Ejercicios IB del tema 5

Considere los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ tales que $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}12\\ -5\end{array}\right)$ y $|\mathbf{b}|=15$.

a) Calcule el posible rango de valores de $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$. Considere el vector $\mathbf{p}$ tal que $\mathbf{p}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.

b) Sabiendo que $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$ es mínimo, calcule $\mathbf{p}$. Considere el vector $\mathbf{q}$ tal que $\mathbf{q}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, donde $x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$.

c) Calcule $\mathbf{q}$ tal que $|\mathbf{q}|=|\mathbf{b}|$ y $\mathbf{q}$ es perpendicular a $\mathbf{a}$.

Los vectores de posición de los puntos $A$, $B$ y $C$ con relación al origen $O$ son, respectivamente, $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\mathbf{c}$. La siguiente figura muestra el triángulo $ABC$ y los puntos $M$, $R$, $S$ y $T$. $M$ es el punto medio de $[AC]$. $R$ es un punto perteneciente a $[AB]$ tal que $\overrightarrow{AR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. $S$ es un punto perteneciente a $[AC]$ tal que $\overrightarrow{AS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $T$ es un punto perteneciente a $[RS]$ tal que $\overrightarrow{RT}=\frac{2}{3}\overrightarrow{RS}$.

a) (i) Exprese $\overrightarrow{AM}$ en función de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{c}$.

(ii) A partir de lo anterior, muestre que $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\mathbf{a}-\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{c}$

b) (i) Exprese $\overrightarrow{RA}$ en función de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.

(ii) Muestre que $\overrightarrow{RT}=-\frac{2}{9}\mathbf{a}-\frac{2}{9}\mathbf{b}+\frac{4}{9}\mathbf{c}$

c) Demuestre que $T$ pertenece a $[BM]$.

En el diagrama que se muestra $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ y $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$. $C$ es el punto medio de $[OA]$ y $\overrightarrow{OF}=\frac{1}{6}\overrightarrow{FB}$.

a) Calcule, en función de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$

(i) $\overrightarrow{OF}$

(ii) $\overrightarrow{AF}$ Sabemos también que $\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AF}$ y $\overrightarrow{CD}=\mu \overrightarrow{CB}$, donde $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.

b) Calcule una expresión para

(i) $\overrightarrow{OD}$ en función de $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\lambda$.

(ii) $\overrightarrow{OD}$ en función de $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\mu$.

c) Muestre que $\mu =\frac{1}{13}$ y calcule el valor de $\lambda$.

d) Deduzca una expresión para $\overrightarrow{CD}$ sólo en función de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.

e) Sabiendo que el área $△OAB=k(\text{Aˊrea }△CAD)$, calcule el valor de $k$.

Dados dos vectores no nulos $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ tales que $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$, halle el valor de $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.

Las coordenadas de $P$ y $Q$ son respectivamente $(3,-1)$ y $(\lambda ,-4-\lambda )$ donde $\lambda$ es una constante. Si $O$ es el origen, calcule todos los valores de $\lambda$ para los cuales $\overrightarrow{OP}$ es perpendicular a $\overrightarrow{OQ}$.

Considere los vectores $\mathbf{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}$ y $\mathbf{v}=\left(\cos \frac{1}{n}\right)\mathbf{i}+\left(\sin \frac{1}{n}\right)\mathbf{j}$, donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Sea $\theta$ el ángulo que forman $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$. Halle una expresión que dé $\cos \theta$ en función de $n$.

En la siguiente figura, $[AB]$ representa el diámetro del círculo con centro en $O$. El punto $C$ está situado sobre la circunferencia del círculo. Sean $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ y $\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$.

a) Halle una expresión para $\overrightarrow{CB}$ y otra para $\overrightarrow{AC}$, en función de $\mathbf{b}$ y de $\mathbf{c}$.

b) A partir de lo anterior, demuestre que $\widehat{ACB}$ es un ángulo recto.

Sean los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, tales que $\mathbf{a}=(3\cos \theta +6)\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ y $\mathbf{b}=(\cos \theta -2)\mathbf{i}+(1+\sin \theta )\mathbf{j}$. Sabiendo que $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son perpendiculares,

a) Compruebe que $3{\sin }^2\theta -7\sin \theta +2=0$.

b) Halle el menor valor positivo posible de $\theta$.

$PQRS$ es un rombo. Sabiendo que $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{a}$ y $\overrightarrow{QR}=\mathbf{b}$,

a) exprese los vectores $\overrightarrow{PR}$ y $\overrightarrow{QS}$ en función de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$.

b) a partir de lo anterior, muestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Sabiendo que $\mathbf{a}=2\sin \theta \mathbf{i}+(1-\sin \theta )\mathbf{j}$, halle el valor del ángulo $\theta$, de forma que $\mathbf{a}$ sea perpendicular a la recta $x+y=1$.

Tres vectores no nulos distintos entre sí vienen dados por $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ y $\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$. Si $\overrightarrow{OA}$ es perpendicular a $\overrightarrow{BC}$ y $\overrightarrow{OB}$ es perpendicular a $\overrightarrow{CA}$, compruebe que $\overrightarrow{OC}$ es perpendicular a $\overrightarrow{AB}$.

$OACB$ es un paralelogramo en el que $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ y $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$, donde $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son vectores no nulos.

a) Muestre que

(i) $|\overrightarrow{OC}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$

(ii) $|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$

b) Sabiendo que $|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{AB}|$, demuestre que $OACB$ es un rectángulo.

$O$, $A$, $B$ y $C$ son puntos distintos tales que $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ y $\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$. Sabiendo que $\mathbf{c}$ es perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{b}$ es perpendicular a $\overrightarrow{AC}$, pruebe que $\mathbf{a}$ es perpendicular a $\overrightarrow{BC}$.

Sea $\alpha$ el ángulo entre los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, donde $\mathbf{a}=(\cos \theta )\mathbf{i}+(\sin \theta )\mathbf{j}$, $\mathbf{b}=(\sin \theta )\mathbf{i}+(\cos \theta )\mathbf{j}$ y $0<\theta <\frac{\pi }{4}$. Exprese $\alpha$ en función de $\theta$.

Sean los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, tales que $\mathbf{a}=(3\cos \theta +6)\mathbf{i}+7\mathbf{j}$ y $\mathbf{b}=(\cos \theta -2)\mathbf{i}+(1+\sin \theta )\mathbf{j}$. Sabiendo que $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ son perpendiculares,

a) compruebe que $3{\sin }^2\theta -7\sin \theta +2=0$.

b) halle el menor valor positivo posible de $\theta$.

El siguiente diagrama muestra las rectas $x-2y-4=0$, $x+y=5$ y el punto $P(1,1)$. Se dibuja una recta desde $P$ que corta a $x-2y-4=0$ en $Q$, y a $x+y=5$ en $R$, de tal modo que $P$ es el punto medio de $[QR]$. Halle el valor exacto de las coordenadas de $Q$ y de $R$.

¿Para qué valores de $k$ la recta $y=kx+1$ es tangente al círculo con centro $(5,1)$ y radio $3$?

Considere los puntos $A(-2,20)$, $B(4,6)$ y $C(-14,12)$. La recta $L$ pasa por el punto $A$ y es perpendicular a $[BC]$.

a) Calcule la ecuación de $L$. La recta $L$ pasa por el punto $(k,2)$.

b) Calcule el valor de $k$.

Ed camina en línea recta desde el punto $P(-1,4)$ hasta el punto $Q(4,16)$ con velocidad constante. Ed sale del punto $P$ en el instante $t=0$ y llega al punto $Q$ en el instante $t=3$, donde $t$ se mide en horas. Sabiendo que en el instante $t$ el vector de posición de Ed respecto al origen se puede expresar en la forma $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{b}$,

a) halle los vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$. Roderick se encuentra en el punto $C(11,9)$. Roderick quiere hacerle señas a Ed mientras este va caminando de $P$ a $Q$. Roderick decide hacer señas cuando Ed pase por el punto más cercano a $C$.

b) Halle el instante en el que Roderick hace señas a Ed.

El puerto $A$ se define como el origen de un conjunto de ejes de coordenadas y el puerto $B$ se localiza en el punto $(70,30)$, donde las distancias se miden en kilómetros. Un barco $S_1$ sale desde el puerto $A$ a las 10:00 en línea recta y su posición $t$ horas después de las 10:00 viene dada por $\mathbf{r}=t\left(\begin{array}{c}10\\ 20\end{array}\right)$. Una lancha rápida $S_2$ es capaz de conseguir tres veces la velocidad de $S_1$ y alcanzar a $S_1$ viajando la distancia más corta posible. ¿Cuál es la última vez que $S_2$ puede salir del puerto $B$?