Ejercicios IB del tema 4

a)

$$BD=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(3-7{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}\approx 8,94.$$

Resultado: $BD=\sqrt{80}\approx 8,94$

b)

1. Las diagonales de una cometa son perpendiculares: $m_{AC}=\frac{9+11}{4+6}=2$ y $m_{BD}=\frac{3-7}{6+2}=-\frac{1}{2}$, con producto $-1$.
2. Como además $B$ y $D$ están en lados opuestos de la recta $AC$, el área es la mitad del producto de las diagonales:

$$\text{Aˊrea}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{\sqrt{500}\cdot \sqrt{80}}{2}=\frac{\sqrt{40000}}{2}=\frac{200}{2}=100.$$

Resultado: área de $ABCD=100$

Resultado: a) $\sqrt{80}\approx 8,94$; b) $100$

a) Con $A(0,4)$ y $B(6,0)$:

$$m_{AB}=\frac{0-4}{6-0}=-\frac{2}{3}\approx -0,667.$$

Resultado: $m_{AB}=-\frac{2}{3}$

b) El punto medio se obtiene promediando las coordenadas de $A(0,4)$ y $C(8,3)$:

$$M=\left(\frac{0+8}{2},\frac{4+3}{2}\right)=(4;3,5).$$

Resultado: $M(4;3,5)$

c) Longitud de $AC$:

$$AC=\sqrt{(8-0{)}^2+(3-4{)}^2}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}\approx 8,06.$$

Resultado: $AC=\sqrt{65}\approx 8,06$

d) Recta $BM$ con $B(6,0)$ y $M(4;3,5)$.

1. Pendiente: $m_{BM}=\frac{3,5-0}{4-6}=\frac{3,5}{-2}=-\frac{7}{4}$.
2. Punto-pendiente con $B$: $y-0=-\frac{7}{4}(x-6)$.
3. Multiplicamos por $4$: $4y=-7x+42$.
4. Pasamos todo al primer miembro: $7x+4y-42=0$.

Resultado: $7x+4y-42=0$

e) Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$.

1. Pendiente de $AB$: $-\frac{2}{3}$.
2. Pendiente de $BC$, con $B(6,0)$ y $C(8,3)$: $\frac{3-0}{8-6}=\frac{3}{2}$.
3. Producto: $-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=-1$.

Como el producto es $-1$, la recta $AB$ sí es perpendicular a la recta $BC$.

Resultado: a) $-\frac{2}{3}$; b) $M(4;3,5)$; c) $\sqrt{65}\approx 8,06$; d) $7x+4y-42=0$; e) sí son perpendiculares, porque $m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$

a) El punto medio tiene como coordenadas el promedio de las de los extremos.

1. Coordenada $x$: $\frac{s+(-2)}{2}=2\Rightarrow s-2=4\Rightarrow s=6$.
2. Coordenada $y$: $\frac{8+t}{2}=3\Rightarrow 8+t=6\Rightarrow t=-2$.

Resultado: $s=6$, $t=-2$

b) Ahora $A(6,8)$ y $B(-2,-2)$.

1. Pendiente de $AB$: $m_{AB}=\frac{-2-8}{-2-6}=\frac{-10}{-8}=\frac{5}{4}$.
2. Pendiente de la perpendicular: $-\frac{4}{5}$.
3. Pasa por $M(2,3)$: $y-3=-\frac{4}{5}(x-2)$.
4. Despejamos: $y=-\frac{4}{5}x+\frac{8}{5}+3=-\frac{4}{5}x+\frac{23}{5}$.

Resultado: a) $s=6$, $t=-2$; b) $y=-\frac{4}{5}x+\frac{23}{5}$

a) Se marca el punto $P$ dos unidades a la izquierda del eje $y$ y seis unidades hacia arriba, y el punto $Q$ seis unidades a la derecha y dos hacia arriba.

x e $y$ (1 cm por unidad). Punto $P(-2,6)$ marcado en el segundo cuadrante con su rótulo y punto $Q(6,2)$ marcado en el primer cuadrante con su rótulo."> b)

1. (i) $PQ=\sqrt{(6-(-2){)}^2+(2-6{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\approx 8,94$.
2. (ii) $m_{PQ}=\frac{2-6}{6-(-2)}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$.
3. (iii) Si $RPQ$ es recto, $PR\perp PQ$, luego $m_{PR}\cdot m_{PQ}=-1$ y $m_{PR}=-\frac{1}{-1/2}=2$.
4. (iv) La pendiente de $PR$ con $R(-8,a)$ es $\frac{a-6}{-8-(-2)}=\frac{a-6}{-6}$. Igualando a 2: $a-6=-12$, luego $a=-6$.

Comprobación: con $R(-8,-6)$, $PR=\sqrt{(-6{)}^2+(-12{)}^2}=\sqrt{180}$, que coincide con el dato del apartado (c).

Resultado: (i) $\sqrt{80}\approx 8,94$; (ii) $-\frac{1}{2}$; (iii) $2$; (iv) $a=-6$

c) Como el ángulo en $P$ es recto, $PQ$ y $PR$ son la base y la altura del triángulo:

$$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot PQ\cdot PR=\frac{1}{2}\sqrt{80}\cdot \sqrt{180}=\frac{1}{2}\sqrt{14400}=\frac{1}{2}\cdot 120=60.$$

Resultado: a) (gráfico); b) (i) $\sqrt{80}\approx 8,94$, (ii) $-\frac{1}{2}$, (iii) $2$, (iv) $a=-6$; c) $60$

a)

$$m=\frac{8-4}{5-(-1)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,667.$$

Resultado: $m=\frac{2}{3}\approx 0,667$

b)

1. Punto-pendiente con $A(-1,4)$: $y-4=\frac{2}{3}(x+1)$.
2. Despejamos $y$: $y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}+4=\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}$.

Resultado: $y=\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}$

c) Sustituimos $x=8$ en la ecuación de $L$:

$$y=\frac{2}{3}\cdot 8+\frac{14}{3}=\frac{16+14}{3}=10.$$

Resultado: a) $\frac{2}{3}$; b) $y=\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}$; c) $y=10$

a)

1. $P$ está en el eje $y$, así que $x=0$: $2y=12$, $y=6$. Luego $P(0,6)$.
2. $Q$ está en el eje $x$, así que $y=0$: $x=12$. Luego $Q(12,0)$.

Resultado: $P(0,6)$, $Q(12,0)$

b) Resolvemos el sistema (a mano o con la CPG): $$\{\begin{array}{l}x+2y=12\\ x-y=3\end{array}$$ Restando la segunda ecuación de la primera: $3y=9$, así que $y=3$. Entonces $x=3+y=6$.

Resultado: $A(6,3)$

Resultado: a) $P(0,6)$, $Q(12,0)$; b) $A(6,3)$

a) $A$ está en el eje $y$, así que $x=0$: $2y=18\Rightarrow y=9$.

b) $B$ está en el eje $x$, así que $y=0$: $3x=18\Rightarrow x=6$.

c) $M$ es el punto medio de $A(0,9)$ y $B(6,0)$:

$$M=\left(\frac{0+6}{2},\frac{9+0}{2}\right)=(3;4,5).$$

Resultado: a) $A(0,9)$; b) $B(6,0)$; c) $M(3;4,5)$

a) Partimos del punto $(-2,0)$. Una pendiente de $-3$ significa que, al avanzar $1$ a la derecha, la recta baja $3$. Obtenemos así los puntos $(-1,-3)$ y $(0,-6)$. Hacia la izquierda, al retroceder $1$ la recta sube $3$: el punto $(-3,3)$. Se unen con una recta.

b) Con pendiente $m=-3$ y punto $(-2,0)$:

1. Punto-pendiente: $y-0=-3(x-(-2))$.
2. $y=-3(x+2)=-3x-6$.

Comprobación: la recta corta al eje $y$ en $-6$, como se ve en el dibujo.

Resultado: a) recta que pasa por $(-3,3)$, $(-2,0)$, $(-1,-3)$ y $(0,-6)$; b) $y=-3x-6$

a) Leemos en la figura dos puntos de $l$ con coordenadas claras: $(0,0)$ y $(5,10)$ (también pasa por $(1,2)$, $(2,4)$, ...).

1. Pendiente: $m=\frac{10-0}{5-0}=2$.
2. Pasa por el origen, así que la ordenada en el origen es $0$: $y=2x$.

Resultado: $l:y=2x$

b) Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, $2$. Como $n$ pasa por $(0,8)$, la ordenada en el origen es $8$:

$$n:y=2x+8.$$

Resultado: $n:y=2x+8$

c) $P$ está en el eje horizontal, así que $y=0$:

$$0=2x+8\Rightarrow x=-4.$$

Resultado: a) $y=2x$; b) $y=2x+8$; c) $P(-4,0)$

En $y=mx+c$, la constante $c$ es la ordenada en el origen (la misma en los cuatro diagramas) y la pendiente $m$ decide la inclinación.

1. $y=c$: pendiente $0$, recta horizontal. Es el diagrama 2.
2. $y=-x+c$: pendiente $-1$, recta que baja hacia la derecha. Es el diagrama 3.
3. $y=3x+c$: pendiente $3$, positiva y grande: la recta más inclinada hacia arriba. Es el diagrama 4.
4. $y=\frac{1}{3}x+c$: pendiente $\frac{1}{3}$, positiva y pequeña: sube suavemente. Es el diagrama 1.

Resultado: $y=c$: 2; $y=-x+c$: 3; $y=3x+c$: 4; $y=\frac{1}{3}x+c$: 1

a)

1. Sea $OA=t$ con $t>0$. Entonces $A(t,0)$ y, como $OB=3t$, $B(0,3t)$ (según la figura, $A$ está en el semieje $x$ positivo y $B$ en el semieje $y$ positivo).
2. La pendiente es $m=\frac{3t-0}{0-t}=-3$.

Resultado: $m=-3$

b)

1. Con $m=-3$: $y=-3x+c$.
2. Como $(2,6)$ está en $L$: $6=-3\cdot 2+c$, de donde $c=12$.

Resultado: $y=-3x+12$

c) En $A$ se cumple $y=0$: $0=-3x+12$, luego $x=4$.

Resultado: a) $-3$; b) $y=-3x+12$; c) $x=4$

a) $M$ es el punto medio de $AB$, así que su abscisa es la media de las de $A$ y $B$: $a=\frac{0+24}{2}=12$. (Comprobación con la ordenada: $\frac{26+10}{2}=18$.)

Resultado: $a=12$

b)

$$m_{AB}=\frac{10-26}{24-0}=\frac{-16}{24}=-\frac{2}{3}\approx -0,667.$$

Resultado: $m_{AB}=-\frac{2}{3}\approx -0,667$

c)

1. Con $a=12$, $M(12,18)$ y $O(0,0)$: pendiente de $OM=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$.
2. $AM$ está sobre la recta $AB$, de pendiente $-\frac{2}{3}$.
3. El producto de las pendientes es $\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-1$, así que $OM\perp AM$.
4. Por tanto, el triángulo $OAM$ tiene un ángulo recto en $M$: sí es rectángulo.

Resultado: sí es rectángulo (ángulo recto en $M$), porque $\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-1$

Resultado: a) $a=12$; b) $-\frac{2}{3}$; c) sí es rectángulo, con el ángulo recto en $M$

a) Del diagrama, $L_1$ pasa por $(0,2)$ y por $(6,0)$.

1. (i) Pendiente: $$m_1=\frac{0-2}{6-0}=-\frac{1}{3}\approx -0,333.$$
2. (ii) La ordenada en el origen es $2$, así que $$y=-\frac{1}{3}x+2.$$

Resultado: (i) $-\frac{1}{3}$; (ii) $y=-\frac{1}{3}x+2$

b)

1. El triángulo sombreado tiene vértices $O(0,0)$, $B(6,0)$ y el punto $P$ donde se cortan $L_1$ y $L_2$.
2. Para hallar $P$ igualamos $y=x$ con $y=-\frac{1}{3}x+2$: $$x=-\frac{1}{3}x+2\Rightarrow \frac{4}{3}x=2\Rightarrow x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}.$$
3. Tomamos como base el lado sobre el eje $x$, de longitud $6$, y como altura la ordenada de $P$, que es $\frac{3}{2}$: $$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{3}{2}=\frac{9}{2}=4,5.$$

Resultado: Área $=\frac{9}{2}=4,5$

Resultado: a) (i) $-\frac{1}{3}$, (ii) $y=-\frac{1}{3}x+2$; b) $\frac{9}{2}=4,5$

En $y=mx+c$, $m$ es la pendiente (positiva si la recta sube hacia la derecha, negativa si baja) y $c$ es la ordenada en el origen (positiva si corta al eje $y$ por encima del origen, negativa si lo corta por debajo, y cero si pasa por el origen). Clasificamos las seis rectas:

$L_2$ y $L_6$ no cumplen ninguna de las cuatro condiciones, porque en ellas $c=0$. Asignamos las demás:

1. $m>0$ y $c>0$: sube y corta al eje $y$ por encima del origen, $L_5$.
2. $m<0$ y $c>0$: baja y corta al eje $y$ por encima del origen, $L_4$.
3. $m<0$ y $c<0$: baja y corta al eje $y$ por debajo del origen, $L_1$.
4. $m>0$ y $c<0$: sube y corta al eje $y$ por debajo del origen, $L_3$.

Resultado: $m>0,c>0$: $L_5$; $m<0,c>0$: $L_4$; $m<0,c<0$: $L_1$; $m>0,c<0$: $L_3$

a) Del diagrama, la rampa pasa por $(0,80)$ y corta al eje horizontal en $(940,0)$:

$$m=\frac{0-80}{940-0}=-\frac{80}{940}=-\frac{4}{47}\approx -0,0851.$$

Resultado: $m\approx -0,0851$

b) La pendiente segura es $-\frac{1}{12}\approx -0,0833$. La rampa A tiene pendiente $-0,0851$, que es menor (más negativa) que $-0,0833$: baja más deprisa de lo permitido, es decir, es demasiado inclinada y, por tanto, no es segura.

Resultado: No es segura, porque $-0,0851<-\frac{1}{12}\approx -0,0833$ (es más empinada).

c) (i) Despejamos $y$ en $2x+24y-1920=0$:

$$24y=-2x+1920\Rightarrow y=-\frac{1}{12}x+80.$$

La pendiente de la rampa B es $-\frac{1}{12}$, justo la pendiente segura, así que la rampa B es segura (y parte de la misma altura de 80 cm).

(ii) La rampa llega al suelo cuando $y=0$:

$$-\frac{1}{12}x+80=0\Rightarrow x=960.$$

La distancia horizontal es de $960$ cm.

Resultado: (i) sí es segura, pues su pendiente es $-\frac{1}{12}$; (ii) $960$ cm

Resultado: a) $-0,0851$; b) no es segura, porque $-0,0851<-\frac{1}{12}$; c) (i) es segura (pendiente $-\frac{1}{12}$), (ii) $960$ cm

a) $A$ está en el eje $x$ ($y=0$): $3x=24\Rightarrow x=8$, luego $A(8,0)$. $B$ está en el eje $y$ ($x=0$): $4y=24\Rightarrow y=6$, luego $B(0,6)$.

Resultado: $A(8,0)$, $B(0,6)$

b) Punto medio: $M=\left(\frac{8+0}{2},\frac{0+6}{2}\right)=(4,3)$.

Resultado: $M(4,3)$

c)

1. Pendiente de $L_2$ por $M(4,3)$ y $C(0,-2)$: $m=\frac{3-(-2)}{4-0}=\frac{5}{4}$.
2. Corta al eje $y$ en $-2$, así que $y=\frac{5}{4}x-2$.

Comprobación con $M$: $\frac{5}{4}\cdot 4-2=3$, correcto.

Resultado: $y=\frac{5}{4}x-2$

d)

1. (i) $MC=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-(-2){)}^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\approx 6,40$.
2. (ii) $AC=\sqrt{(8-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}\approx 8,25$.

Resultado: (i) $\sqrt{41}\approx 6,40$; (ii) $\sqrt{68}\approx 8,25$

e) En el triángulo $CMA$ conocemos los tres lados: $MC=\sqrt{41}$, $MA=5$ y $AC=\sqrt{68}$.

1. (i) Teorema del coseno para el ángulo en $M$ (opuesto a $AC$):

$$\cos C\hat{M}A=\frac{M{C}^2+M{A}^2-A{C}^2}{2\cdot MC\cdot MA}=\frac{41+25-68}{2\sqrt{41}\cdot 5}=\frac{-2}{10\sqrt{41}}\approx -0,0312.$$

Por tanto $C\hat{M}A=\arccos (-0,0312\dots )\approx 91,8^{\circ }$ (con la CPG en grados).

2. (ii) Área $=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot MA\cdot \sin C\hat{M}A=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{41}\cdot 5\cdot \sin 91,79^{\circ }\approx 16,0$.

(Se puede comprobar con coordenadas: $\overrightarrow{CM}=(4,5)$, $\overrightarrow{CA}=(8,2)$ y el área es $\frac{1}{2}|4\cdot 2-5\cdot 8|=16$.)

Resultado: (i) $C\hat{M}A\approx 91,8^{\circ }$; (ii) área $\approx 16,0$

Resultado: a) $A(8,0)$, $B(0,6)$; b) $M(4,3)$; c) $y=\frac{5}{4}x-2$; d) (i) $\sqrt{41}\approx 6,40$, (ii) $\sqrt{68}\approx 8,25$; e) (i) $91,8^{\circ }$, (ii) $16,0$

a) La recta corta al eje $y$ en $P(0,2)$, así que la ordenada en el origen es $2$. La pendiente es

$$m_{PQ}=\frac{0-2}{2-0}=-1.$$

Por tanto $y=-x+2$.

Resultado: $y=-x+2$

b) 1. Punto medio: $M=\left(\frac{0+2}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(1,1)$.

2. La pendiente de una perpendicular a $PQ$ es el opuesto del inverso de $-1$, es decir, $1$.

3. Punto-pendiente: $y-1=1\cdot (x-1)$, es decir, $y=x$.

Resultado: a) $y=-x+2$; b) $y=x$

a) $m_{AB}=\frac{9-3}{4-2}=\frac{6}{2}=3$.

Resultado: $m_{AB}=3$

b) Dos rectas perpendiculares cumplen $m_1\cdot m_2=-1$, así que la pendiente de la perpendicular es $m=-\frac{1}{3}$.

Resultado: $-\frac{1}{3}$

c) Despejamos $y$ en $2x+by-12=0$: $y=-\frac{2}{b}x+\frac{12}{b}$, cuya pendiente es $-\frac{2}{b}$.

Como es perpendicular a $[AB]$, su pendiente es $-\frac{1}{3}$:

$$-\frac{2}{b}=-\frac{1}{3}\Rightarrow b=6.$$

Resultado: $b=6$

Resultado: a) $3$; b) $-\frac{1}{3}$; c) $b=6$

a) La pendiente es el cociente entre la variación de $y$ y la variación de $x$:

$$m_1=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-3,5-0,5}{9-(-3)}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}.$$

Resultado: $m_1=-\frac{1}{3}$

b)

1. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, así que $L_2$ tiene pendiente $-\frac{1}{3}$.
2. Usamos la forma punto-pendiente con $C(3,1)$: $y-1=-\frac{1}{3}(x-3)$.
3. Multiplicamos por 3 para quitar el denominador: $3y-3=-(x-3)=-x+3$.
4. Pasamos todo al primer miembro: $x+3y-6=0$.

Resultado: $x+3y-6=0$

c) El corte con el eje $x$ ocurre cuando $y=0$:

$$x+3\cdot 0-6=0\Rightarrow x=6.$$

Resultado: a) $-\frac{1}{3}$; b) $x+3y-6=0$; c) $(6,0)$

a) El punto medio es la media de las coordenadas:

$$M=\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+2}{2}\right)=(3,1).$$

Resultado: $M(3,1)$

b)

$$m_1=\frac{2-0}{0-6}=-\frac{1}{3}.$$

Resultado: $m_1=-\frac{1}{3}$

c)

1. Paralela a $L_1$: $m_2=-\frac{1}{3}$, así que $y=-\frac{1}{3}x+c$.
2. Pasa por $(3,2)$: $2=-\frac{1}{3}\cdot 3+c=-1+c$, luego $c=3$.

Resultado: $y=-\frac{1}{3}x+3$

Resultado: a) $M(3,1)$; b) $-\frac{1}{3}$; c) $y=-\frac{1}{3}x+3$

a)

$$m_{AC}=\frac{3-9}{5-3}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Resultado: $m_{AC}=-3$

b)

1. El ángulo $ACB$ tiene su vértice en $C$ y sus lados son $CA$ y $CB$, que están sobre las rectas $AC$ y $BC$.
2. $m_{BC}=\frac{3-6}{5-15}=\frac{-3}{-10}=\frac{3}{10}$.
3. Las rectas son perpendiculares si el producto de las pendientes es $-1$: $m_{AC}\cdot m_{BC}=-3\cdot \frac{3}{10}=-\frac{9}{10}\ne -1$.
4. Por tanto, $AC$ y $BC$ no son perpendiculares y el ángulo $ACB$ no es recto.

Resultado: no es recto, porque $-3\cdot \frac{3}{10}=-\frac{9}{10}\ne -1$

c)

1. $L\parallel BC$, así que su pendiente es $\frac{3}{10}$.
2. Pasa por $A(3,9)$: $y-9=\frac{3}{10}(x-3)$.
3. Multiplicamos por 10: $10y-90=3x-9$.
4. Pasamos todo al primer miembro: $3x-10y+81=0$.

Resultado: $3x-10y+81=0$

Resultado: a) $-3$; b) no es recto ($-\frac{9}{10}\ne -1$); c) $3x-10y+81=0$

a) Sustituimos $A(3,-2)$ en $y=2,5x+k$: $-2=2,5\cdot 3+k=7,5+k$, luego $k=-9,5$.

Resultado: $k=-9,5$

b) La pendiente de $L_1$ es $2,5=\frac{5}{2}$; la de una perpendicular es su inverso cambiado de signo:

$$m_2=-\frac{1}{2,5}=-0,4=-\frac{2}{5}.$$

Resultado: $m_2=-0,4$

c)

1. $y=-0,4x+c$ y pasa por $A(3,-2)$: $-2=-0,4\cdot 3+c=-1,2+c$.
2. Luego $c=-0,8$.

Resultado: $y=-0,4x-0,8$

d)

1. Multiplicamos por 5: $5y=-2x-4$.
2. Pasamos todo al primer miembro: $2x+5y+4=0$.

Resultado: a) $k=-9,5$; b) $-0,4$; c) $y=-0,4x-0,8$; d) $2x+5y+4=0$

a) La intersección con el eje $y$ se da en $x=0$: $y=-3$, es decir, el punto $(0,-3)$.

Resultado: $(0,-3)$

b) En $y=2x-3$ el coeficiente de $x$ es la pendiente: $m_1=2$.

Resultado: $m_1=2$

c) $L_2$ tiene pendiente 2 y corta el eje $y$ en 3 (pasa por $(0,3)$), luego $y=2x+3$.

Resultado: $y=2x+3$

d) Perpendicular a $L_1$: $m_3=-\frac{1}{2}$.

Resultado: $m_3=-\frac{1}{2}$

e)

1. Punto-pendiente con $(-2,6)$: $y-6=-\frac{1}{2}(x+2)$.
2. Multiplicamos por 2: $2y-12=-x-2$.
3. Pasamos todo al primer miembro: $x+2y-10=0$.

Resultado: $x+2y-10=0$

Resultado: a) $(0,-3)$; b) $2$; c) $y=2x+3$; d) $-\frac{1}{2}$; e) $x+2y-10=0$

a) Despejamos $y$: $5y=-2x-4$, es decir, $y=-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}$. La pendiente es $-\frac{2}{5}$.

Resultado: $m_1=-\frac{2}{5}$

b) Perpendicular: $m_2=-\frac{1}{m_1}=\frac{5}{2}$.

Resultado: $m_2=\frac{5}{2}$

c)

1. Punto-pendiente con $(5,3)$: $y-3=\frac{5}{2}(x-5)$.
2. Multiplicamos por 2: $2y-6=5x-25$.
3. Reordenamos: $5x-2y=19$.