IB Análisis y Enfoques NS · Sistemas de ecuaciones lineales · Apartado 1 de 3

Ecuaciones y sistemas lineales

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez. Con tres incógnitas puede tener una única solución, infinitas o ninguna, y reconocer cuál de los tres casos tienes es la base de todo el tema. En el examen del IB lo necesitas para plantear problemas, expresar soluciones con parámetros y justificar qué ocurre cuando el sistema no tiene solución única.

La ecuación lineal con tres incógnitas

Una ecuación es lineal cuando cada incógnita aparece sola, elevada a 1 y sin multiplicarse por otra incógnita.

Por ejemplo, $4 x + y - 2 z = 9$ es lineal. En cambio, $x y + z = 1$ (producto de incógnitas) o $x^{2} + y + z = 0$ (una incógnita al cuadrado) no lo son.

Una solución es una tripleta de números $(x, y, z)$ que, al sustituir, hace cierta la igualdad. Resolver la ecuación es encontrar todas sus soluciones. Con una sola ecuación y tres incógnitas hay infinitas: eliges dos valores a tu gusto y el tercero queda determinado. Por ejemplo, en $4 x + y - 2 z = 9$ , con $x = 1$ e $y = 1$ resulta $z = - 2$ , y $(1, 1, - 2)$ es una solución, ya que $4 + 1 + 4 = 9$ .

Para describirlas todas a la vez se usa la solución general: se llaman $t$ y $s$ a las incógnitas que eliges libremente (los parámetros) y se despeja la tercera.

Para $4 x + y - 2 z = 9$ : con $y = t$ y $z = s$ , $x = \frac{9 - t + 2 s}{4}$ , y la solución general es $(\frac{9 - t + 2 s}{4}, t, s)$ con $t, s \in R$ . Dar valores a $t$ y a $s$ produce cada una de las soluciones concretas.

Sistemas de tres ecuaciones

Cuando los tres términos independientes son cero, el sistema es homogéneo.

La razón es inmediata: al sustituir $x = y = z = 0$ , cada lado izquierdo vale $0$ , que es justo el término independiente de cada ecuación.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones. Esta idea es la que permite simplificar un sistema sin cambiar su respuesta, y es lo que usa el método de Gauss.

Cuántas soluciones puede tener

Según el número de soluciones, un sistema se clasifica así:

Tipo	Abreviatura	Soluciones
Compatible determinado	SCD	Exactamente una
Compatible indeterminado	SCI	Infinitas (dependen de uno o más parámetros)
Incompatible	SI	Ninguna

«Compatible» significa que tiene solución; «determinado» que es única. Un sistema nunca tiene, por ejemplo, exactamente dos soluciones: o 0, o 1, o infinitas.

Dos sencillos criterios de reconocimiento, que el método de Gauss hace sistemáticos:

Si al combinar ecuaciones aparece una igualdad imposible como $0 = 3$ , el sistema es incompatible.
Si una ecuación sobra (es combinación de las otras) y queda alguna incógnita libre, hay infinitas soluciones y se expresan con parámetros.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Soluciones de una ecuación lineal

Considera la ecuación $2 x - y + 3 z = 7$ .

a) Halla el valor de $z$ para que $(2, - 3, z)$ sea solución.

b) Escribe la solución general, tomando $y = t$ y $z = s$ como parámetros.

Solución

a) Se sustituyen $x = 2$ e $y = - 3$ :

$2 \cdot 2 - (- 3) + 3 z = 7 \Rightarrow 7 + 3 z = 7 \Rightarrow z = 0$

Así, $(2, - 3, 0)$ es solución.

b) Con $y = t$ y $z = s$ , se despeja $x$ :

$2 x = 7 + t - 3 s \Rightarrow x = \frac{7 + t - 3 s}{2}$

La solución general es $(\frac{7 + t - 3 s}{2}, t, s)$ con $t, s \in R$ . Se comprueba con $t = - 3$ , $s = 0$ : $x = 2$ , que coincide con el apartado a).

Ejemplo 2 Medio

Tres sistemas, tres comportamientos

Clasifica cada sistema (SCD, SCI o SI) y, cuando tenga solución, resuélvelo.

a) $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z 2 x - y + z x + 2 y - z = 6 = 3 = 2$

b) $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z x - y + z 2 x + 2 z = 0 = 0 = 0$

c) $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z 2 x + 2 y + 2 z x - y = 1 = 5 = 0$

Solución

a) Sumando la primera y la tercera se elimina $z$ : $2 x + 3 y = 8$ . Sumando la segunda y la tercera también: $3 x + y = 5$ . De la segunda, $y = 5 - 3 x$ ; al sustituir en la primera, $2 x + 15 - 9 x = 8$ , luego $x = 1$ y $y = 2$ . De la primera ecuación del sistema, $z = 6 - 1 - 2 = 3$ . Se comprueba en las tres ecuaciones. La solución es única: SCD, $(1, 2, 3)$ .

b) Es homogéneo, así que tiene la solución trivial. Restando la segunda ecuación a la primera: $2 y = 0$ , luego $y = 0$ . Las ecuaciones primera y segunda quedan como $x + z = 0$ , y la tercera, $2 x + 2 z = 0$ , dice lo mismo. Sobra una ecuación y $z$ queda libre: con $z = t$ , $x = - t$ . Hay infinitas soluciones: SCI, $(- t, 0, t)$ con $t \in R$ .

c) Si a la segunda ecuación le restas el doble de la primera queda $0 = 3$ , algo imposible. No hay ninguna tripleta que cumpla ambas: SI.

Ejemplo 3 Difícil

Un sistema que sale de un problema

Una tienda compra $x$ camisetas, $y$ sudaderas y $z$ gorras. Compra 20 prendas en total y paga 270 euros. Cada camiseta cuesta 10 euros, cada sudadera 25 euros y cada gorra 5 euros.

a) Plantea el sistema que describe la situación con estas dos condiciones y exprésalo con $y = t$ como parámetro. ¿De qué tipo es?

b) Teniendo en cuenta que $x$ , $y$ , $z$ son números enteros no negativos, ¿cuántas compras distintas son posibles?

c) Se sabe además que hay 2 gorras menos que sudaderas. Halla $x$ , $y$ y $z$ .

Solución

a) Las dos condiciones dan:

${x + y + z 10 x + 25 y + 5 z = 20 = 270$

Dividiendo la segunda entre 5: $2 x + 5 y + z = 54$ . Restando la primera: $x + 4 y = 34$ , luego $x = 34 - 4 y$ . Al sustituir en la primera, $z = 20 - x - y = - 14 + 3 y$ . Con $y = t$ :

$(x, y, z) = (34 - 4 t, t, 3 t - 14)$

Hay dos ecuaciones y tres incógnitas, y ninguna contradicción: el sistema es compatible indeterminado.

b) Se exige $x \geq 0$ y $z \geq 0$ : $34 - 4 t \geq 0$ da $t \leq 8, 5$ y $3 t - 14 \geq 0$ da $t \geq 4, 67 \dots$ . Como $t$ es entero, $t \in {5, 6, 7, 8}$ : hay 4 compras posibles.

c) La condición nueva es $y - z = 2$ , es decir, $t - (3 t - 14) = 2$ , de donde $- 2 t + 14 = 2$ y $t = 6$ . Entonces $x = 34 - 24 = 10$ , $y = 6$ , $z = 4$ . Comprobación: $10 + 6 + 4 = 20$ prendas y $100 + 150 + 20 = 270$ euros.

En el examen: plantea el sistema escribiendo qué representa cada incógnita y, si la solución depende de un parámetro, nómbralo y di de qué tipo es el sistema. Después de obtener la solución general, comprueba las restricciones del contexto (enteros, valores no negativos): suelen valer puntos propios.

Errores típicos

Resumen

Ecuación lineal con tres incógnitas: $a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z = b$ . Sus soluciones son tripletas $(x, y, z)$ y hay infinitas; se describen con dos parámetros $t$ y $s$ .
Sistema $3 \times 3$ : tres ecuaciones lineales con coeficientes $a_{ij}$ y términos independientes $b_{i}$ . Una solución cumple las tres a la vez.
Sistema homogéneo ( $b_{1} = b_{2} = b_{3} = 0$ ): siempre compatible, con la solución trivial $(0, 0, 0)$ .
Clasificación: SCD (una solución), SCI (infinitas, con parámetros) y SI (ninguna). Nunca hay un número finito mayor que uno.
Una igualdad imposible como $0 = 3$ delata un sistema incompatible; una ecuación que sobra con incógnitas libres, un sistema indeterminado.
Geométricamente, cada ecuación es un plano y la clasificación describe cómo se cortan (se profundiza en el tema 8).
Con la CPG (Prueba 2) solo se obtiene la solución cuando es única; para los demás casos hay que razonar a mano, igual que en la Prueba 1.

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