IB Análisis y Enfoques NS · Trigonometría · Apartado 2 de 5

Radianes y circunferencia goniométrica

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El radián mide un ángulo con la longitud del arco que abarca en una circunferencia de radio $1$ . Con él, la longitud de un arco y el área de un sector se calculan con fórmulas muy simples, y la circunferencia de radio $1$ permite definir seno, coseno y tangente para cualquier ángulo, no solo para los agudos. En el IB se trabaja casi siempre en radianes, y en la Prueba 1 se esperan valores exactos con $π$ .

El radián

Un radián es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Como la circunferencia completa mide $2 π r$ , caben $2 π$ radios en ella: una vuelta completa son $2 π$ radianes.

Los ángulos que más vas a usar conviene saberlos de memoria:

Grados	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$	$27 0^{\circ}$	$36 0^{\circ}$
Radianes	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

Cuando un ángulo se da como número sin unidad (por ejemplo $θ = 2$ ), se sobreentiende que son radianes.

Longitud de arco y área de un sector

Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco. Si el ángulo central es $θ$ radianes, el sector es la fracción $\frac{θ}{2 π}$ del círculo, y de ahí salen las dos fórmulas: la longitud del arco es $\frac{θ}{2 π} \cdot 2 π r$ y el área es $\frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2}$ .

Sector circular de radio r, ángulo theta, arco l y área A

El perímetro del sector es $2 r + l = r (2 + θ)$ : los dos radios más el arco. Si el enunciado habla del «perímetro» del sector, no olvides los radios.

La circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica (o circunferencia unidad) es la de centro el origen y radio $1$ . Un ángulo $θ$ se mide desde el semieje positivo de las $x$ : es positivo si se gira en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si se gira en el sentido de las agujas. El lado final del ángulo corta la circunferencia en un punto $P$ .

Circunferencia unidad con el punto P de coordenadas coseno y seno de theta y los cuatro cuadrantes

Para un ángulo agudo esto coincide con las razones del triángulo rectángulo: el triángulo con hipotenusa $1$ , base $cos θ$ y altura $sin θ$ . Pero ahora el ángulo puede ser mayor que $9 0^{\circ}$ , negativo o mayor que una vuelta. Como $P$ está en una circunferencia de radio $1$ , sus coordenadas están entre $- 1$ y $1$ :

$- 1 \leq sin θ \leq 1 - 1 \leq cos θ \leq 1 sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

La tangente, en cambio, puede valer cualquier número real, y no existe cuando $cos θ = 0$ (en $\frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ y sus equivalentes).

Como una vuelta completa devuelve $P$ a su sitio, $sin (θ + 2 π) = sin θ$ y $cos (θ + 2 π) = cos θ$ . En los ejes, los valores son:

$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$
$sin θ$	$0$	$1$	$0$	$- 1$
$cos θ$	$1$	$0$	$- 1$	$0$
$tan θ$	$0$	no existe	$0$	no existe

Signos por cuadrantes

El signo de cada razón lo deciden los signos de las coordenadas de $P$ : el seno es positivo arriba del eje $x$ y el coseno a la derecha del eje $y$ . La tangente es el cociente de ambos.

Cuadrante	I	II	III	IV
Ángulo	$0 < θ < \frac{π}{2}$	$\frac{π}{2} < θ < π$	$π < θ < \frac{3 π}{2}$	$\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$
$sin θ$	$+$	$+$	$-$	$-$
$cos θ$	$+$	$-$	$-$	$+$
$tan θ$	$+$	$-$	$+$	$-$

No hace falta memorizar la tabla: basta saber en qué cuadrante cae el punto y mirar qué coordenadas tiene positivas.

Ángulos asociados

Un ángulo $θ$ de cualquier cuadrante tiene un ángulo de referencia $α$ , agudo, que es el que forma el lado final con el eje $x$ . Los puntos de la circunferencia que corresponden a $θ$ y a $α$ son simétricos respecto a los ejes, así que sus razones coinciden salvo el signo.

Las relaciones que resumen este proceso son:

$sin (π - θ) sin (π + θ) sin (- θ) = sin θ = - sin θ = - sin θ cos (π - θ) cos (π + θ) cos (- θ) = - cos θ = - cos θ = cos θ$

Por ejemplo, $\frac{5 π}{6}$ está en el cuadrante II y su referencia es $π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6}$ ; por tanto $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ y $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Secante, cosecante y cotangente

Los inversos de las tres razones tienen nombre propio. Estas tres son solo de NS.

Tienen el mismo signo que la razón de la que son inversas. Dividiendo la identidad $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ entre $cos^{2} θ$ y entre $sin^{2} θ$ se obtienen otras dos identidades:

Con ellas, si conoces una razón y el cuadrante, puedes hallar todas las demás sin calcular el ángulo: despeja primero el coseno (o el seno) con la identidad adecuada, elige el signo según el cuadrante y deduce el resto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Pasar de grados a radianes y calcular arco y sector

a) Expresa $15 0^{\circ}$ en radianes y $\frac{7 π}{4}$ rad en grados.

b) Un sector circular tiene radio $6$ cm y ángulo central $\frac{5 π}{6}$ rad. Calcula la longitud de su arco y su área.

Solución

a) $15 0^{\circ} \cdot \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6}$ rad. Y $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{180}{π} = 31 5^{\circ}$ .

b) El ángulo está en radianes, así que se aplican directamente las fórmulas:

$l = r θ = 6 \cdot \frac{5 π}{6} = 5 π cm A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{5 π}{6} = 15 π cm^{2}$

Comprobación: $A = \frac{1}{2} r l = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 π = 15 π$ .

Ejemplo 2 Medio

Valores exactos con ángulos asociados

Calcula el valor exacto de:

a) $sin \frac{7 π}{6}$ , $cos \frac{5 π}{3}$ y $tan \frac{2 π}{3}$ .

b) $sec \frac{5 π}{6}$ , $csc \frac{11 π}{6}$ y $cot \frac{3 π}{4}$ .

Solución

a) 1. $\frac{7 π}{6}$ está en el cuadrante III (entre $π$ y $\frac{3 π}{2}$ ), con referencia $\frac{7 π}{6} - π = \frac{π}{6}$ . El seno es negativo: $sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{5 π}{3}$ está en el cuadrante IV, con referencia $2 π - \frac{5 π}{3} = \frac{π}{3}$ . El coseno es positivo: $cos \frac{5 π}{3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{2 π}{3}$ está en el cuadrante II, con referencia $π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$ . La tangente es negativa: $tan \frac{2 π}{3} = - tan \frac{π}{3} = - 3$ .

b) 1. $cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}$ , luego $sec \frac{5 π}{6} = - \frac{2}{3} = - \frac{2 3}{3}$ .

$sin \frac{11 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ (cuadrante IV), luego $csc \frac{11 π}{6} = - 2$ .
$tan \frac{3 π}{4} = - tan \frac{π}{4} = - 1$ (cuadrante II), luego $cot \frac{3 π}{4} = - 1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una razón conocida, el cuadrante y un sector

El ángulo $θ$ cumple $tan θ = \frac{12}{5}$ y $π < θ < \frac{3 π}{2}$ .

a) Halla $cos θ$ y $sin θ$ .

b) Halla $sec θ$ , $csc θ$ y $cot θ$ .

c) Un sector circular tiene área $36$ y perímetro $24$ . Halla su radio $r$ y su ángulo central $φ$ (en radianes).

Solución

a) 1. Usar la identidad. $sec^{2} θ = 1 + tan^{2} θ = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$ , luego $sec θ = \pm \frac{13}{5}$ .

Elegir el signo. En el cuadrante III el coseno es negativo, así que $sec θ = - \frac{13}{5}$ y $cos θ = - \frac{5}{13}$ .
Hallar el seno con $sin θ = tan θ cos θ = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{5}{13}) = - \frac{12}{13}$ . Es negativo, como debe ser en el cuadrante III. Comprobación: $\frac{25}{169} + \frac{144}{169} = 1$ .

b) $sec θ = - \frac{13}{5}$ , $csc θ = \frac{1}{sin θ} = - \frac{13}{12}$ y $cot θ = \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{12}$ .

c) 1. Plantear con $A = \frac{1}{2} r^{2} φ = 36$ y perímetro $2 r + r φ = 24$ .

De la segunda, $r φ = 24 - 2 r$ . De la primera, $r \cdot (r φ) = 72$ . Sustituyendo:

$r (24 - 2 r) = 72 ⟹ 2 r^{2} - 24 r + 72 = 0 ⟹ r^{2} - 12 r + 36 = 0 ⟹ (r - 6)^{2} = 0$

Luego $r = 6$ y $φ = \frac{24 - 12}{6} = 2$ rad. Comprobación: $l = 12$ , $A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36$ y perímetro $12 + 12 = 24$ .

En el examen: en a) puntúa elegir el signo del coseno justificándolo con el cuadrante; sin esa razón se pierde el punto. En c) recuerda que el perímetro incluye los dos radios.

Errores típicos

Resumen

Radianes: $18 0^{\circ} = π$ rad. Para pasar de grados a radianes se multiplica por $\frac{π}{180}$ y, al revés, por $\frac{180}{π}$ .
Arco y sector (solo con $θ$ en radianes): $l = r θ$ y $A = \frac{1}{2} r^{2} θ$ . El perímetro del sector es $2 r + r θ$ .
Circunferencia unidad: el punto del ángulo $θ$ es $(cos θ, sin θ)$ y $tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ}$ . Los ángulos positivos giran en sentido contrario a las agujas del reloj.
Signos: seno positivo en I y II, coseno positivo en I y IV, tangente positiva en I y III.
Ángulos asociados: se reduce al ángulo de referencia agudo y el signo lo decide el cuadrante.
NS: $sec θ = \frac{1}{c o s θ}$ , $csc θ = \frac{1}{s i n θ}$ , $cot θ = \frac{1}{t a n θ}$ , con $1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$ y $1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$ .

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