IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el plano: vectores y rectas · Apartado 3 de 3

Ecuaciones de la recta, intersecciones y distancias

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una recta del plano se describe con un punto y una dirección, y de esa idea salen cuatro formas de escribirla: vectorial, paramétrica, continua y cartesiana. Saber pasar de una a otra, decidir si dos rectas se cortan, medir la distancia de un punto a una recta y aplicarlo a objetos que se mueven con velocidad constante es material habitual de la Prueba 1 y de la Prueba 2.

Ecuación vectorial de una recta

Una recta queda fijada por un punto que pertenece a ella y por una dirección. El punto se da con su vector de posición $a$ (el vector que va del origen $O$ al punto $A$ ), y la dirección con un vector director $b$ , que es cualquier vector no nulo paralelo a la recta. Para llegar a un punto cualquiera $R$ de la recta, se sale de $A$ y se avanza una cierta cantidad de veces el vector $b$ (hacia delante o hacia atrás).

Recta que pasa por A con vector director b; un punto R cualquiera tiene vector de posición r igual a a más lambda por b

En el plano se escribe con componentes:

$(x y) = (a_{1} a_{2}) + λ (b_{1} b_{2})$

La ecuación vectorial no es única: sirve cualquier punto de la recta como $a$ y cualquier múltiplo no nulo de $b$ como vector director. Dos ecuaciones que parecen distintas pueden describir la misma recta.

Si se conocen dos puntos $A$ y $B$ de la recta, un vector director es $A B = b - a$ (los vectores del apartado anterior: final menos inicio), y se toma $A$ como punto.

Para saber si un punto $P$ está en la recta, se sustituyen sus coordenadas y se comprueba que el mismo $λ$ cumple las dos componentes.

Ecuaciones paramétricas, continua y cartesiana

Si se separa la ecuación vectorial componente a componente, se obtienen las ecuaciones paramétricas:

${x y = a_{1} + λ b_{1} = a_{2} + λ b_{2}$

Si $b_{1} \neq = 0$ y $b_{2} \neq = 0$ , se despeja $λ$ en las dos y se igualan: es la ecuación continua,

$\frac{x - a _{1}}{b _{1}} = \frac{y - a _{2}}{b _{2}}$

Y al quitar denominadores y ordenar queda la ecuación cartesiana (o general) $a x + b y + d = 0$ . Hay una relación útil entre sus coeficientes y los de la recta.

La intuición: los puntos $(x, y)$ de la recta cumplen que $(x, y) \cdot (a, b)$ vale siempre $- d$ , es decir, su proyección sobre la dirección de $(a, b)$ es constante. Por eso la recta es perpendicular a ese vector.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas con vectores directores $b_{1}$ y $b_{2}$ y pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ se relacionan así.

La condición con el producto escalar viene del apartado de producto escalar: dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es $0$ . En pendientes sale de ahí: con $b_{1} = (1, m_{1})$ y $b_{2} = (1, m_{2})$ , $b_{1} \cdot b_{2} = 1 + m_{1} m_{2} = 0$ .

Un truco para escribir rectas relacionadas directamente en forma cartesiana: la recta $a x + b y + d = 0$ es paralela a todas las de la forma $a x + b y + d^{'} = 0$ (solo cambia el término independiente), y es perpendicular a las de la forma $b x - a y + d^{'} = 0$ .

Intersección de dos rectas

En el plano, dos rectas pueden:

cortarse en un único punto: directores no proporcionales;
ser paralelas distintas: directores proporcionales y ningún punto común;
ser coincidentes: directores proporcionales y un punto común.

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto $P$ a una recta $ℓ$ es la menor de las distancias de $P$ a los puntos de $ℓ$ . Se alcanza en el pie $Q$ de la perpendicular a $ℓ$ trazada por $P$ : cualquier otro punto de la recta queda más lejos, porque la distancia $P Q$ es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia a ese otro punto.

Con la ecuación cartesiana hay una fórmula directa. Para deducirla, sea $F$ un punto cualquiera de la recta $a x + b y + d = 0$ y $n = (a, b)$ su vector normal. La distancia de $P$ es la longitud de la proyección de $F P$ sobre la dirección de $n$ , es decir, $\frac{∣ F P \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ . Como $F$ cumple $a x_{F} + b y_{F} = - d$ , el numerador es $∣ a x_{0} + b y_{0} + d ∣$ .

La distancia entre dos rectas paralelas se obtiene tomando un punto cualquiera de una y calculando su distancia a la otra. Si las rectas se cortan, la distancia entre ellas es $0$ .

Aplicación: movimiento con velocidad constante

Un objeto que se mueve en línea recta con velocidad constante describe una recta, y la ecuación vectorial la recoge con el tiempo como parámetro:

Aquí el vector director $v$ no es cualquiera: su módulo es la rapidez, y $t$ ya no es un parámetro libre sino el tiempo real (en horas, segundos…, según las unidades del enunciado). Con la rapidez $∣ v ∣$ en unidades de longitud por unidad de tiempo, el objeto recorre $∣ v ∣ t$ unidades de longitud en un tiempo $t$ .

Tres preguntas típicas:

Posición en un instante: sustituir $t$ .
¿Pasa por un punto? Resolver $r_{0} + t v = punto$ ; el $t$ debe ser el mismo en las dos componentes y además $t \geq 0$ .
¿Se encuentran dos objetos? Hace falta estar en el mismo sitio en el mismo instante: $r_{A} (t) = r_{B} (t)$ , con el mismo $t$ en los dos. Las trayectorias (las rectas) pueden cortarse aunque los objetos no coincidan, porque pasan por el punto de corte en instantes distintos.

Para la distancia mínima entre dos objetos, se estudia el vector que va de uno al otro,

$d (t) = r_{B} (t) - r_{A} (t) = (r_{0 B} - r_{0 A}) + t (v_{B} - v_{A})$

que también es una recta (en el tiempo) con vector director $v_{B} - v_{A}$ . Hay dos caminos:

escribir $∣ d (t) ∣^{2}$ como función cuadrática de $t$ y buscar su mínimo (el vértice de la parábola, o la derivada);
usar que el mínimo se da cuando $d (t)$ es perpendicular a $v_{B} - v_{A}$ , es decir, $d (t) \cdot (v_{B} - v_{A}) = 0$ .

En ambos casos, si el mínimo sale en un instante $t < 0$ , no es válido: la menor distancia en el intervalo $t \geq 0$ es la del instante inicial.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Recta por dos puntos

Se consideran los puntos $A (1, 3)$ y $B (5, 1)$ .

a) Halla un vector director de la recta $A B$ cuyas componentes sean enteros primos entre sí y cuya primera componente sea positiva.

b) Halla la ecuación cartesiana de la recta $A B$ en la forma $a x + b y + d = 0$ , con $a, b, d$ enteros primos entre sí y $a > 0$ .

c) El punto $C (- 3, k)$ está en la recta $A B$ . Halla $k$ .

Solución

a) $A B = B - A = (4 - 2)$ . Dividiendo entre $2$ se obtiene el vector director $(2 - 1)$ . Una ecuación vectorial es, por ejemplo,

$r = (13) + λ (2 - 1)$

b) Un vector normal es $(1, 2)$ (se intercambian las componentes del director y se cambia el signo de una). La ecuación es $x + 2 y = d^{'}$ , y como $A$ está en la recta, $d^{'} = 1 + 2 \cdot 3 = 7$ :

$x + 2 y - 7 = 0$

Comprobación con $B$ : $5 + 2 \cdot 1 - 7 = 0$ .

c) Se sustituye $C$ : $- 3 + 2 k - 7 = 0$ , luego $2 k = 10$ y $k = 5$ .

Ejemplo 2 Medio

Una perpendicular y su punto de corte

La recta $ℓ$ tiene ecuación vectorial $r = (- 1 4) + λ (3 - 2)$ . Se considera el punto $P (0, - 1)$ .

a) Halla la ecuación cartesiana de $ℓ$ en la forma $a x + b y + d = 0$ , con $a, b, d$ enteros primos entre sí y $a > 0$ .

b) Halla la ecuación cartesiana, con el mismo criterio, de la recta $m$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $ℓ$ .

c) Halla el punto $Q$ en el que se cortan $ℓ$ y $m$ .

d) Calcula la distancia de $P$ a $ℓ$ .

Solución

a) Con $b = (3, - 2)$ un vector normal es $(2, 3)$ , así que la ecuación es $2 x + 3 y = d^{'}$ . Con el punto $(- 1, 4)$ : $d^{'} = - 2 + 12 = 10$ .

$2 x + 3 y - 10 = 0$

b) La recta $m$ tiene como vector director un vector normal de $ℓ$ , $(2, 3)$ (se comprueba: $(3, - 2) \cdot (2, 3) = 6 - 6 = 0$ ). Su vector normal es entonces $(3, - 2)$ : $3 x - 2 y = d^{'}$ . Con $P (0, - 1)$ : $d^{'} = 0 + 2 = 2$ .

$3 x - 2 y - 2 = 0$

c) Se resuelve el sistema $2 x + 3 y = 10$ , $3 x - 2 y = 2$ . Multiplicando la primera por $2$ y la segunda por $3$ y sumando: $4 x + 6 y + 9 x - 6 y = 20 + 6$ , es decir, $13 x = 26$ y $x = 2$ . Entonces $3 y = 10 - 4 = 6$ , $y = 2$ . Por tanto $Q (2, 2)$ . Comprobación en $m$ : $6 - 4 - 2 = 0$ .

d) Como $Q$ es el pie de la perpendicular por $P$ , la distancia es

$∣ P Q ∣ = ∣(2, 3)∣ = 13$

Con la fórmula: $\frac{∣ 2 \cdot 0 + 3 \cdot ( - 1 ) - 10 ∣}{2 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{13}{13} = 13$ . Los dos métodos coinciden.

Ejemplo 3 Difícil

Dos barcos: ¿se encuentran? ¿cuánto se acercan?

Dos barcos, $A$ y $B$ , navegan en línea recta con velocidad constante. Las posiciones, en kilómetros respecto a un faro situado en el origen, $t$ horas después del mediodía, son

$r_{A} = (12) + t (21) y r_{B} = (11 - 2) + t (- 2 2)$

a) Calcula la rapidez de $B$ , en km/h.

b) Halla el punto en el que se cortan las trayectorias de los dos barcos.

c) Halla el instante en que $A$ pasa por ese punto y el instante en que $B$ pasa por él, y concluye si los barcos chocan.

d) Halla el instante en que la distancia entre los barcos es mínima y el valor exacto de esa distancia mínima.

Solución

a) La velocidad de $B$ es $(- 2, 2)$ , así que la rapidez es $(- 2)^{2} + 2^{2} = 8 = 22$ km/h.

b) Para las trayectorias se usan parámetros distintos: $s$ para $A$ y $u$ para $B$ .

${1 + 2 s 2 + s = 11 - 2 u = - 2 + 2 u$

De la segunda, $s = 2 u - 4$ . En la primera: $1 + 4 u - 8 = 11 - 2 u$ , luego $6 u = 18$ y $u = 3$ , $s = 2$ . El punto es $r_{A} (2) = (5, 4)$ . Comprobación con $B$ : $(11 - 6, - 2 + 6) = (5, 4)$ .

c) Con los valores anteriores, $A$ pasa por $(5, 4)$ en $t = 2$ y $B$ en $t = 3$ . Los instantes son distintos, así que los barcos no coinciden en ese punto. De hecho, no se encuentran nunca: $r_{A} (t) = r_{B} (t)$ exige el mismo $t$ en las dos componentes, y el sistema $1 + 2 t = 11 - 2 t$ , $2 + t = - 2 + 2 t$ da $t = \frac{5}{2}$ y $t = 4$ , que son incompatibles. Las trayectorias se cruzan, pero no chocan.

d) El vector de $A$ a $B$ es

$d (t) = r_{B} - r_{A} = (10 - 4 t t - 4)$

La distancia mínima se da cuando $d (t)$ es perpendicular a la velocidad relativa $v_{B} - v_{A} = (- 4, 1)$ :

$(10 - 4 t) (- 4) + (t - 4) \cdot 1 = 0 ⟹ 17 t = 44 ⟹ t = \frac{44}{17} h \approx 2, 59 h$

Para el valor de la distancia, $∣ d ∣^{2} = (10 - 4 t)^{2} + (t - 4)^{2} = 17 t^{2} - 88 t + 116$ . Con $t = \frac{44}{17}$ :

$∣ d ∣^{2} = 116 - \frac{4 4 ^{2}}{17} = \frac{1972 - 1936}{17} = \frac{36}{17} ⟹ ∣ d ∣ = \frac{6}{17} = \frac{6 17}{17} km \approx 1, 46 km$

(La parábola $17 t^{2} - 88 t + 116$ tiene su vértice en $t = \frac{88}{34} = \frac{44}{17}$ , lo que confirma el instante.)

En el examen: lo que puntúa es usar parámetros distintos para cruzar las trayectorias y, después, comparar los instantes: dar el punto de corte como «punto de encuentro» sin ese paso es el error clásico. Para la distancia, plantea $d (t)$ y escribe qué condición impones (perpendicular a la velocidad relativa, o mínimo de $∣ d ∣^{2}$ ).

Errores típicos

Resumen

Recta: $r = a + λ b$ (punto $A$ de vector de posición $a$ y vector director $b$ ). No es única: sirve cualquier punto y cualquier múltiplo de $b$ .
Paramétricas $x = a_{1} + λ b_{1}$ , $y = a_{2} + λ b_{2}$ ; continua $\frac{x - a _{1}}{b _{1}} = \frac{y - a _{2}}{b _{2}}$ ; cartesiana $a x + b y + d = 0$ , con normal $(a, b)$ y director $(b, - a)$ , pendiente $m = - \frac{a}{b}$ .
Paralelas: directores proporcionales (o $m_{1} = m_{2}$ ). Perpendiculares: $b_{1} \cdot b_{2} = 0$ (o $m_{1} m_{2} = - 1$ ).
Intersección: iguala con parámetros distintos ( $λ$ , $μ$ ) y resuelve el sistema; directores proporcionales indican paralelas o coincidentes.
Distancia de $P (x_{0}, y_{0})$ a $a x + b y + d = 0$ : $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , o la longitud $P Q$ con $Q$ el pie de la perpendicular.
Movimiento: $r = r_{0} + t v$ ; rapidez $∣ v ∣$ . Dos objetos se encuentran si coinciden con el mismo $t$ ; la distancia mínima sale de $d (t) \cdot (v_{B} - v_{A}) = 0$ .

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