Vectores en el plano

Vector, componentes y notación

Un vector queda determinado por dos datos: su módulo (la longitud de la flecha) y su dirección y sentido. El vector que va del punto $A$ al punto $B$ se escribe $\overrightarrow{AB}$; cuando no interesan los puntos, se usa una letra en negrita, como $\mathbf{u}$ o $\mathbf{v}$. Se dibuja como una flecha que empieza en $A$ y termina en $B$.

Lo que realmente caracteriza a un vector es el desplazamiento que realiza. Se anota en una columna con dos números, las componentes:

$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$$

$u_1$ es el desplazamiento horizontal (positivo hacia la derecha) y $u_2$ el vertical (positivo hacia arriba).

La figura lo explica: para ir de $A$ a $B$ se avanza $x_2-x_1$ en horizontal y $y_2-y_1$ en vertical. Si algún valor sale negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda o hacia abajo. Por ejemplo, para $A(2,5)$ y $B(6,1)$ se tiene $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4\\ -4\end{array}\right)$: cuatro unidades a la derecha y cuatro hacia abajo. El camino de vuelta es $\overrightarrow{BA}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 4\end{array}\right)$, el vector opuesto, que se escribe $-\overrightarrow{AB}$.

La misma relación sirve «al revés»: si conoces $A$ y las componentes del vector, el extremo es $B=A+\overrightarrow{AB}$, es decir, se suman las componentes a las coordenadas de $A$.

Vectores iguales, vector nulo y vector de posición

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. En la práctica basta con esto:

Dos flechas iguales pueden estar en lugares distintos del plano: son el mismo desplazamiento dibujado desde puntos de partida diferentes. Por eso se habla de un vector $\mathbf{u}$ sin decir dónde empieza. Si $ABCD$ es un paralelogramo (con los vértices en ese orden), los lados opuestos dan vectores iguales: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ y $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Esto permite calcular un vértice que falta igualando componentes.

El vector nulo $0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ es el desplazamiento que no mueve nada ($\overrightarrow{AA}$).

El vector de posición de un punto $P$ es el que va del origen $O$ hasta $P$, $\overrightarrow{OP}$. Sus componentes coinciden con las coordenadas de $P$: si $P(3,-2)$, entonces $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$. Esto es útil porque $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$, que es lo mismo que «extremo menos origen».

Módulo de un vector

El módulo de $\mathbf{u}$, que se escribe $|\mathbf{u}|$, es la longitud de su flecha. Las dos componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la flecha, así que se aplica el teorema de Pitágoras.

El módulo no es negativo y vale $0$ solo para el vector nulo. Un vector con $|\mathbf{u}|=1$ se llama unitario. Para obtener uno que apunte en la misma dirección y sentido que $\mathbf{u}\ne 0$, se divide entre su módulo; se suele escribir $\hat{\mathbf{u}}$:

$$\hat{\mathbf{u}}=\frac{1}{|\mathbf{u}|}\mathbf{u}$$

Con $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\end{array}\right)$ el módulo es $\sqrt{36+64}=10$, y el unitario es $\left(\begin{array}{c}0,6\\ 0,8\end{array}\right)$.

Suma, resta y producto por un escalar

Estas operaciones se hacen componente a componente, y cada una tiene una lectura geométrica.

• Suma. Es hacer un desplazamiento y después el otro. Si dibujas $\mathbf{v}$ empezando donde termina $\mathbf{u}$, la flecha que va del principio al final es $\mathbf{u}+\mathbf{v}$. Equivale a la diagonal del paralelogramo que forman ambos vectores dibujados desde el mismo punto (figura).
• Resta. $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})$: se suma el opuesto.
• Producto por un escalar. Cambia la longitud sin cambiar la dirección: $|k\mathbf{u}|=|k||\mathbf{u}|$. Si $k>0$ el sentido es el de $\mathbf{u}$; si $k<0$ es el contrario. Con $k=0$ se obtiene el vector nulo.

Estas operaciones cumplen las propiedades habituales: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$, $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$ y $k(\mathbf{u}+\mathbf{v})=k\mathbf{u}+k\mathbf{v}$. También hay una regla muy útil con puntos:

Vectores paralelos

Dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo del otro. Es decir, tienen la misma dirección (el sentido puede ser el contrario).

La forma sin denominadores es preferible porque también funciona cuando alguna componente vale $0$. Si $k>0$ los vectores tienen el mismo sentido y si $k<0$, sentidos contrarios.

Esto sirve para comprobar si tres puntos $A$, $B$ y $C$ están alineados: lo están exactamente cuando $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ son paralelos (comparten el punto $A$, así que están en la misma recta). Y sirve para fijar un valor desconocido: si dos vectores son paralelos y uno de ellos tiene un parámetro, la proporcionalidad da una ecuación para ese parámetro.

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ de $AB$ está a medio camino, así que $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Igualando componentes se obtiene una fórmula sencilla.

Más en general, el punto $P$ del segmento $AB$ con $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ (con $0\le t\le 1$) se calcula como $P=A+t\overrightarrow{AB}$. Con $t=\frac{1}{2}$ sale el punto medio, y con $t=\frac{1}{3}$ el primero de los puntos que dividen el segmento en tres partes iguales.

Vectores base: $\mathbf{i}$ y $\mathbf{j}$

Los vectores unitarios que apuntan en el sentido de los ejes son

$$\mathbf{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\mathbf{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$

Cualquier vector del plano se puede escribir con ellos, porque sus componentes dicen cuántos pasos hay que dar en cada eje:

Por ejemplo, $\left(\begin{array}{c}3\\ -5\end{array}\right)=3\mathbf{i}-5\mathbf{j}$. En los problemas del IB se pasa de una notación a la otra sin avisar, y las operaciones se hacen igual: $(2\mathbf{i}+\mathbf{j})+(\mathbf{i}-4\mathbf{j})=3\mathbf{i}-3\mathbf{j}$.