Método de eliminación de Gauss

Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones. La idea del método es cambiar el sistema por otro equivalente cada vez más sencillo, hasta que la solución se lea casi sola.

Para no perder soluciones ni inventarlas, solo se permiten tres transformaciones. Las filas se nombran F1, F2, F3 (la primera, segunda y tercera ecuación).

La intuición: si dos igualdades son ciertas a la vez, también lo es su suma, y de la suma recuperas la original restando. Multiplicar por $0$ sí destruiría información (la ecuación quedaría $0=0$ sin importar nada), por eso está prohibido. Cuando una operación mezcla filas, la fila que cambia es la de la izquierda de la flecha, y la otra se queda como estaba.

Qué buscamos: la forma escalonada

El objetivo es que cada ecuación empiece con una incógnita más tarde que la anterior, de modo que los ceros formen una escalera:

$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z& =d_1\\ b_{2}y+c_{2}z& =d_2\\ c_{3}z& =d_3\end{array}$$

Para conseguirlo se trabaja columna a columna: primero se usa una ecuación con coeficiente de $x$ cómodo (conviene que sea $1$) para eliminar la $x$ de las otras dos; después se usa la segunda para eliminar la $y$ de la tercera.

Anota cada operación junto a la fila que cambia (por ejemplo, «$F2\to F2-2F1$»). En el IB los pasos con operaciones claras dan puntos de método aunque haya un error aritmético después.

Cómo se reconoce cada tipo en la forma escalonada

Una fila de la forma $0x+0y+0z=k$ (todos los coeficientes cero) resume las dos posibilidades extremas: es cierta para cualquier valor de las incógnitas solo si $k=0$.

Si aparece $0=k$ con $k\ne 0$ en cualquier fila, el sistema es incompatible, sin importar lo que digan las demás.

En el tercer caso hay menos ecuaciones útiles que incógnitas, así que alguna incógnita queda libre y se le asigna un parámetro. El número de parámetros depende de cuántas filas se anulan por completo:

• una fila $0=0$ (dos ecuaciones útiles): un parámetro, $t$. Las soluciones forman una recta de puntos $(x,y,z)$.
• dos filas $0=0$ (una sola ecuación útil): dos parámetros, $t$ y $s$. Las soluciones forman un plano.
• tres filas $0=0$: las tres incógnitas son libres (ocurre solo si todos los coeficientes y términos son cero).

En el sistema $3\times 3$ de este curso, el caso habitual en el examen es el de un parámetro.

Escritura abreviada con la matriz ampliada

Como las incógnitas solo marcan posiciones, se puede escribir el sistema sin ellas, con una tabla de coeficientes y una barra antes de los términos independientes. Las operaciones entre filas son idénticas:

$$\{\begin{array}{rl}x+2y-z& =3\\ 2x+y+z& =1\\ x-y+2z& =4\end{array}⟷\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& 1& 1& 1\\ 1& -1& 2& 4\end{array}\right)$$

Es solo una forma más rápida de escribir. La columna de $x$ guarda sus coeficientes, la de $y$ los suyos, la de $z$ los suyos, y lo que hay a la derecha de la barra son los términos independientes. Una fila $\left(000\mid k\right)$ equivale a $0=k$.

Para ver cómo funciona el procedimiento con los distintos tipos de sistema, usa los tres ejemplos siguientes. Para reconocer sistemas y su interpretación geométrica, repasa ecuaciones y sistemas lineales. Cuando aparezca una letra desconocida en los coeficientes, pasa a sistemas con parámetro.