IB Análisis y Enfoques NS · Sistemas de ecuaciones lineales · Apartado 3 de 3

Sistemas con un parámetro

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando un coeficiente o un término de un sistema depende de un parámetro $k$ , el sistema no se comporta igual para todos los valores de $k$ : casi siempre tiene una única solución, pero para uno o dos valores «especiales» puede tener infinitas o ninguna. Discutir el sistema es encontrar esos valores y decir qué ocurre en cada caso. Es una pregunta típica de la Prueba 1, y la base de los problemas con condiciones sobre los términos independientes.

Qué significa discutir un sistema

Un sistema con parámetro es una familia de sistemas, uno por cada valor de $k$ . Discutirlo consiste en repartir los valores de $k$ en casos y, en cada uno, clasificar el sistema (ver el método de Gauss):

Compatible determinado (SCD): una única solución.
Compatible indeterminado (SCI): infinitas soluciones, que se expresan con un parámetro $t$ .
Incompatible (SI): ninguna solución.

Para no confundir los dos papeles, usaremos $k$ (o $a$ ) para el parámetro del sistema y $t$ para el parámetro de la solución cuando el sistema es indeterminado.

Escalonar sin dividir por el parámetro

Método · Discutir un sistema 3×3 con un parámetro

Escribe el sistema (o su matriz ampliada) y escalona con operaciones entre filas, sin dividir por ninguna expresión que contenga $k$ . Para anular un coeficiente combina filas: « $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ », « $F_{3} \to k F_{3} - 3 F_{2}$ », etc.
Intenta que las expresiones con $k$ queden en la última fila (si hace falta, cambia el orden de las filas o de las incógnitas).
Mira cada pivote, es decir, el primer coeficiente no nulo de cada fila, y resuelve la ecuación «pivote $= 0$ ». Los valores de $k$ que salgan son los casos especiales.
Caso general (el pivote no se anula): el sistema es SCD y se resuelve por sustitución hacia atrás. Ahora sí puedes dividir, porque sabes que no es cero.
Cada caso especial: sustituye ese valor en el sistema escalonado y mira la fila que se ha quedado sin incógnitas. Si queda $0 = 0$ y sobra una incógnita libre, es SCI; si queda $0 = c$ con $c \neq = 0$ , es SI.
Escribe la conclusión completa: todos los valores de $k$ y el tipo de sistema en cada uno.

La razón de no dividir es sencilla: dividir entre $k - 2$ solo es legal si $k \neq = 2$ , y justamente el caso $k = 2$ es el que se perdería. Multiplicar toda una fila por una expresión que puede valer $0$ tampoco es una operación segura, porque ese valor de $k$ borraría la fila. Por eso, si multiplicas una fila por una expresión en $k$ , hazlo solo cuando restes otra fila (como en $k F_{3} - 6 F_{2}$ ) y estudia después cada valor especial sustituyéndolo en el sistema escalonado, o en el original si tienes dudas.

Un caso que despista: el valor que anula un pivote no tiene por qué dar siempre un sistema incompatible. El valor de $k$ que anula la última fila puede dar $0 = 0$ (SCI) o $0 = c \neq = 0$ (SI), según lo que queda en el término independiente. Hay que mirar el término independiente en cada caso.

Resolver el caso indeterminado

Cuando para un valor de $k$ el sistema es SCI, el enunciado suele pedir también la solución. Se hace igual que en el método de Gauss con números:

Si prefieres evitar fracciones, escoge como libre la incógnita que permita despejar sin dividir; es un parámetro, así que también puedes poner $z = 3 t$ en vez de $z = t$ si te ahorra denominadores.

Condiciones entre los términos independientes

A veces el parámetro no está en los coeficientes sino en los términos independientes: el sistema es $A x = (a, b, c)$ y se pregunta qué relación deben cumplir $a$ , $b$ y $c$ para que haya solución. Si los coeficientes dejan una fila que es combinación de las otras, esa combinación también tiene que cumplirse en los términos independientes.

Se escalona con letras en los términos independientes; la fila sin incógnitas queda de la forma $0 = (expresi o ˊ n en a, b, c)$ , y la condición de compatibilidad es que esa expresión valga $0$ . Por ejemplo, si al escalonar queda $0 x + 0 y + 0 z = c - a - b$ , el sistema solo tiene solución cuando $c = a + b$ ; en cualquier otro caso es incompatible.

Sistemas homogéneos con parámetro

Un sistema es homogéneo cuando todos sus términos independientes son $0$ . Siempre tiene la solución trivial $(0, 0, 0)$ , así que nunca es incompatible. La pregunta es si tiene otras soluciones.

Así que para un sistema homogéneo con parámetro basta encontrar los valores de $k$ que anulan el último pivote: para esos valores hay infinitas soluciones; para los demás, solo la trivial. Aquí no hay caso incompatible, así que sale un único dato por valor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un parámetro que anula el último pivote

Discute según los valores de $k$ el sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z x + 2 y + 3 z 2 x + 3 y + k z = 2 = 5 = 8$ y resuélvelo cuando tenga solución única.

Solución

Escalonamos sin dividir por $k$ :

$F_{2} \to F_{2} - F_{1}$ : $y + 2 z = 3$ .
$F_{3} \to F_{3} - 2 F_{1}$ : $y + (k - 2) z = 4$ .
$F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ : $(k - 4) z = 1$ .

El sistema equivalente es $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z y + 2 z (k - 4) z = 2 = 3 = 1$

El único coeficiente que depende de $k$ es el de la última fila, y se anula cuando $k = 4$ .

Si $k = 4$ : la última fila es $0 = 1$ , imposible. El sistema es incompatible (SI).
Si $k \neq = 4$ : el sistema es compatible determinado (SCD). Ahora ya podemos dividir: $z = \frac{1}{k - 4}, y = 3 - 2 z = \frac{3 k - 14}{k - 4}, x = 2 - y - z = \frac{5 - k}{k - 4}$

Solución única: $(\frac{5 - k}{k - 4}, \frac{3 k - 14}{k - 4}, \frac{1}{k - 4})$ .

Ejemplo 2 Medio

Dos valores especiales, dos comportamientos

Considera el sistema, con $a \in R$ : $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z x + a y + 2 z a x + y + z = 2 = 3 = 2$

a) Discútelo según los valores de $a$ . Usa las claves "a=1", "a=2" y "otro".

b) Resuélvelo para $a = 1$ .

c) Resuélvelo para los demás valores de $a$ en que sea compatible.

Solución

a) Tomamos $F_{1}$ como fila pivote y escalonamos sin dividir:

$F_{2} \to F_{2} - F_{1}$ : $(a - 1) y + z = 1$ .
$F_{3} \to F_{3} - a F_{1}$ : $(1 - a) y + (1 - a) z = 2 - 2 a$ .

La nueva $F_{3}$ aún lleva $y$ . La sumamos a la nueva $F_{2}$ para eliminarla: $F_{3} \to F_{3} + F_{2} : (2 - a) z = 3 - 2 a$

El sistema escalonado es $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z (a - 1) y + z (2 - a) z = 2 = 1 = 3 - 2 a$

Hay dos pivotes que dependen de $a$ : el de $y$ en la segunda fila, $a - 1$ , y el de $z$ en la tercera, $2 - a$ . Los valores especiales son $a = 1$ y $a = 2$ .

$a = 2$ : la tercera fila es $0 = - 1$ . Sistema incompatible (SI).
$a = 1$ : la segunda fila es $z = 1$ y la tercera, $z = 1$ también, así que la tercera ecuación queda como $0 = 0$ . Sobra una incógnita libre. Sistema compatible indeterminado (SCI).
$a \neq = 1, 2$ : ambos pivotes son distintos de cero. Sistema compatible determinado (SCD).

Fíjate en que $a = 1$ es especial aunque no anule la última fila: se ve al mirar el pivote de $y$ .

b) Para $a = 1$ queda $x + y + z = 2$ y $z = 1$ . Tomamos $y = t$ : $z = 1, x = 2 - t - 1 = 1 - t$ La solución es $(1 - t, t, 1)$ , con $t \in R$ .

c) Para $a \neq = 1, 2$ dividimos: $z = \frac{3 - 2 a}{2 - a}, y = \frac{1 - z}{a - 1} = \frac{1}{2 - a}, x = 2 - y - z = 0$ La solución es $(0, \frac{1}{2 - a}, \frac{3 - 2 a}{2 - a})$ .

Ejemplo 3 Difícil

Homogéneo, condición de compatibilidad y solución

Considera el sistema, con $k \in R$ y $a, b, c \in R$ : $⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z 2 x + y + k z 3 x + 5 z = a = b = c$

a) Halla el valor de $k$ para el que el sistema homogéneo ( $a = b = c = 0$ ) tiene soluciones distintas de $(0, 0, 0)$ .

b) Para ese valor de $k$ , resuelve el sistema homogéneo.

c) Para ese mismo valor de $k$ , halla la condición que deben cumplir $a$ , $b$ y $c$ para que el sistema tenga solución. Escribe $c$ en función de $a$ y $b$ .

d) Resuelve el sistema para $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 3$ .

Solución

a) Escalonamos el sistema con términos independientes $a, b, c$ :

$F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ : $3 y + (k - 4) z = b - 2 a$ .
$F_{3} \to F_{3} - 3 F_{1}$ : $3 y - z = c - 3 a$ , porque $3 x + 5 z - 3 (x - y + 2 z) = 3 y - z$ .
$F_{3} \to F_{3} - F_{2}$ : $(- 1 - (k - 4)) z = (c - 3 a) - (b - 2 a)$ , es decir, $(3 - k) z = c - a - b$

El sistema escalonado es $⎩ ⎨ ⎧ x - y + 2 z 3 y + (k - 4) z (3 - k) z = a = b - 2 a = c - a - b$

En el caso homogéneo, la última fila es $(3 - k) z = 0$ . Hay soluciones no triviales si esa fila desaparece, y eso ocurre cuando $3 - k = 0$ : $k = 3$ . Para cualquier otro $k$ , $z = 0$ y las otras dos incógnitas también valen $0$ .

b) Con $k = 3$ y $a = b = c = 0$ el sistema queda $x - y + 2 z = 0$ y $3 y - z = 0$ . Tomamos $z = 3 t$ : $y = t, x = y - 2 z = t - 6 t = - 5 t$ La solución es $(- 5 t, t, 3 t)$ , con $t \in R$ . Comprobación en la tercera ecuación original: $3 (- 5 t) + 5 (3 t) = 0$ .

c) Con $k = 3$ , la última fila del sistema escalonado es $0 \cdot z = c - a - b$ . Solo hay solución si $c - a - b = 0$ , es decir: $c = a + b$ Si $c \neq = a + b$ , el sistema es incompatible. Se entiende porque con $k = 3$ la tercera ecuación es la suma de las otras dos en los coeficientes: $(1, - 1, 2) + (2, 1, 3) = (3, 0, 5)$ .

d) Con $a = 1$ , $b = 2$ se tiene $a + b = 3 = c$ : la condición se cumple y hay solución. Con $k = 3$ el sistema es $x - y + 2 z = 1, 3 y - z = b - 2 a = 0$ Tomamos $z = 3 t$ : $y = t$ y $x = 1 + y - 2 z = 1 + t - 6 t = 1 - 5 t$ . La solución es $(1 - 5 t, t, 3 t)$ , con $t \in R$ . Comprobación en la segunda ecuación original: $2 (1 - 5 t) + t + 3 (3 t) = 2 - 10 t + t + 9 t = 2$ .

En el examen: en el apartado de la condición escribe la fila $0 = c - a - b$ y concluye con las dos frases: «si $c = a + b$ , compatible; si $c \neq = a + b$ , incompatible». En d) no olvides comprobar que la condición se cumple antes de resolver.

Errores típicos

Resumen

Un sistema con parámetro es una familia de sistemas. Discutirlo es repartir los valores del parámetro en casos y clasificar cada uno: SCD (una solución), SCI (infinitas) o SI (ninguna).
Escalona sin dividir por expresiones con $k$ . Los valores especiales son los que anulan un pivote que depende de $k$ (en cualquier fila, no solo la última).
Caso general: el pivote no se anula, el sistema es SCD y se resuelve dividiendo, porque ya sabes que no es cero.
En cada caso especial, sustituye y mira la fila sin incógnitas: $0 = 0$ da SCI (solución con $t$ ) y $0 = c \neq = 0$ da SI.
Para que un sistema con términos $(a, b, c)$ tenga solución, la fila sin incógnitas $0 = (expresi o ˊ n en a, b, c)$ debe anularse: esa es la condición de compatibilidad.
Un sistema homogéneo nunca es incompatible; tiene soluciones no triviales justo cuando al escalonar aparece una fila de ceros.
En la Prueba 2 la CPG sirve para comprobar el caso general con un valor concreto del parámetro, pero la discusión se hace a mano.

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