IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 6 de 7

Posiciones relativas e intersecciones de rectas y planos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En el espacio, dos rectas pueden cruzarse sin cortarse, y tres planos pueden dejar sin solución un sistema aunque no haya dos paralelos. Para decidir cada caso basta mirar los vectores directores o normales y resolver un sistema pequeño; el resultado es un punto, una recta, un plano o el conjunto vacío. Es material habitual de la Prueba 1 y, con parámetros, de las preguntas largas de la Prueba 2.

Dos rectas en el espacio

Sean $r : r = a_{1} + λ d_{1}$ y $s : r = a_{2} + μ d_{2}$ . A diferencia del plano, aquí hay cuatro posibilidades, porque dos rectas no paralelas pueden no tener ningún punto común.

Vectores directores	Punto común	Posición
proporcionales	todos los puntos	coincidentes (la misma recta)
proporcionales	ninguno	paralelas distintas
no proporcionales	uno	secantes (se cortan en un punto)
no proporcionales	ninguno	se cruzan (rectas alabeadas)

Dos rectas que se cruzan no son paralelas ni se tocan: no están en un mismo plano. Esto no ocurre en $R^{2}$ .

La tercera ecuación es la que marca la diferencia respecto al plano: en $R^{2}$ siempre hay dos ecuaciones para dos incógnitas y, si los directores no son proporcionales, el corte está garantizado. En $R^{3}$ hay que verificarlo.

Recta y plano

Una recta $r : r = a + λ d$ y un plano $π : a x + b y + cz = e$ tienen tres posiciones posibles: la recta corta al plano en un punto, es paralela a él (sin puntos comunes) o está contenida en él.

El método más rápido es sustituir las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación del plano. Queda una ecuación en $λ$ de la forma $p λ = q$ :

La intuición: $p = d \cdot n$ con $n = (a, b, c)$ el vector normal del plano. Si $d \cdot n = 0$ , la dirección de la recta es perpendicular a la normal, es decir, paralela al plano; entonces solo queda saber si empieza dentro o fuera. Basta, en ese caso, mirar si el punto $a$ cumple la ecuación del plano.

Dos planos

Dos planos $π_{1} : n_{1} \cdot r = e_{1}$ y $π_{2} : n_{2} \cdot r = e_{2}$ se comparan por sus vectores normales:

$n_{1}$ y $n_{2}$ no proporcionales: los planos se cortan en una recta.
$n_{1}$ y $n_{2}$ proporcionales: los planos son paralelos o coincidentes. Si la proporcionalidad se extiende al término independiente ( $e_{2} = k e_{1}$ con la misma constante $k$ ), son coincidentes; si no, paralelos distintos.

Dos planos no pueden cortarse en un solo punto: o comparten una recta entera, o un plano entero, o nada.

Recta de intersección de dos planos

Cuando los planos se cortan en una recta, esa recta tiene que escribirse con un punto y un vector director. Hay dos caminos.

Tres planos y los sistemas lineales

Tres planos $π_{i} : a_{i} x + b_{i} y + c_{i} z = e_{i}$ forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, exactamente el que se estudia en ecuaciones y sistemas lineales del tema 7. Resolverlo por eliminación gaussiana da la posición relativa: un punto común (sistema compatible determinado), una recta o un plano común (compatible indeterminado) o ningún punto común (incompatible).

En términos de la matriz de coeficientes $M$ (las normales por filas) y de la matriz ampliada $M^{*}$ (con una columna más de términos independientes), los casos son:

Rango de $M$	Rango de $M^{*}$	Sistema	Posición de los tres planos
3	3	compatible determinado	se cortan en un punto
2	2	compatible indeterminado, una variable libre	comparten una recta (tres planos distintos por una recta, o dos coincidentes y el tercero los corta)
2	3	incompatible	sin punto común: forman un «prisma» (se cortan dos a dos en rectas paralelas), o dos son paralelos y el tercero los corta
1	1	compatible indeterminado, dos variables libres	los tres planos coinciden
1	2	incompatible	planos paralelos (o dos coincidentes y uno paralelo a ellos)

Dentro de los casos con rango 2, qué situación concreta es depende de si hay normales proporcionales entre sí. Si ninguna pareja de normales es proporcional y el sistema es incompatible, estás ante el prisma triangular; si hay una pareja proporcional, son dos planos paralelos cortados por un tercero.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una recta frente a tres planos

Se considera la recta $r : r = 120 + t 21 - 1$ y los planos

$π_{1} : 2 x - y + 3 z = 0$ , $π_{2} : 2 x - y + 3 z = 5$ , $π_{3} : x + 2 y - z = 7$ .

a) Estudia la posición de $r$ respecto de $π_{1}$ (responde «contenida», «paralela» o «corta»).

b) Estudia la posición de $r$ respecto de $π_{2}$ (con las mismas tres palabras).

c) Halla el punto en el que $r$ corta a $π_{3}$ .

Solución

Las coordenadas de un punto de la recta son $(1 + 2 t, 2 + t, - t)$ .

a) Al sustituir en $π_{1}$ :

$2 (1 + 2 t) - (2 + t) + 3 (- t) = 0 ⟹ 2 + 4 t - 2 - t - 3 t = 0 ⟹ 0 = 0$

Todo $t$ sirve: la recta está contenida en $π_{1}$ .

b) En $π_{2}$ se obtiene el mismo primer miembro, que vale $0$ para todo $t$ , y el segundo es $5$ : queda $0 = 5$ . No hay solución: la recta es paralela a $π_{2}$ .

c) Sustituyendo en $π_{3}$ :

$(1 + 2 t) + 2 (2 + t) - (- t) = 7 ⟹ 5 + 5 t = 7 ⟹ t = \frac{2}{5}$

El punto es $(1 + \frac{4}{5}, 2 + \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}) = (\frac{9}{5}, \frac{12}{5}, - \frac{2}{5})$ .

Ejemplo 2 Medio

Rectas que se cortan o se cruzan según un parámetro

Se consideran las rectas

$r : r = 102 + λ 12 - 1$ y $s_{k} : r = 03 k + μ 2 - 1 1$ , donde $k \in R$ .

a) Halla el valor de $k$ para el que $r$ y $s_{k}$ se cortan.

b) Para ese valor de $k$ , halla el punto de corte.

c) Para $k = 3$ , indica la posición relativa de las rectas (responde «secantes», «paralelas», «coincidentes» o «se cruzan»).

Solución

Los directores $(1, 2, - 1)$ y $(2, - 1, 1)$ no son proporcionales (los cocientes de las primeras componentes y de las segundas son $\frac{1}{2}$ y $- 2$ , distintos), así que las rectas nunca son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

a) Se iguala con parámetros distintos:

$⎩ ⎨ ⎧ 1 + λ 2 λ 2 - λ = 2 μ = 3 - μ = k + μ$

De las dos primeras: $λ = 2 μ - 1$ , y sustituyendo en la segunda, $4 μ - 2 = 3 - μ$ , luego $μ = 1$ y $λ = 1$ . La tercera exige $2 - 1 = k + 1$ , es decir, $k = 0$ .

b) Con $λ = 1$ en $r$ : $(1 + 1, 2, 2 - 1) = (2, 2, 1)$ . Comprobación con $s_{0}$ y $μ = 1$ : $(2, 3 - 1, 0 + 1) = (2, 2, 1)$ .

c) Para $k = 3$ , los valores $λ = 1$ y $μ = 1$ (que no dependen de $k$ , porque salen de las dos primeras ecuaciones) hacen que la tercera sea $1 = 3 + 1 = 4$ , que es falso. No hay punto común y los directores no son proporcionales: las rectas se cruzan.

Ejemplo 3 Difícil

Tres planos con parámetros y su recta común

Se consideran los planos

$π_{1} : x + y + z = 1$ , $π_{2} : x + 2 y + 3 z = 2$ , $π_{3} : 2 x + 3 y + a z = b$ , con $a, b \in R$ .

a) Halla una ecuación paramétrica de la recta de intersección de $π_{1}$ y $π_{2}$ , usando el parámetro $t$ de forma que la coordenada $x$ valga $t$ . Expresa la respuesta como tupla $(x, y, z)$ en función de $t$ .

b) Discute, según los valores de $a$ y $b$ , la posición de los tres planos. Responde con las claves «a=4 y b=3», «a=4 y b distinto de 3» y «a distinto de 4», con valores «recta» (los tres comparten una recta), «sin punto comun» o «punto» (se cortan en un único punto).

c) Para $a = 1$ y $b = 0$ , halla el punto común de los tres planos.

Solución

a) Restando $π_{1}$ de $π_{2}$ : $y + 2 z = 1$ , luego $y = 1 - 2 z$ . En $π_{1}$ : $x = 1 - y - z = 1 - (1 - 2 z) - z = z$ . Los planos no tienen normales proporcionales, $(1, 1, 1)$ y $(1, 2, 3)$ , así que se cortan en una recta. Con $x = t$ se tiene $z = t$ e $y = 1 - 2 t$ :

$(x, y, z) = (t, 1 - 2 t, t)$

Comprobación con el producto vectorial: $(1, 1, 1) \times (1, 2, 3) = (1, - 2, 1)$ , que es el vector director obtenido.

b) Los puntos comunes a los tres planos son los puntos de esa recta que además cumplen $π_{3}$ . Se sustituye $(t, 1 - 2 t, t)$ en $2 x + 3 y + a z = b$ :

$2 t + 3 (1 - 2 t) + a t = b ⟹ (a - 4) t = b - 3$

Si $a \neq = 4$ : hay un único $t$ , y los tres planos se cortan en un punto.
Si $a = 4$ y $b = 3$ : queda $0 = 0$ , vale cualquier $t$ . Los tres planos comparten la recta.
Si $a = 4$ y $b \neq = 3$ : queda $0 = b - 3 \neq = 0$ , sin solución. Sin punto común: como las normales no son proporcionales dos a dos, los planos forman un prisma.

c) Con $a = 1$ y $b = 0$ : $- 3 t = - 3$ , luego $t = 1$ y el punto es $(1, 1 - 2, 1) = (1, - 1, 1)$ . Se comprueba en $π_{3}$ : $2 - 3 + 1 = 0$ .

En el examen: puntúa tanto el planteamiento (eliminar o usar la recta de intersección) como separar los casos con las condiciones exactas sobre $a$ y $b$ . No olvides dar una descripción geométrica de cada caso (punto, recta, prisma) y comprobar el resultado numérico en la tercera ecuación.

Errores típicos

Resumen

Dos rectas: directores proporcionales (paralelas o coincidentes) o no (secantes o que se cruzan). Con directores no proporcionales, se igualan con $λ$ y $μ$ y la tercera ecuación decide entre corte y cruce.
Recta y plano: se sustituye la recta en el plano. Un valor de $t$ = punto de corte; $0 = q \neq = 0$ = paralela; $0 = 0$ = contenida.
Dos planos: normales no proporcionales = recta de intersección (director $n_{1} \times n_{2}$ ); proporcionales = paralelos o coincidentes.
Tres planos = sistema $3 \times 3$ : $rg (M) = rg (M^{*}) = 3$ punto; $rg (M) = rg (M^{*}) = 2$ recta; $rg (M) < rg (M^{*})$ sin punto común (prisma, o paralelos).
Con parámetros: se escalona, se localizan los valores en los que se anula el último coeficiente y se estudia cada caso, comprobando el resultado en la ecuación sobrante.

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