Coordenadas, distancia entre dos puntos y punto medio

Las coordenadas de un punto

Para describir una posición en el plano se dibujan dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto $O$, el origen. La horizontal es el eje $x$ y la vertical es el eje $y$. Cada eje lleva una escala: las dos pueden ser iguales o distintas, pero en una escala dada la misma distancia en el dibujo representa siempre la misma cantidad.

El orden importa: $P(5,2)$ y $Q(2,5)$ son puntos distintos. Los ejes dividen el plano en cuatro regiones, los cuadrantes, que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj empezando por arriba a la derecha.

[FIGURA mai-t4-a1-cuadrantes: Plano cartesiano con ejes x (de -5 a 6) e y (de -5 a 5) y cuadrícula suave; origen O rotulado. Los cuatro cuadrantes rotulados con numeración romana en tono tenue, I arriba a la derecha (x>0, y>0), II arriba a la izquierda (x<0, y>0), III abajo a la izquierda (x<0, y<0), IV abajo a la derecha (x>0, y<0). Cuatro puntos marcados con su etiqueta: P(4, 3) en el cuadrante I, Q(-3, 2) en el II, R(-4, -3) en el III y S(2, -4) en el IV. Para P se muestran líneas discontinuas hasta ambos ejes, rotulando el 4 en el eje x y el 3 en el eje y.]

Un punto sobre un eje tiene una coordenada igual a cero: $(3,0)$ está en el eje $x$ y $(0,-2)$ en el eje $y$.

Distancia entre dos puntos

Dados dos puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, el segmento $AB$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son horizontales y verticales. El cateto horizontal mide $|x_2-x_1|$ y el vertical $|y_2-y_1|$, así que basta aplicar el teorema de Pitágoras.

[FIGURA mai-t4-a1-distancia: Ejes cartesianos con el punto A(x1, y1) abajo a la izquierda y el punto B(x2, y2) arriba a la derecha, unidos por un segmento oblicuo rotulado d. Desde A una línea horizontal hasta la vertical que baja de B, formando un triángulo rectángulo con el ángulo recto en la esquina inferior derecha (marcado con un cuadradito). Cateto horizontal rotulado x2 - x1 y cateto vertical rotulado y2 - y1. Sobre los ejes, líneas discontinuas de guía hasta x1, x2, y1 e y2, rotulados.]

Como las diferencias están elevadas al cuadrado, da igual restar en un orden o en el otro: $d(A,B)=d(B,A)$. Tampoco importan los cuadrantes: si una coordenada es negativa, la resta la tiene en cuenta sola. Lo único que hay que vigilar es escribir los signos con paréntesis, por ejemplo $(-3-2{)}^2$.

El resultado está en las unidades de la escala del plano (kilómetros, metros, casillas...). Si el enunciado no pide otra cosa, redondea a 3 cifras significativas.

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ de $AB$ es el que está a la misma distancia de $A$ que de $B$. Para pasar de $A$ a $B$ hay que recorrer $x_2-x_1$ en horizontal; el punto medio queda a la mitad de ese recorrido, y lo mismo en vertical. Por eso cada coordenada de $M$ es la media de las coordenadas de los extremos.

[FIGURA mai-t4-a1-punto-medio: Ejes cartesianos con el punto A(x1, y1) abajo a la izquierda y B(x2, y2) arriba a la derecha unidos por un segmento. El punto M en el centro del segmento, rotulado M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Dos pequeñas marcas iguales (doble trazo) sobre las dos mitades AM y MB. Líneas discontinuas desde A, M y B a los ejes marcando x1, (x1+x2)/2, x2 en el eje x y y1, (y1+y2)/2, y2 en el eje y.]

Esta fórmula sirve en los dos sentidos. Si conoces el punto medio y un extremo, la otra coordenada se despeja: $x_2=2x_M-x_1$ y $y_2=2y_M-y_1$.

[FIGURA mai-t4-a1-mapa-senderos: Plano con cuadrícula suave, ejes x (de -4 a 6) e y (de -9 a 5), 1 unidad = 1 km. Cuatro puntos marcados y rotulados: refugio A(-3, 4) arriba a la izquierda, fuente C(5, 4) arriba a la derecha, mirador B(5, -8) abajo a la derecha y lago M(1, -2) en el centro, en el segmento AB. Segmento AB oblicuo de A a B pasando por M, con una doble marca de igualdad en cada mitad. Segmento AC horizontal rotulado 8 km y segmento CB vertical rotulado 12 km, con un cuadradito de ángulo recto en C. El segmento AB rotulado con su longitud, raíz de 208, aproximadamente 14,4 km.]