IB Aplicaciones e Interpretación NM · Geometría en 2D · Apartado 5 de 5

Diagramas de Voronói

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un diagrama de Voronói reparte el plano en zonas: cada zona agrupa los puntos que están más cerca de un sitio (una tienda, una antena, un hospital) que de cualquier otro. Se construye con mediatrices, que ya sabes calcular, y sirve para responder preguntas del tipo «¿qué centro me queda más cerca?» o «¿dónde está el punto más alejado de todos?». Es un contenido muy característico de Aplicaciones e Interpretación y aparece en el examen del IB con un contexto real y un dibujo.

Qué es un diagrama de Voronói

Imagina varias farmacias repartidas por una ciudad. Cada vecino va a la que le queda más cerca. Si coloreas el mapa según la farmacia a la que iría cada punto, obtienes un diagrama de Voronói.

Con dos sitios el reparto es muy simple. Los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$ forman la mediatriz del segmento $A B$ : la recta perpendicular a $A B$ que pasa por su punto medio. Esa recta separa el plano en dos mitades, la de los puntos más cercanos a $A$ y la de los más cercanos a $B$ .

[FIGURA mai-t4-a5-dos-sitios: Ejes de coordenadas con cuadrícula, ventana x de 0 a 10 e y de 0 a 7. Sitios A(2, 1) y B(8, 5), marcados con un punto y su letra. Segmento AB en trazo fino que une los dos sitios. Su punto medio M(5, 3) marcado con un punto pequeño y la etiqueta M. La mediatriz de AB, de ecuación y = -1,5x + 10,5, dibujada en trazo grueso desde el punto (7/3, 7) en el borde superior (aproximadamente (2,33; 7)) hasta el punto (7, 0) en el borde inferior; pasa por M. Marca de ángulo recto en M entre el segmento AB y la mediatriz. La zona a la izquierda de la mediatriz (la que contiene a A) coloreada en un tono suave y la zona derecha (la que contiene a B) en otro tono suave. Etiquetas «celda de A» y «celda de B».]

Los puntos de la mediatriz están justo a medio camino: pertenecen a los dos territorios a la vez, y por eso la mediatriz es la frontera entre las dos celdas.

Tres sitios: aparece el vértice

Con tres sitios $A$ , $B$ y $C$ hay tres mediatrices: la de $A B$ , la de $A C$ y la de $B C$ . Las tres se cortan en un único punto, equidistante de los tres sitios. Cada mediatriz solo se usa a partir de ese punto, en el lado donde separa de verdad a dos sitios, y el plano queda partido en tres celdas.

[FIGURA mai-t4-a5-tres-sitios: Ventana x de 0 a 10, y de 0 a 9, con cuadrícula suave. Sitios P(2, 2), Q(8, 2) y R(5, 7) marcados con un punto y su letra. Vértice V(5; 3,6) marcado con un punto destacado y la etiqueta «vértice V(5; 3,6)». Tres aristas en trazo grueso que parten de V: (1) hacia abajo en vertical, x = 5, desde V hasta (5, 0) en el borde inferior; (2) la mediatriz de PR, y = -0,6x + 6,6, desde V hasta (0; 6,6) en el borde izquierdo; (3) la mediatriz de QR, y = 0,6x + 0,6, desde V hasta (10; 6,6) en el borde derecho. Las tres celdas coloreadas en tonos suaves distintos: la de P (izquierda), la de Q (derecha) y la de R (arriba). Circunferencia de trazo discontinuo con centro V y radio 3,4 que pasa por P, Q y R. Etiquetas con flechas que señalan un «sitio» (P), una «celda» (la de Q), una «arista» (el tramo de x = 5) y el «vértice» (V).]

La razón es sencilla: si $V$ está en la mediatriz de $A B$ , entonces $V A = V B$ ; si además está en la de $A C$ , entonces $V A = V C$ , y por tanto $V B = V C$ , es decir, $V$ también está en la mediatriz de $B C$ .

La mediatriz de dos sitios

Todo el trabajo del diagrama es calcular mediatrices. Es el mismo procedimiento que en el apartado de rectas perpendiculares.

Una comprobación rápida: cualquier punto de la mediatriz debe estar a la misma distancia de $A$ que de $B$ . Con la mediatriz de la primera figura, $A (2, 1)$ y $B (8, 5)$ , el punto medio es $M (5, 3)$ , la pendiente de $A B$ es $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ y la de la mediatriz es $- \frac{3}{2}$ , de donde $y - 3 = - \frac{3}{2} (x - 5)$ , es decir, $y = - 1, 5 x + 10, 5$ .

Dibujar el diagrama con más de tres sitios

Con muchos sitios dibujar todas las mediatrices a la vez produce un lío de rectas. Conviene trabajar por orden.

La regla para saber si un trozo de mediatriz es frontera real es la de siempre: un punto de la mediatriz de $A$ y $B$ pertenece al diagrama solo si ningún otro sitio está más cerca de él que $A$ y $B$ . En un examen suele bastar el dibujo y los vértices que te pidan.

Qué zona queda más cerca de un punto

Una vez hecho el diagrama, decidir cuál es el sitio más cercano a un punto $P$ es tan sencillo como ver en qué celda cae $P$ . Esta idea se llama vecino más cercano: el dato que tiene un punto es el del sitio de su celda. Se usa, por ejemplo, para asignar a cada vivienda la antena que le da señal o el centro de salud que le toca.

Si no tienes el diagrama completo, basta calcular distancias con $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ . Un punto de una arista está a igual distancia de dos sitios y un vértice, de tres: en ese caso el enunciado debe decir qué hacer.

Dónde poner un servicio que debe estar lejos de todos

Hay problemas en sentido contrario: se busca el lugar más alejado de todos los sitios, por ejemplo para colocar un vertedero o una planta de residuos lejos de los pueblos.

Añadir un sitio nuevo

Si se abre una tienda o se instala una antena, el diagrama cambia, pero no del todo.

El nuevo sitio se queda con una celda propia, formada por los puntos que ahora le quedan más cerca a él que al resto.
Esa celda se la quita a sus vecinos: las celdas de los sitios que no son vecinos del nuevo no cambian.
Aparecen aristas nuevas, que son trozos de las mediatrices entre el sitio nuevo y cada uno de sus vecinos, y desaparecen tramos de aristas y vértices que quedan dentro de la celda nueva.

Para rehacer el diagrama, calcula las mediatrices entre el sitio nuevo y sus vecinos más próximos, halla los vértices nuevos (cortes de mediatrices que vuelvan a ser equidistantes de tres sitios) y borra lo que ahora queda dentro de la celda del sitio nuevo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres centros de salud

En el plano de una comarca (unidades de 1 km) hay tres centros de salud: $A (1, 2)$ , $B (7, 2)$ y $C (3, 6)$ .

a) Halla la ecuación de la mediatriz de $B$ y $C$ en la forma $y = m x + n$ . Da la pareja $(m, n)$ .

b) Halla las coordenadas del vértice del diagrama de Voronói, es decir, el punto equidistante de los tres centros.

c) Calcula la distancia del vértice a cada centro.

d) Un vecino vive en el punto $P (5, 5)$ . ¿A qué centro le toca ir si cada vecino va al más cercano? Responde con la letra del centro.

Solución

a) El punto medio de $B C$ es $M = (\frac{7 + 3}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = (5, 4)$ . La pendiente de $B C$ es $\frac{6 - 2}{3 - 7} = - 1$ , así que la de la mediatriz es $1$ . La recta es $y - 4 = 1 \cdot (x - 5)$ , es decir, $y = x - 1$ .

b) La mediatriz de $A$ y $B$ es vertical, porque $A B$ es horizontal: pasa por el punto medio $(4, 2)$ , luego es $x = 4$ . Cortando con $y = x - 1$ : $y = 4 - 1 = 3$ . El vértice es $V (4, 3)$ . Como comprobación, la mediatriz de $A C$ (punto medio $(2, 4)$ , pendiente $- \frac{1}{2}$ ) es $y = - \frac{1}{2} x + 5$ , y en $x = 4$ da $y = 3$ : pasa por $V$ .

c) $V A = (4 - 1)^{2} + (3 - 2)^{2} = 10$ . Igual, $V B = 3^{2} + 1^{2} = 10$ y $V C = 1^{2} + 3^{2} = 10$ . La distancia es $10 \approx 3, 16$ km.

d) Se comparan distancias: $P A = 4^{2} + 3^{2} = 5$ , $P B = 2^{2} + 3^{2} = 13 \approx 3, 61$ y $P C = 2^{2} + 1^{2} = 5 \approx 2, 24$ . El más cercano es $C$ . Se confirma con el diagrama: $P$ queda por encima de la recta $y = x - 1$ (porque $5 > 5 - 1$ ), del lado de $C$ .

[FIGURA mai-t4-a5-ejemplo1: Ventana x de 0 a 8, y de 0 a 8, con cuadrícula. Sitios A(1, 2), B(7, 2) y C(3, 6) con punto y letra. Vértice V(4, 3) marcado con un punto destacado y la etiqueta V(4, 3). Tres aristas en trazo grueso que parten de V: vertical x = 4 hacia abajo hasta (4, 0); la mediatriz de AC, y = -0,5x + 5, hacia arriba y a la izquierda hasta (0, 5); la mediatriz de BC, y = x - 1, hacia arriba y a la derecha hasta (8, 7). Las tres celdas coloreadas en tonos suaves: celda de A a la izquierda, celda de B a la derecha y abajo, celda de C arriba. Punto P(5, 5) marcado con una cruz y la etiqueta P, dentro de la celda de C.]

Ejemplo 2 Medio

Un vertedero lejos de tres pueblos

Tres pueblos están situados, en un mapa con unidades de 1 km, en $A (10, 10)$ , $B (70, 10)$ y $C (40, 50)$ . Se quiere colocar un vertedero en un vértice del diagrama de Voronói de los tres pueblos, para que quede lo más lejos posible del pueblo más cercano.

a) Halla la ecuación de la mediatriz de $A$ y $C$ en la forma $y = m x + n$ . Da la pareja $(m, n)$ .

b) Halla las coordenadas del vértice del diagrama.

c) Calcula a qué distancia queda el vertedero de cada pueblo.

Solución

a) El punto medio de $A C$ es $M = (25, 30)$ . La pendiente de $A C$ es $\frac{50 - 10}{40 - 10} = \frac{4}{3}$ y la de la mediatriz es $- \frac{3}{4}$ . La recta es $y - 30 = - \frac{3}{4} (x - 25)$ , que da $y = - \frac{3}{4} x + \frac{195}{4}$ (es decir, $y = - 0, 75 x + 48, 75$ ).

b) $A$ y $B$ están a la misma altura, así que su mediatriz es vertical y pasa por el punto medio $(40, 10)$ : es $x = 40$ . Sustituyendo en la mediatriz de $A C$ : $y = - \frac{3}{4} \cdot 40 + \frac{195}{4} = - 30 + \frac{195}{4} = \frac{75}{4} = 18, 75$ El vértice es $V (40, \frac{75}{4}) = (40; 18, 75)$ . Es el único vértice: con tres sitios solo hay uno.

c) Distancia a $A$ : $(40 - 10)^{2} + (18, 75 - 10)^{2} = 900 + 76, 5625 = 976, 5625 = 31, 25$ km. Con $C$ : $0^{2} + (50 - 18, 75)^{2} = 31, 25$ km, y con $B$ sale lo mismo por simetría. El vertedero queda a $31, 25$ km de los tres pueblos.

[FIGURA mai-t4-a5-ejemplo2: Ventana x de 0 a 80 e y de 0 a 60 (recinto rectangular), con cuadrícula cada 10 unidades. Pueblos A(10, 10), B(70, 10) y C(40, 50) con punto y letra. Vértice V(40; 18,75) marcado con un cuadrado o símbolo destacado y la etiqueta «Vertedero V(40; 18,75)». Tres aristas en trazo grueso que parten de V: x = 40 hacia abajo hasta (40, 0); la mediatriz de AC, y = -0,75x + 48,75, hacia arriba y a la izquierda hasta (0; 48,75); la mediatriz de BC, y = 0,75x - 11,25, hacia arriba y a la derecha hasta (80; 48,75). Tres celdas coloreadas en tonos suaves: celda de A (izquierda), celda de B (derecha) y celda de C (arriba). Segmentos finos discontinuos de V a A, a B y a C con la etiqueta 31,25 km en uno de ellos.]

Ejemplo 3 Difícil

Una cuarta estación de bomberos

En un mapa con unidades de 1 km hay tres estaciones de bomberos: $A (2, 1)$ , $B (8, 1)$ y $C (5, 7)$ . Se construye una cuarta estación en $D (5, 4)$ .

a) Halla el vértice $V$ del diagrama de Voronói de las tres estaciones $A$ , $B$ y $C$ .

b) Tras construir $D$ , ¿sigue siendo $V$ un vértice del nuevo diagrama? Responde «sí» o «no» y justifícalo.

c) Halla los vértices del diagrama de las cuatro estaciones (son tres).

d) Un incendio se declara en $P (3, 5)$ . ¿Qué estación queda más cerca? Responde con la letra.

Solución

a) $A B$ es horizontal, así que su mediatriz es $x = 5$ . La de $A C$ : punto medio $(3, 5; 4)$ , pendiente de $A C$ igual a $\frac{6}{3} = 2$ , pendiente de la mediatriz $- \frac{1}{2}$ , luego $y - 4 = - \frac{1}{2} (x - 3, 5)$ . En $x = 5$ : $y = 4 - \frac{1}{2} \cdot 1, 5 = \frac{13}{4}$ El vértice es $V (5, \frac{13}{4}) = (5; 3, 25)$ , a una distancia de $3, 25 + \dots$ de los sitios: $V A = 3^{2} + 2, 2 5^{2} = 3, 75$ (y lo mismo para $B$ y $C$ ).

b) No. La distancia de $V$ a $D$ es $∣4 - 3, 25∣ = 0, 75$ , mucho menor que $3, 75$ . Entonces $V$ queda más cerca de $D$ que de $A$ , $B$ y $C$ , y un vértice debe ser equidistante de tres sitios sin que haya ninguno más cerca. Por tanto $V$ desaparece y queda dentro de la celda de $D$ .

c) Los vértices son puntos equidistantes de tres sitios sin ningún otro más cerca. Buscamos las mediatrices con $D$ :

$A D$ : punto medio $(3, 5; 2, 5)$ , pendiente de $A D$ igual a $\frac{3}{3} = 1$ , mediatriz $y = - x + 6$ .
$B D$ : punto medio $(6, 5; 2, 5)$ , pendiente de $B D$ igual a $- 1$ , mediatriz $y = x - 4$ .
$C D$ : $C$ y $D$ tienen la misma abscisa, así que la mediatriz es horizontal por el punto medio $(5; 5, 5)$ : $y = 5, 5$ .
$B C$ : punto medio $(6, 5; 4)$ , pendiente $- 2$ , mediatriz $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{4}$ . Por simetría, $A C$ es $y = - \frac{1}{2} x + \frac{23}{4}$ .

Los cortes son: $x = 5$ con $y = - x + 6$ da $(5, 1)$ (equidistante de $A$ , $B$ y $D$ : $V A = V B = V D = 3$ ); $y = - x + 6$ con $y = 5, 5$ da $x = \frac{1}{2}$ , es decir $(\frac{1}{2}, \frac{11}{2})$ (equidistante de $A$ , $C$ y $D$ ); $y = x - 4$ con $y = 5, 5$ da $(\frac{19}{2}, \frac{11}{2})$ (equidistante de $B$ , $C$ y $D$ ). En los tres casos ningún otro sitio queda más cerca. Los vértices son $(5, 1)$ , $(0, 5; 5, 5)$ y $(9, 5; 5, 5)$ .

d) $P A = 1^{2} + 4^{2} = 17$ , $P B = 5^{2} + 4^{2} = 41$ , $P C = 2^{2} + 2^{2} = 8$ y $P D = 2^{2} + 1^{2} = 5$ . El menor es $P D$ : la estación más cercana es $D$ . Coincide con el diagrama: $P$ está por debajo de la arista $y = 5, 5$ y entre $y = - x + 6$ ( $5 > - 3 + 6$ es falso para $A$ ...) dentro de la celda de $D$ .

[FIGURA mai-t4-a5-ej3-antes: Ventana x de 0 a 10, y de 0 a 9, con cuadrícula. Sitios A(2, 1), B(8, 1) y C(5, 7) con punto y letra. Vértice V(5; 3,25) destacado y etiquetado. Tres aristas en trazo grueso desde V: x = 5 hacia abajo hasta (5, 0); la mediatriz de AC, y = -0,5x + 5,75, hasta (0; 5,75); la mediatriz de BC, y = 0,5x + 0,75, hasta (10; 5,75). Tres celdas coloreadas en tonos suaves: A a la izquierda, B a la derecha, C arriba.]

[FIGURA mai-t4-a5-ej3-despues: Misma ventana (x de 0 a 10, y de 0 a 9). Sitios A(2, 1), B(8, 1), C(5, 7) y el nuevo sitio D(5, 4), este último con color distinto y etiqueta «D nuevo». Aristas en trazo grueso: x = 5 desde (5, 0) hasta el vértice (5, 1); y = -x + 6 desde (5, 1) hasta el vértice (0,5; 5,5); y = x - 4 desde (5, 1) hasta el vértice (9,5; 5,5); la horizontal y = 5,5 desde (0,5; 5,5) hasta (9,5; 5,5); la mediatriz de AC, y = -0,5x + 5,75, desde (0,5; 5,5) hasta (0; 5,75) en el borde izquierdo; la mediatriz de BC, y = 0,5x + 0,75, desde (9,5; 5,5) hasta (10; 5,75) en el borde derecho. Vértices marcados con punto y sus coordenadas: (5, 1), (0,5; 5,5) y (9,5; 5,5). Las cuatro celdas coloreadas en tonos suaves: A a la izquierda, B a la derecha, D en el centro (el triángulo grande que rodea a D, limitado por las aristas y = -x + 6, y = x - 4 y y = 5,5) y C arriba. El antiguo vértice (5; 3,25) se muestra como un punto gris tachado dentro de la celda de D, con la etiqueta «desaparece». Punto P(3, 5) marcado con una cruz en la celda de D.]

En el examen: en un problema de añadir un sitio se puntúa cada mediatriz bien planteada (punto medio, pendiente perpendicular), el corte de las rectas y la comprobación de que el vértice es equidistante de tres sitios sin otro más cerca. Comprueba siempre las distancias y no te quedes con un punto solo porque es un corte de dos rectas.

Errores típicos

Resumen

Un diagrama de Voronói divide el plano en celdas: la de cada sitio reúne los puntos más cercanos a él que a los demás.
La frontera entre dos celdas vecinas es un trozo de la mediatriz de sus sitios: punto medio y pendiente perpendicular, $m^{'} = - \frac{1}{m}$ .
Un vértice es el punto donde se encuentran varias aristas; es equidistante de tres sitios. Para hallarlo basta cortar dos mediatrices y comprobar con la tercera.
Para ver qué sitio es el más cercano a un punto, mira en qué celda cae o compara distancias (vecino más cercano).
El punto más alejado de todos los sitios se busca entre los vértices (y, si el terreno está limitado, también entre las esquinas del recinto).
Al añadir un sitio, su celda se la quita a sus vecinos; se rehacen las aristas vecinas y desaparecen los vértices que quedan dentro.
En el examen, escribe punto medio, pendiente y ecuación de cada mediatriz, y comprueba las distancias aunque uses la CPG.

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