IB Aplicaciones e Interpretación NM · Geometría en 2D · Apartado 3 de 5

Rectas paralelas y perpendiculares

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Dos rectas del plano se relacionan por su inclinación: si tienen la misma pendiente son paralelas, y si el producto de sus pendientes es $- 1$ son perpendiculares. En el examen del IB aparece cuando te piden «la recta que pasa por este punto y es paralela (o perpendicular) a esta otra», un paso que se repite en problemas de calles, vallas, tuberías y en las mediatrices de los diagramas de Voronói.

Rectas paralelas

Dos rectas paralelas nunca se cortan: están igual de inclinadas. Como la pendiente mide la inclinación, basta comparar pendientes.

Fíjate en la figura: las dos rectas tienen pendiente $\frac{2}{3}$ . Cada vez que avanzas 3 unidades hacia la derecha, las dos suben 2.

[FIGURA mai-t4-a3-paralelas: Plano cartesiano con cuadrícula, ejes x e y rotulados, x de -4 a 8 e y de -4 a 6. Dos rectas azules paralelas: r1 de ecuación y = (2/3)x - 1, que corta al eje y en (0,-1) y al eje x en (1,5; 0), y r2 de ecuación y = (2/3)x + 2, que corta al eje y en (0,2). Rótulos «r1: y = 2x/3 - 1» y «r2: y = 2x/3 + 2» junto a cada recta. Sobre cada recta, un triángulo escalonado pequeño: recorrido horizontal de 3 unidades (rótulo «3») y subida vertical de 2 unidades (rótulo «2»), para indicar que ambas tienen la misma pendiente 2/3.]

Si además de la misma pendiente tienen la misma ordenada en el origen, no son dos rectas distintas sino la misma recta (rectas coincidentes). Si las rectas vienen en forma general, $a x + b y + d = 0$ , la pendiente es $m = - \frac{a}{b}$ : dos rectas con los mismos coeficientes $a$ y $b$ (salvo un factor común) y distinto $d$ son paralelas.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares ( $r_{1} ⊥ r_{2}$ ) cuando se cortan formando un ángulo recto de $9 0^{\circ}$ .

¿Por qué funciona? Una recta que pasa por el origen con pendiente $m$ pasa también por el punto $(1, m)$ . Si giras ese punto $9 0^{\circ}$ alrededor del origen, llega a $(- m, 1)$ , y la recta que pasa por el origen y por este punto tiene pendiente $\frac{1}{- m} = - \frac{1}{m}$ . Es la perpendicular.

[FIGURA mai-t4-a3-perpendiculares: Plano cartesiano con cuadrícula y ejes rotulados, x de -4 a 4 e y de -4 a 4. Recta azul L1 que pasa por el origen con pendiente 2/3, es decir y = 2x/3, dibujada hasta (3,2); con el triángulo rectángulo de catetos 3 (horizontal, rótulo «3») y 2 (vertical, rótulo «2») bajo ella. Recta roja L2 que pasa por el origen y por (-2,3), es decir y = -3x/2, con su triángulo rectángulo de catetos 2 (horizontal hacia la izquierda, rótulo «2») y 3 (vertical, rótulo «3»). Pequeño cuadradito de ángulo recto en el origen entre las dos rectas, con el rótulo «90°». Rótulos «L1: m1 = 2/3» y «L2: m2 = -3/2», y debajo, en un recuadro, «m1 · m2 = (2/3)·(-3/2) = -1».]

Observa cómo los triángulos de la figura intercambian sus catetos (3 y 2 pasan a ser 2 y 3) y uno de los recorridos cambia de sentido: de ahí salen la inversa y el signo negativo.

En forma general es todavía más rápido: la recta $a x + b y + d = 0$ tiene pendiente $- \frac{a}{b}$ , y la recta $b x - a y + d^{'} = 0$ tiene pendiente $\frac{b}{a}$ . Son perpendiculares: se intercambian $a$ y $b$ y se cambia un signo.

Recta por un punto paralela o perpendicular a otra

Es la tarea típica del examen. Se resuelve con la ecuación punto-pendiente, $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , donde $(x_{0}, y_{0})$ es el punto dado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Calles de un barrio

En el plano de un barrio (una unidad equivale a 100 m) hay tres calles rectas con estas ecuaciones:

$r : y = - \frac{2}{5} x + 1 s : 2 x + 5 y - 10 = 0 t : 5 x - 2 y + 3 = 0$

a) Halla la pendiente de cada calle.

b) Indica qué calles son paralelas y qué parejas son perpendiculares.

Solución

a) La calle $r$ ya está en forma explícita: $m_{r} = - \frac{2}{5}$ .

Para $s$ despejamos $y$ : $5 y = - 2 x + 10$ , luego $y = - \frac{2}{5} x + 2$ y $m_{s} = - \frac{2}{5}$ .

Para $t$ : $2 y = 5 x + 3$ , luego $y = \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ y $m_{t} = \frac{5}{2}$ .

b) $r$ y $s$ tienen la misma pendiente $- \frac{2}{5}$ y distinta ordenada en el origen ( $1$ y $2$ ): son paralelas.

Comprobamos el producto con $t$ : $- \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = - 1$ . Por tanto $t ⊥ r$ y, como $s$ tiene la misma pendiente que $r$ , también $t ⊥ s$ .

Las parejas perpendiculares son $r$ - $t$ y $s$ - $t$ .

Ejemplo 2 Medio

Una tubería que hay que acompañar

En un mapa con unidades de 1 km, una tubería de agua sigue la recta $L : 3 x + 4 y - 12 = 0$ . Se quiere construir, desde el depósito situado en $P (5, - 2)$ , una conducción paralela a la tubería y un camino de acceso perpendicular a ella.

a) Halla la ecuación de la conducción (recta por $P$ paralela a $L$ ) en la forma $a x + b y + d = 0$ con $a$ , $b$ y $d$ enteros y $a > 0$ .

b) Halla la ecuación del camino (recta por $P$ perpendicular a $L$ ) en la misma forma.

Solución

La pendiente de $L$ es $m_{L} = - \frac{3}{4}$ .

a) Paralela: misma pendiente, $m = - \frac{3}{4}$ . Con el punto $P (5, - 2)$ : $y - (- 2) = - \frac{3}{4} (x - 5) \Rightarrow 4 y + 8 = - 3 x + 15 \Rightarrow 3 x + 4 y - 7 = 0$ Comprobación: $3 \cdot 5 + 4 \cdot (- 2) = 15 - 8 = 7$ , así que $P$ cumple la ecuación.

b) Perpendicular: $m = - \frac{1}{- 3/4} = \frac{4}{3}$ . Con el punto $P$ : $y + 2 = \frac{4}{3} (x - 5) \Rightarrow 3 y + 6 = 4 x - 20 \Rightarrow 4 x - 3 y - 26 = 0$ Comprobación: $4 \cdot 5 - 3 \cdot (- 2) = 20 + 6 = 26$ . Además $(- \frac{3}{4}) \cdot \frac{4}{3} = - 1$ .

Ejemplo 3 Difícil

Los caminos de un parque triangular

Un parque tiene forma de triángulo con vértices $A (- 2, 1)$ , $B (4, 3)$ y $C (0, 7)$ en un plano con unidades de 100 m. Se quieren abrir dos caminos rectos: uno desde $C$ perpendicular al lado $A B$ y otro desde $B$ perpendicular al lado $A C$ .

a) Halla la ecuación del camino que parte de $C$ en la forma $a x + b y + d = 0$ con $a$ , $b$ , $d$ enteros y $a > 0$ .

b) Halla la ecuación del camino que parte de $B$ en la misma forma.

c) Los caminos se cruzan en el punto $H$ . Halla sus coordenadas.

d) Calcula el producto de las pendientes de $H A$ y $B C$ e interpreta el resultado.

[FIGURA mai-t4-a3-parque: Plano cartesiano con cuadrícula, ejes x e y rotulados (x de -3 a 6, y de -1 a 8). Triángulo ABC con vértices marcados como puntos y rotulados: A(-2, 1), B(4, 3) y C(0, 7). Lados dibujados en gris. Desde C, una recta azul que baja hasta cortar el lado AB; desde B, una recta roja hacia el lado AC. Ambas rectas se cortan en el punto H(1, 4) rotulado en el interior del triángulo. Pequeños cuadraditos de ángulo recto donde cada recta corta al lado al que es perpendicular. Segmento punteado de A a H.]

Solución

a) La pendiente de $A B$ es $m_{A B} = \frac{3 - 1}{4 - ( - 2 )} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ . El camino desde $C$ es perpendicular a $A B$ , así que su pendiente es $- 3$ . Por $C (0, 7)$ : $y - 7 = - 3 (x - 0) \Rightarrow y = - 3 x + 7 \Rightarrow 3 x + y - 7 = 0$

b) La pendiente de $A C$ es $m_{A C} = \frac{7 - 1}{0 - ( - 2 )} = \frac{6}{2} = 3$ . El camino desde $B$ es perpendicular a $A C$ : pendiente $- \frac{1}{3}$ . Por $B (4, 3)$ : $y - 3 = - \frac{1}{3} (x - 4) \Rightarrow 3 y - 9 = - x + 4 \Rightarrow x + 3 y - 13 = 0$

c) El punto $H$ cumple las dos ecuaciones. De la primera, $y = 7 - 3 x$ . Sustituyendo en la segunda: $x + 3 (7 - 3 x) - 13 = 0 \Rightarrow x + 21 - 9 x - 13 = 0 \Rightarrow - 8 x + 8 = 0 \Rightarrow x = 1$ Entonces $y = 7 - 3 = 4$ . Luego $H = (1, 4)$ . (Con la CPG basta con dibujar las dos rectas y pedir la intersección; comprueba que coincide.)

d) La pendiente de $H A$ es $\frac{4 - 1}{1 - ( - 2 )} = 1$ y la de $B C$ es $\frac{7 - 3}{0 - 4} = - 1$ . El producto es $1 \cdot (- 1) = - 1$ , así que $H A ⊥ B C$ : el camino que uniría $A$ con $H$ sería perpendicular al lado $B C$ . Los tres caminos desde cada vértice, perpendiculares al lado opuesto, se cruzan en un único punto, $H$ .

Para el examen: en cada apartado puntúan el cálculo de la pendiente, el uso de la relación $m_{1} m_{2} = - 1$ y la ecuación final en la forma pedida. En el apartado c) deja escrito el sistema que resuelves, aunque lo hagas con la CPG.

Errores típicos

Resumen

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, $m_{1} = m_{2}$ (y distinta ordenada en el origen; si no, coinciden).
Dos rectas son perpendiculares si $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ , es decir, $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ : se invierte la pendiente y se cambia el signo.
En forma general, $a x + b y + d = 0$ tiene pendiente $- \frac{a}{b}$ ; las rectas $a x + b y + d = 0$ y $b x - a y + d^{'} = 0$ son perpendiculares.
Las rectas verticales ( $x = k$ ) y horizontales ( $y = c$ ) se tratan aparte: dos verticales son paralelas y una vertical es perpendicular a una horizontal.
Para hallar la recta por $(x_{0}, y_{0})$ paralela o perpendicular a otra: pendiente $m_{1}$ de la dada, pendiente $m$ de la pedida, y $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ .
Comprueba siempre que el punto cumple la ecuación y que el producto o la igualdad de pendientes es correcto; con la CPG, dibuja ambas rectas con los ejes a la misma escala.

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