $r$.

b) Halle el conjunto de valores de $x$ para los cuales la serie geométrica: $\sin x+\sin 2x+4\sin x{\cos }^{2}x+\dots$ es convergente.

c) Si $x=\arccos \left(\frac{1}{4}\right)$, $x>0$, demuestre que la suma de los infinitos términos de la serie vale $\frac{\sqrt{15}}{2}$.

a) Halle el valor de $\sin \frac{\pi }{4}+\sin \frac{3\pi }{4}+\sin \frac{5\pi }{4}+\sin \frac{7\pi }{4}+\sin \frac{9\pi }{4}$.

b) Muestre que $\frac{1-\cos 2x}{2\sin x}=\sin x$, $x\ne k\pi$ donde $k\in \mathbb{Z}$.

c) Utilice el principio de inducción matemática para demostrar que $$\sin x+\sin 3x+\cdots +\sin (2n-1)x=\frac{1-\cos 2nx}{2\sin x},n\in {\mathbb{Z}}^{+},x\ne k\pi \text{ donde }k\in \mathbb{Z}.$$

d) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva la ecuación $\sin x+\sin 3x=\cos x$ en el intervalo $0<x<\pi$.

a) Muestre que $\sin 2nx=\sin ((2n+1)x)\cos x-\cos ((2n+1)x)\sin x$.

b) Usando lo anterior, demuestre por inducción que $$\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\cdots +\cos ((2n-1)x)=\frac{\sin 2nx}{2\sin x}\text{para todo }n\in {\mathbb{Z}}^{+},\sin x\ne 0.$$

c) Resuelva la ecuación $\cos x+\cos 3x=\frac{1}{2},0<x<\pi$.

En el triángulo ABC, $$3\sin B+4\cos C=6$$ $$4\sin C+3\cos B=1$$

a) Muestre que $\sin (B+C)=\frac{1}{2}$. Robert conjetura que $\widehat{CAB}$ puede tener dos valores posibles.

b) Muestre que la conjetura de Robert es incorrecta, demostrando que $\widehat{CAB}$ tiene sólo un valor posible.

Calcule todos los valores de $x$ en el intervalo $0\le x\le 2\pi$, para los cuales $\sin x\tan x=\sin x$.

Resuelva ${\tan }^{2}2\theta =1$, en el intervalo $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$.

Halle el menor valor positivo de $x$ para el cual se cumple que $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

a) Resuelva la ecuación $3{\cos }^{2}x-8\cos x+4=0$, donde $0\le x\le 180^{\circ }$, y exprese la(s) respuesta(s) aproximadas al número entero de grados más cercano.

b) Halle los valores exactos de $\sec x$ que satisfacen la ecuación $3{\sec }^{4}x-8{\sec }^{2}x+4=0$.

Resolver $2\sin x=\tan x$, donde $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$.

El ángulo $\theta$ satisface la ecuación $\tan \theta +\cot \theta =3$, donde $\theta$ está expresado en grados. Halle todos los posibles valores de $\theta$ en el intervalo $]0^{\circ },90^{\circ }[$.

Halle todos los valores de $\theta$ en el intervalo $[0,\pi ]$ que satisfacen la ecuación $\cos 2\theta ={\sin }^2\theta$.

Halle todas las soluciones de la ecuación $\tan x+\tan 2x=0$ donde $0^{\circ }\le x<360^{\circ }$.

Calcule todos los ángulos $\theta$, $0^{\circ }\le \theta \le 360^{\circ }$, ajustado al grado más cercano, de tal manera que $3\sin \theta +4\cos \theta =5$.

Sea $a=\sin b$, $0<b<\frac{\pi }{2}$. Calcule, en función de $b$, las soluciones de $\sin 2x=-a$, $0\le x\le \pi$.

Resuelva la ecuación ${\sec }^{2}x+2\tan x=0$, $0\le x\le 2\pi$.

Calcule todos los valores de $\theta$ para que $3{\sin }^2\theta -7\sin \theta +5=3{\cos }^2\theta$, $0^{\circ }\le \theta \le 90^{\circ }$.

Dada la ecuación $3\cos x-4\sin x=-5$, escriba una expresión para $\tan x$ dando su respuesta exacta en la forma $\tan x=\frac{p}{q}$, donde $p,q\in \mathbb{Z}$.

Resuelva la ecuación $2{\cos }^{2}x+5\sin x=4,0\le x\le 2\pi$

a) Muestre que $\sin 2x+\cos 2x-1=2\sin x(\cos x-\sin x)$.

b) Usando lo anterior o de cualquier otra forma, resuelva $\sin 2x+\cos 2x-1+\cos x-\sin x=0$ para $0<x<2\pi$.

a) (i) Exprese $\cos \left(\frac{\pi }{6}+x\right)$ en la forma $a\cos x-b\sin x$ donde $a,b\in \mathbb{R}$.

(ii) Usando lo anterior, resuelva $\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$, para $0\le x\le 2\pi$.

b) Sea $p(x)=2x^3-x^2-2x+1$.

(i) Muestre que $x=1$ es un cero de $p$.

(ii) Usando lo anterior, encuentre todas las soluciones de $2x^3-x^2-2x+1=0$.

(iii) Exprese $\sin 2\theta \cos \theta +{\sin }^2\theta$ en función de $\sin \theta$.

(iv) Usando lo anterior, resuelva $\sin 2\theta \cos \theta +{\sin }^2\theta =1$ para $0\le \theta \le 2\pi$.

Considere la ecuación $\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}+\frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}=4\sqrt{2}$, $0<x<\frac{\pi }{2}$. Sabiendo que $\sin \left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ y $\cos \left(\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

a) Verifique que $x=\frac{\pi }{12}$ es una solución de la ecuación.

b) A partir de lo anterior, halle la otra solución de la ecuación para $0<x<\frac{\pi }{2}$.

Resuelva la ecuación $\sin 2x-\cos 2x=1+\sin x-\cos x$ para $x\in [-\pi ,\pi ]$.

El siguiente diagrama muestra un triángulo $ABC$, donde $BC=105$ m, $\widehat{ACB}=40^{\circ }$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Halle $AB$.

El triángulo $ABC$ tiene un ángulo obtuso en $B$; $BC=10,2$; $\hat{A}=x$ y $\hat{B}=2x$.

a) Halle $AC$, en función de $\cos x$.

b) Sabiendo que el área del triángulo $ABC$ es $52,02\cos x$, halle el ángulo $C$.

Considere el triángulo $ABC$ donde $\widehat{BAC}=37,8^{\circ }$, $AB=8,75$ y $BC=6$. Halle $AC$.

En un triángulo $ABC$, $\hat{A}=35^{\circ }$, $BC=4$ cm y $AC=6,5$ cm. Halle los posibles valores de $\hat{B}$ y los correspondientes valores de $AB$.

Considere el triángulo $ABC$, donde $\widehat{BAC}=70^{\circ }$, $AB=8$ cm y $AC=7$ cm. El punto $D$, situado sobre el lado $BC$, es tal que $\frac{BD}{DC}=2$. Determine la longitud de $AD$.

Un triángulo tiene lados cuyas longitudes son $(n^2+n+1)$, $(2n+1)$ y $(n^2-1)$ donde $n>1$.

a) Explique por qué el lado $(n^2+n+1)$ debe ser el lado más largo del triángulo.

b) Compruebe que el ángulo más grande del triángulo, $\theta$, es igual a $120^{\circ }$.

En el triángulo $ABC$, $AB=5$ cm, $BC=6$ cm y el área es de $10{\text{cm}}^2$.

a) Halle $\sin \hat{B}$.

b) A partir de lo anterior, halle los dos valores posibles de $AC$, y dé sus respuestas con una aproximación de dos cifras decimales.

Sea un triángulo equilátero de perímetro $P$ y área $A$, cuyos vértices se encuentran sobre una circunferencia de radio $r$. Halle una expresión para $\frac{P}{A}$, de la forma $\frac{k}{r}$, donde $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Considere un triángulo $ABC$, siendo $\widehat{BAC}=45,7^{\circ }$; $AB=9,63$ cm y $BC=7,5$ cm.

a) Por medio de un diagrama, muestre por qué existen dos triángulos que cumplen con esta información.

b) Halle los posibles valores de $AC$.

El triángulo $ABC$ tiene un área de $21{\text{cm}}^2$. Los lados $AB$ y $AC$ tienen una longitud de 6 cm y 11 cm respectivamente. Halle los dos posibles valores de la longitud del lado $BC$.

El triángulo $ABC$ es equilátero de lado 3 cm. El punto $D$ se encuentra en $[BC]$ tal que $BD=1$ cm. Calcule $\cos D\hat{A}C$.

En el triángulo $ABC$, $A\hat{B}C=30^{\circ }$, $AB=6$ cm y $AC=3\sqrt{2}$ cm. Calcule las posibles medidas de $BC$.

En el triángulo $ABC$, $\hat{C}=42^{\circ }$, $BC=1,74$ cm y el área es $1,19{\text{cm}}^2$.

a) Calcule $AC$.

b) Calcule $AB$.

El triángulo $ABC$ tiene $AB=8$ cm, $BC=6$ cm y $\widehat{BAC}=20^{\circ }$. Halle la menor área posible del triángulo $ABC$.

Sea el triángulo $ABC$, $\hat{A}=30^{\circ }$, $BC=3$ y $AB=5$. Halle los dos valores posibles de $\hat{B}$.

En un triángulo $ABC$, $A\hat{B}C=31^{\circ }$, $AC=3$ cm y $BC=5$ cm. Calcule las posibles longitudes del lado $AB$.

En el triángulo $ABC$, $AB=5$ cm, $BC=12$ cm y $\widehat{ABC}=100^{\circ }$.

a) Halle el área del triángulo.

b) Halle $AC$.

En el triángulo obtusángulo $ABC$, $AC=10,9$ cm, $BC=8,71$ cm y $\widehat{BAC}=50^{\circ }$. Calcule el área del triángulo $ABC$.

En el triángulo $ABC$, $AB=9$ cm, $AC=12$ cm, y $\hat{B}$ es dos veces el tamaño de $\hat{C}$. Calcule el coseno de $\hat{C}$.

En el triángulo $ABC$, $AB=5$, $BC=14$ y $AC=11$. Halle todos los ángulos interiores del triángulo. Dé las respuestas en grados, con una aproximación de una cifra decimal.

Las longitudes de dos de los lados de un triángulo son 4 cm y 5 cm. Sea $\theta$ el ángulo entre los dos lados dados. El triángulo tiene un área de $\frac{5\sqrt{15}}{2}{\text{cm}}^2$.

a) Demuestre que $\sin \theta =\frac{\sqrt{15}}{4}$.

b) Halle los dos valores posibles para la longitud del tercer lado.

$ABCD$ es un cuadrilátero en el que $AB=6,5$; $BC=9,1$; $CD=10,4$; $DA=7,8$ y $\widehat{CDA}=90^{\circ }$. Halle $\widehat{ABC}$, y dé la respuesta al número de grados más próximo.

El triángulo $ABC$ es tal que $AB=4$ cm, $BC=3$ cm y $\widehat{BAC}=\frac{\pi }{9}$.

a) Utilice el teorema del coseno para hallar los dos posibles valores de $AC$.

b) Halle la diferencia entre las áreas de los dos posibles triángulos $ABC$.

En el triángulo $ABC$, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, $AB=6$ cm y $AC=3\sqrt{2}$. Calcule las posibles longitudes de $[BC]$.

En el triángulo $ABC$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ y $[BD]$ es perpendicular a $[AC]$.

a) Muestre que $CD=b-c\cos A$.

b) Usando lo anterior y usando el teorema de Pitágoras en el triángulo $BCD$, pruebe el teorema del coseno para el triángulo $ABC$.

c) Si $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, use el teorema del coseno para mostrar que $c=\frac{1}{2}a\pm \sqrt{b^2-\frac{3}{4}{a}^2}$.

En un triángulo ABC, $\hat{A}=50^{\circ }$, $AB=7$ cm y $BC=6$ cm. Calcule el área del triángulo sabiendo que es menor de $10{\text{cm}}^2$.

La siguiente figura muestra el triángulo ABC, donde $AB=10$, $BC=x$ y $AC=2x$. Sabiendo que $\cos \hat{C}=\frac{3}{4}$, halle el área del triángulo. Dé la respuesta en la forma $\frac{p\sqrt{q}}{2}$, donde $p,q\in {\mathbb{Z}}^{+}$