IB Análisis y Enfoques NS · Geometría en el espacio · Apartado 3 de 7

Producto vectorial, áreas y volúmenes

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El producto vectorial toma dos vectores del espacio y devuelve otro vector, perpendicular a los dos. Su módulo es el área del paralelogramo que forman, y combinado con un tercer vector da volúmenes. En el examen del IB sirve para hallar un vector normal a un plano, para calcular áreas de triángulos en $R^{3}$ y para volúmenes de paralelepípedos y tetraedros.

Definición y cálculo

El producto vectorial solo existe en tres dimensiones. Se escribe $u \times v$ y se lee «u cruz v».

Memorizar tres expresiones largas es incómodo. Una regla más fácil es desarrollar, por la primera fila, un determinante en el que la primera fila son los vectores base $i, j, k$ :

$u \times v = i u_{1} v_{1} j u_{2} v_{2} k u_{3} v_{3} = i u_{2} v_{2} u_{3} v_{3} - j u_{1} v_{1} u_{3} v_{3} + k u_{1} v_{1} u_{2} v_{2}$

Fíjate en el signo menos delante de la componente $j$ : es el fallo más habitual (se ve en los errores típicos). Es un determinante «simbólico», porque la primera fila no son números, pero sirve como regla de cálculo.

Propiedades

Para ver por qué el resultado es perpendicular, multiplica escalarmente $u$ por $u \times v$ : los seis términos que aparecen se anulan por pares, y lo mismo ocurre con $v$ . De ahí sale también la propiedad de los vectores paralelos: si $v = λ u$ , cada componente tiene la forma $λ (u_{2} u_{3} - u_{3} u_{2}) = 0$ .

La fórmula del módulo se deduce de la identidad $∣ u \times v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} - (u \cdot v)^{2}$ , que se comprueba desarrollando las componentes. Si sustituyes $u \cdot v = ∣ u ∣ ∣ v ∣ cos θ$ , queda

$∣ u \times v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} (1 - cos^{2} θ) = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2} sin^{2} θ$

y como $sin θ \geq 0$ entre $0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ , se extrae la raíz sin ambigüedad. Observa el parecido con el producto escalar: allí aparece $cos θ$ y da un número; aquí aparece $sin θ$ y da el módulo de un vector.

Un vector perpendicular a otros dos

Es la aplicación más frecuente. Si $u$ y $v$ no son paralelos, cualquier vector perpendicular a ambos es un múltiplo de $u \times v$ . Para obtener uno de módulo $1$ se divide entre su módulo:

$n^= \pm \frac{u \times v}{∣ u \times v ∣}$

Con tres puntos $A$ , $B$ , $C$ no alineados, el vector $A B \times A C$ es perpendicular al plano que los contiene. Será la base para hallar la ecuación del plano en el apartado siguiente.

Área de un paralelogramo y de un triángulo

Paralelogramo ABCD con lados u y v, ángulo theta en A y altura h igual al módulo de v por seno de theta

Un paralelogramo de lados $u$ y $v$ tiene base $∣ u ∣$ y altura $h = ∣ v ∣ sin θ$ . Su área es base por altura, es decir, exactamente el módulo del producto vectorial.

El triángulo es la mitad del paralelogramo porque la diagonal lo reparte en dos triángulos iguales. Lo bueno de esta fórmula es que funciona en el espacio, donde no se puede usar «base por altura entre dos» sin hallar antes la altura. Además, tienes la comparación con la fórmula trigonométrica $\frac{1}{2} ab sin C$ del área de un triángulo: es la misma, escrita con vectores.

Producto mixto y volúmenes

Con tres vectores $u$ , $v$ , $w$ que salen del mismo punto se forma un paralelepípedo (una caja con caras paralelogramos). Su base es el paralelogramo de $u$ y $v$ , de área $∣ u \times v ∣$ ; su altura es la componente de $w$ en la dirección perpendicular a la base, es decir, $∣ w ∣ ∣ cos φ ∣$ , donde $φ$ es el ángulo entre $w$ y $u \times v$ .

El valor absoluto es necesario: el producto mixto puede salir negativo según el orden de los vectores, pero un volumen no. La sexta parte viene de que una pirámide ocupa un tercio del prisma de su misma base y altura, y la base triangular es la mitad del paralelogramo: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ .

Un caso especial muy útil: si $(u \times v) \cdot w = 0$ , el volumen es cero y los tres vectores son coplanarios (están en un mismo plano).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Calcular un producto vectorial y comprobarlo

Sean $u = 123$ y $v = 4 - 1 2$ .

a) Calcula $u \times v$ .

b) Calcula $(u \times v) \cdot u$ y comprueba que el resultado es el esperado.

c) Escribe $v \times u$ sin repetir el cálculo.

Solución

a) Con el determinante:

$u \times v = i 14 j 2 - 1 k 32 = i (2 \cdot 2 - 3 \cdot (- 1)) - j (1 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + k (1 \cdot (- 1) - 2 \cdot 4)$

$= 7 i + 10 j - 9 k = 710 - 9$

b) $(u \times v) \cdot u = 7 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + (- 9) \cdot 3 = 7 + 20 - 27 = 0$ . Es cero, como debe ser: el producto vectorial es perpendicular a $u$ .

c) Al cambiar el orden se cambia el signo: $v \times u = - (u \times v) = - 7 - 10 9$ .

Ejemplo 2 Medio

Un triángulo en el espacio: normal, área y vector unitario

Los puntos $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 0)$ y $C (2, 3, 1)$ son los vértices de un triángulo.

a) Halla $A B \times A C$ .

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Halla el vector de módulo $1$ perpendicular al plano del triángulo cuya primera componente sea positiva.

Solución

Primero los vectores que salen de $A$ , restando extremo menos origen:

$A B = 21 - 2, A C = 13 - 1$

a) Con el determinante:

$A B \times A C = i (1 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 3) - j (2 \cdot (- 1) - (- 2) \cdot 1) + k (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1)$

$= 5 i - 0 j + 5 k = 505$

b) El módulo es $25 + 0 + 25 = 52$ , y el área es la mitad:

$A = \frac{1}{2} \cdot 52 = \frac{5 2}{2}$

c) El vector $505$ es perpendicular al plano. Se divide entre su módulo $52$ :

$n^= \frac{1}{5 2} 505 = \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} = \frac{2}{2} 0 \frac{2}{2}$

La primera componente es positiva, así que no hay que cambiar el signo.

Ejemplo 3 Difícil

Volumen de una caja con parámetro y vectores coplanarios

Considera los vectores $u = 210$ , $v = 031$ y $w = 1 k 2$ , donde $k \in R$ .

a) Halla $u \times v$ y, a partir de él, el producto mixto $(u \times v) \cdot w$ en función de $k$ .

b) Para $k = 0$ , calcula el volumen del paralelepípedo y el del tetraedro determinados por los tres vectores.

c) Halla los valores de $k$ para los que el paralelepípedo tiene volumen $5$ .

d) Halla el valor de $k$ para el que los tres vectores son coplanarios.

Solución

a) Desarrollamos el determinante simbólico:

$u \times v = i (1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) - j (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + k (2 \cdot 3 - 1 \cdot 0) = 1 - 2 6$

Multiplicamos escalarmente por $w$ :

$(u \times v) \cdot w = 1 \cdot 1 + (- 2) \cdot k + 6 \cdot 2 = 13 - 2 k$

b) Con $k = 0$ el producto mixto vale $13$ . El paralelepípedo tiene volumen $∣ 13 ∣ = 13$ y el tetraedro $\frac{13}{6}$ .

c) El volumen es $∣ 13 - 2 k ∣$ , y se pide que valga $5$ . Hay dos casos:

$13 - 2 k = 5 \Rightarrow k = 4 o 13 - 2 k = - 5 \Rightarrow k = 9$

El valor absoluto da dos soluciones; las dos cajas tienen el mismo volumen, aunque con orientaciones opuestas.

d) Coplanarios significa volumen cero: $13 - 2 k = 0$ , luego $k = \frac{13}{2}$ .

En el examen: cuando un volumen se iguala a un número, no olvides el valor absoluto, que da dos valores del parámetro. Y si te piden el volumen del tetraedro, divide entre $6$ : es la confusión más frecuente con el paralelepípedo.

Errores típicos

Resumen

Producto vectorial: $u \times v = u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2} u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$ , que se obtiene con el determinante simbólico de $i, j, k$ (signo $-$ en la componente $j$ ). Es un vector.
Propiedades: $v \times u = - (u \times v)$ ; es perpendicular a $u$ y a $v$ ; vale $0$ si y solo si son paralelos; $∣ u \times v ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ sin θ$ .
Vector perpendicular a $u$ y $v$ : $u \times v$ (o su múltiplo); unitario: dividir entre su módulo.
Áreas: paralelogramo $∣ u \times v ∣$ ; triángulo $\frac{1}{2} ∣ u \times v ∣$ , por ejemplo $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ .
Producto mixto $(u \times v) \cdot w$ = determinante de los tres vectores. Volumen del paralelepípedo $= ∣(u \times v) \cdot w ∣$ ; del tetraedro, la sexta parte. Si vale $0$ , los vectores son coplanarios.

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