IB Aplicaciones e Interpretación NM · Geometría en 2D · Apartado 2 de 5

Pendiente y ecuaciones de la recta

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una recta queda determinada por dos datos: dos puntos, o un punto y su pendiente. La pendiente dice cuánto sube o baja la recta por cada unidad que avanza hacia la derecha, y con ella se escribe la ecuación en tres formas equivalentes. En el examen del IB aparece al modelizar situaciones lineales (tarifas, caminos, rampas), al hallar dónde se cortan dos rectas y al calcular figuras formadas con los ejes.

La pendiente

Cuando recorres una recta de izquierda a derecha, tu posición cambia en dos direcciones: avanzas en horizontal y subes o bajas en vertical. La pendiente compara ambos cambios.

[FIGURA mai-t4-a2-pendiente: plano cartesiano con ejes x e y, cuadrícula suave. Una recta que sube hacia la derecha pasa por los puntos A(1, 2) y B(5, 5), marcados con puntos y rotulados "A(x₁, y₁)" y "B(x₂, y₂)". Desde A se dibuja un segmento horizontal discontinuo hasta la vertical de B, rotulado "x₂ − x₁ (avance)"; desde ahí un segmento vertical discontinuo hasta B, rotulado "y₂ − y₁ (subida)". En la intersección de la recta con el eje x se marca el ángulo θ entre la recta y el sentido positivo del eje x. A la derecha, un cuadro pequeño con la recta que baja (por C(1, 5) y D(5, 2)) con su avance y su bajada marcados, rotulado "pendiente negativa"; el primer dibujo rotulado "pendiente positiva".]

El signo de $m$ te cuenta cómo es la recta:

$m > 0$ : la recta sube al ir hacia la derecha.
$m < 0$ : la recta baja al ir hacia la derecha.
$m = 0$ : la recta es horizontal (no hay cambio vertical).
Si $x_{1} = x_{2}$ , el denominador es $0$ : la recta es vertical y su pendiente no está definida.

Cuanto mayor es $∣ m ∣$ , más empinada es la recta. Una pendiente $m = 2$ significa que, por cada unidad que avanzas, subes dos.

Pendiente y ángulo

Si $θ$ es el ángulo agudo que forma la recta con el eje horizontal, el triángulo rectángulo de la figura tiene catetos $y_{2} - y_{1}$ y $x_{2} - x_{1}$ . Por la razón tangente,

Esta relación une este tema con la trigonometría: una pendiente de $1$ corresponde a $4 5^{\circ}$ y una pendiente grande, a un ángulo cercano a $9 0^{\circ}$ .

Las ecuaciones de una recta

Una misma recta se puede escribir de varias maneras. Cada forma sirve para algo distinto.

Forma punto-pendiente

Supón que la recta tiene pendiente $m$ y pasa por $A (x_{1}, y_{1})$ . Si $P (x, y)$ es cualquier otro punto de la recta, la pendiente entre $A$ y $P$ también es $m$ : $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m$ Quitando el denominador queda la ecuación siguiente.

Es la forma que usarás para construir una recta cuando conoces un punto y la pendiente, o dos puntos (calculas $m$ primero y eliges cualquiera de los dos).

Forma explícita

Si despejas $y$ en la forma punto-pendiente obtienes $y = m x + (y_{1} - m x_{1})$ El término entre paréntesis es una constante: es el valor de $y$ cuando $x = 0$ .

Es la forma más cómoda para leer una recta, dibujarla o interpretarla como un modelo: $c$ es el valor inicial y $m$ es lo que cambia $y$ por cada unidad de $x$ .

Forma general

Si pasas todos los términos al mismo lado, la ecuación toma el aspecto $a x + b y + d = 0$ con $a$ , $b$ y $d$ números reales y $a$ , $b$ no nulos a la vez. Es la forma general (o estándar). El examen suele pedir «en la forma $a x + b y + d = 0$ , donde $a$ , $b$ y $d$ son números enteros»: multiplica toda la ecuación por el denominador común para quitar las fracciones.

Para pasar de la general a la explícita, despeja $y$ : $b y = - a x - d \Rightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{d}{b}$ De aquí se lee que la pendiente es $m = - \frac{a}{b}$ y la ordenada en el origen $c = - \frac{d}{b}$ (si $b \neq = 0$ ).

Rectas horizontales y verticales

[FIGURA mai-t4-a2-horizontal-vertical: dos planos cartesianos pequeños, uno al lado del otro, con ejes graduados de -5 a 5 en x y de -4 a 4 en y. En el de la izquierda, una recta horizontal gruesa a la altura y = -3 con la etiqueta "y = -3" sobre ella y el punto (2, -3) marcado. En el de la derecha, una recta vertical gruesa en x = 4 con la etiqueta "x = 4" a su lado y el punto (4, 1) marcado.]

Cortes con los ejes

[FIGURA mai-t4-a2-cortes-ejes: plano cartesiano con ejes graduados de -2 a 7 en x y de -5 a 3 en y. Una recta gruesa que corta al eje x en el punto (6, 0) y al eje y en el punto (0, -3). Ambos puntos señalados con puntos grandes y rotulados "(6, 0)" y "(0, -3)". Junto a la recta, la etiqueta "x − 2y − 6 = 0". Se sombrea ligeramente el triángulo formado por la recta y las partes positiva del eje x y negativa del eje y.]

Los cortes con los ejes son los puntos más fáciles de calcular de una recta y, además, bastan para dibujarla: con dos puntos hay una sola recta.

Intersección de dos rectas

Dos rectas con pendientes distintas se cortan en un único punto. Ese punto es el único que cumple las dos ecuaciones a la vez, así que sus coordenadas son la solución del sistema formado por ambas: ${a_{1} x + b_{1} y + d_{1} a_{2} x + b_{2} y + d_{2} = 0 = 0$ Si tienes una de las rectas en forma explícita, lo más rápido es sustituir $y$ en la otra. Si no, usa reducción: multiplica las ecuaciones para igualar los coeficientes de una incógnita y resta.

Si las pendientes son iguales y las ordenadas distintas, las rectas son paralelas y no se cortan: el sistema no tiene solución.
Si las pendientes y las ordenadas son iguales, es la misma recta: hay infinitas soluciones.

[FIGURA mai-t4-a2-interseccion: plano cartesiano con ejes graduados de -2 a 8 en x y de -2 a 8 en y. Dos rectas: la recta r (azul) con ecuación "y = x/2 + 1" que pasa por (0, 1) y (4, 3); la recta s (naranja) con ecuación "y = -x + 7" que pasa por (0, 7) y (7, 0). Se cortan en el punto P(4, 3), señalado con un punto grande y rotulado "P(4, 3)". Líneas discontinuas desde P hasta los ejes con los valores 4 y 3 marcados.]

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un camino en el plano de una finca

En el plano de una finca, un camino recto une la casa $A (2, 1)$ con el pozo $B (6, 4)$ (unidades en cientos de metros).

a) Calcula la pendiente del camino.

b) Halla el ángulo agudo que forma el camino con el eje horizontal, con una cifra decimal.

c) Escribe la ecuación de la recta que contiene al camino en la forma $a x + b y + d = 0$ , con $a$ , $b$ y $d$ enteros y $a > 0$ .

Solución

a) $m = \frac{4 - 1}{6 - 2} = \frac{3}{4}$ .

b) Como $m = tan θ$ , $θ = tan^{- 1} \frac{3}{4} = 36, 9^{\circ}$ .

c) Forma punto-pendiente con el punto $A (2, 1)$ : $y - 1 = \frac{3}{4} (x - 2)$ Multiplicamos por $4$ para quitar la fracción: $4 y - 4 = 3 x - 6 \Rightarrow 3 x - 4 y - 2 = 0$ Comprobamos con $B (6, 4)$ : $3 \cdot 6 - 4 \cdot 4 - 2 = 18 - 16 - 2 = 0$ . Se cumple.

Ejemplo 2 Medio

Alquiler de bicicletas

Una tienda alquila bicicletas con una tarifa que combina una cuota fija y un precio por hora. Alquilar una bicicleta durante $2$ horas cuesta $11$ euros y durante $6$ horas cuesta $23$ euros. El coste $C$ (en euros) es una función lineal del tiempo $t$ (en horas).

a) Halla la pendiente y la ordenada en el origen de la recta $C = m t + c$ que modeliza el coste, y di qué significa cada una.

b) ¿Cuántas horas se pueden alquilar con $32$ euros?

c) ¿Cuánto cuesta alquilar la bicicleta durante $4, 5$ horas?

Solución

a) Los puntos de la recta son $(2, 11)$ y $(6, 23)$ : $m = \frac{23 - 11}{6 - 2} = \frac{12}{4} = 3$ Con el punto $(2, 11)$ : $C - 11 = 3 (t - 2)$ , es decir, $C = 3 t + 5$ . Entonces $m = 3$ y $c = 5$ .

Significado: $m = 3$ es el precio por hora (3 euros por cada hora más); $c = 5$ es la cuota fija (lo que se paga aunque el tiempo fuera cero).

b) Resolvemos $32 = 3 t + 5$ : $3 t = 27 \Rightarrow t = 9 horas$

c) $C = 3 \cdot 4, 5 + 5 = 18, 5$ euros.

Ejemplo 3 Difícil

Dos senderos que se cruzan

En el mapa de un parque (unidades de $1$ km) un sendero $L_{1}$ pasa por los puntos $A (- 2, 1)$ y $B (4, 4)$ . Otro sendero $L_{2}$ sigue la recta de ecuación $3 x + 2 y - 16 = 0$ .

a) Halla la ecuación de $L_{1}$ en la forma $a x + b y + d = 0$ con coeficientes enteros y $a > 0$ .

b) Halla los puntos donde $L_{2}$ corta a los ejes $x$ e $y$ .

c) Halla las coordenadas del punto en que se cruzan los dos senderos.

d) La recta $L_{2}$ y los ejes de coordenadas encierran una zona triangular. Calcula su área en km $^{2}$ , con una cifra decimal.

Solución

a) Pendiente: $m = \frac{4 - 1}{4 - ( - 2 )} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Con el punto $A (- 2, 1)$ : $y - 1 = \frac{1}{2} (x + 2) \Rightarrow 2 y - 2 = x + 2 \Rightarrow x - 2 y + 4 = 0$

b) Con el eje $x$ ( $y = 0$ ): $3 x - 16 = 0$ , luego $x = \frac{16}{3}$ y el punto es $(\frac{16}{3}, 0)$ .

Con el eje $y$ ( $x = 0$ ): $2 y - 16 = 0$ , luego $y = 8$ y el punto es $(0, 8)$ .

c) Resolvemos el sistema: ${x - 2 y + 4 3 x + 2 y - 16 = 0 = 0$ Sumando las dos ecuaciones se elimina $y$ : $4 x - 12 = 0$ , luego $x = 3$ . En la primera, $3 - 2 y + 4 = 0$ , de donde $y = \frac{7}{2}$ . El punto de cruce es $P (3, \frac{7}{2})$ . (Con la CPG, resolviendo el sistema, se obtiene $x = 3$ , $y = 3, 5$ .)

d) El triángulo tiene vértices $O (0, 0)$ , $(\frac{16}{3}, 0)$ y $(0, 8)$ . Es rectángulo en el origen, con catetos $\frac{16}{3}$ y $8$ : $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot 8 = \frac{64}{3} = 21, 3 km^{2}$

En el examen: en un problema de varias partes se puntúa cada resultado. Escribe la pendiente antes de la ecuación, indica qué sustituyes para cada corte con un eje (por ejemplo « $y = 0$ ») y plantea el sistema antes de resolverlo, aunque uses la CPG. Escribe la unidad en el área.

Errores típicos

Resumen

La pendiente de la recta por $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ es $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Positiva: sube; negativa: baja; cero: horizontal; si $x_{1} = x_{2}$ la recta es vertical y no tiene pendiente.
Con $θ$ el ángulo agudo con el eje $x$ : $m = tan θ$ .
Forma punto-pendiente: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ . Forma explícita: $y = m x + c$ . Forma general: $a x + b y + d = 0$ , con $m = - \frac{a}{b}$ .
Rectas horizontales $y = k$ y verticales $x = k$ .
Corte con el eje $x$ : haz $y = 0$ . Corte con el eje $y$ : haz $x = 0$ .
La intersección de dos rectas es la solución del sistema que forman sus ecuaciones; con la CPG, módulo de ecuaciones o gráfico.
Interpretando un modelo lineal $y = m x + c$ : $m$ es el cambio por unidad y $c$ el valor inicial.

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