IB Aplicaciones e Interpretación NM · Geometría en 2D · Apartado 4 de 5

Distancia de un punto a una recta y mediatriz

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Dos situaciones aparecen una y otra vez en geometría de coordenadas: ¿cuál es el camino más corto desde un punto hasta una carretera, una tubería o una pared?, y ¿dónde están los puntos que quedan a la misma distancia de dos lugares? Las dos se resuelven con la misma herramienta: una recta perpendicular. En el examen del IB son la base de los diagramas de Voronói y de los problemas de ubicación.

La distancia más corta de un punto a una recta

Un punto $A$ y una recta $r$ que no pasa por él. Desde $A$ puedes llegar a $r$ por infinitos caminos rectos, pero uno solo es el más corto: el que corta a la recta formando un ángulo recto.

[FIGURA mai-t4-a4-distancia-perpendicular: plano cartesiano con ejes y cuadrícula suave. Una recta r descendente (pendiente negativa) dibujada en azul y rotulada «r». Un punto A en rojo situado arriba a la derecha de la recta, rotulado «A». El segmento perpendicular desde A hasta la recta en trazo grueso rojo, que corta a r en un punto D rotulado «D», con un pequeño cuadrado en D que marca el ángulo recto. Dos segmentos finos grises y discontinuos desde A hasta otros dos puntos cualesquiera de r (uno a cada lado de D), rotulados «más largos que AD». Sobre el segmento grueso, rótulo «d = AD, distancia más corta».]

¿Por qué es la más corta? Si tomas otro punto $E$ de la recta, el triángulo $A D E$ es rectángulo en $D$ y $A E$ es su hipotenusa, que siempre es mayor que el cateto $A D$ .

Para calcularla no hace falta una fórmula nueva. Solo necesitas rectas perpendiculares (ya sabes que sus pendientes cumplen $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ ) y la distancia entre dos puntos.

La mediatriz de un segmento

Ahora tienes dos puntos $A$ y $B$ y buscas los puntos del plano que están a la misma distancia de ambos.

La intuición: si $P$ está en la mediatriz, los triángulos $P M A$ y $P M B$ son rectángulos en $M$ , comparten el cateto $P M$ y tienen el otro cateto igual ( $M A = M B$ ). Por Pitágoras, sus hipotenusas $P A$ y $P B$ miden lo mismo.

[FIGURA mai-t4-a4-mediatriz-equidistan: segmento horizontal AB, con A a la izquierda y B a la derecha, ambos puntos en azul y rotulados. En el centro del segmento, el punto medio M rotulado «M», con una marca de igualdad (una pequeña raya) en cada mitad que indique que AM = MB. Una recta vertical que pasa por M, dibujada en rojo, rotulada «mediatriz», con un pequeño cuadrado de ángulo recto en M. Sobre la mediatriz, dos puntos P (arriba, a distancia media) y Q (abajo), rotulados. Segmentos finos discontinuos desde P hasta A y B, y desde Q hasta A y B; rótulos «PA = PB» cerca de P y «QA = QB» cerca de Q.]

Para hallar su ecuación sigue el mismo plan de siempre: un punto y una pendiente.

Fíjate en que la mediatriz no pasa por $A$ ni por $B$ : pasa por el punto medio. Para comprobar tu ecuación, elige un punto de la recta y verifica que está a la misma distancia de $A$ y de $B$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

El camino más corto hasta una carretera

Un campamento está en el punto $A (5, 4)$ de un mapa, con las unidades en kilómetros. Una carretera recta tiene la ecuación $2 x + y - 4 = 0$ .

a) Halla el punto de la carretera más cercano al campamento.

b) Calcula la distancia más corta del campamento a la carretera.

Solución

a) La carretera tiene pendiente $- 2$ (de $y = - 2 x + 4$ ). La perpendicular tiene pendiente $\frac{1}{2}$ y pasa por $A$ : $y - 4 = \frac{1}{2} (x - 5) \Rightarrow x - 2 y = - 3$ El punto más cercano es la intersección de $2 x + y = 4$ con $x - 2 y = - 3$ . Con la CPG (o por sustitución, $x = 2 y - 3$ ) se obtiene $D (1, 2)$ .

b) La distancia más corta es $A D$ : $d = (5 - 1)^{2} + (4 - 2)^{2} = 20 = 4, 47 km$

Ejemplo 2 Medio

Dos antenas y la mediatriz

Dos antenas de telefonía están en los puntos $A (- 2, 5)$ y $B (4, 1)$ de un plano con las unidades en kilómetros. Una tercera estación debe estar a la misma distancia de las dos.

a) Halla el punto medio del segmento $A B$ .

b) Halla la ecuación de la mediatriz de $A B$ en la forma $y = m x + n$ .

c) La estación se coloca en el punto de la mediatriz cuya coordenada $x$ vale $3$ . Halla su coordenada $y$ .

Solución

a) $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{5 + 1}{2}) = (1, 3)$ .

b) La pendiente de $A B$ es $\frac{1 - 5}{4 - ( - 2 )} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$ , así que la pendiente de la mediatriz es $\frac{3}{2}$ . Con el punto $M$ : $y - 3 = \frac{3}{2} (x - 1) \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$

c) Para $x = 3$ : $y = \frac{3}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} = 6$ . El punto es $P (3, 6)$ .

Comprobación: $P A^{2} = (3 + 2)^{2} + (6 - 5)^{2} = 26$ y $P B^{2} = (3 - 4)^{2} + (6 - 1)^{2} = 26$ . Están a la misma distancia.

Ejemplo 3 Difícil

Un parque de bomberos equidistante

Dos pueblos están en $A (0, 6)$ y $B (8, 2)$ (unidades en kilómetros). Una carretera recta tiene la ecuación $x + y - 11 = 0$ . Se quiere construir un parque de bomberos en la carretera y a la misma distancia de los dos pueblos.

a) Halla la ecuación de la mediatriz del segmento $A B$ en la forma $y = m x + n$ .

b) Halla las coordenadas del punto de la carretera donde debe ir el parque.

c) Calcula la distancia del parque a cada pueblo.

d) Se quiere unir el pueblo $A$ con la carretera por el camino más corto. Calcula su longitud.

Solución

[FIGURA mai-t4-a4-bomberos: plano cartesiano con ejes x e y graduados de 0 a 10. Puntos A(0,6) y B(8,2) en azul con sus rótulos y coordenadas. El segmento AB en gris. La mediatriz y = 2x − 4 en rojo, rotulada. La carretera x + y − 11 = 0 en negro, rotulada «carretera». Las dos rectas se cortan en el punto P(5,6), marcado en verde y rotulado «parque P(5, 6)». Segmentos discontinuos PA y PB. Además, el pie D(2,5; 8,5) de la perpendicular desde A hasta la carretera, con el segmento AD en trazo grueso y un pequeño cuadrado de ángulo recto en D, rotulado «camino más corto».]

a) El punto medio es $M = (4, 4)$ . La pendiente de $A B$ es $\frac{2 - 6}{8 - 0} = - \frac{1}{2}$ y la de la mediatriz, $2$ : $y - 4 = 2 (x - 4) \Rightarrow y = 2 x - 4$

b) El parque debe estar en la mediatriz y en la carretera. Resolvemos el sistema $y = 2 x - 4$ , $x + y = 11$ con la CPG (o sustituyendo: $x + 2 x - 4 = 11 \Rightarrow x = 5$ ). Resulta $P (5, 6)$ .

c) $P A = (5 - 0)^{2} + (6 - 6)^{2} = 5$ km. Comprobamos con $P B = (5 - 8)^{2} + (6 - 2)^{2} = 25 = 5$ km. Coinciden, como debe ser.

d) La carretera tiene pendiente $- 1$ , así que la perpendicular por $A$ tiene pendiente $1$ : $y = x + 6$ . Su corte con $x + y = 11$ es $x + x + 6 = 11$ , es decir $D (2, 5; 8, 5)$ . Entonces $d = (2, 5 - 0)^{2} + (8, 5 - 6)^{2} = 12, 5 = 3, 54 km$

Para el examen: puntúan por separado el punto medio, la pendiente perpendicular, la ecuación y el sistema. Escribe qué recta cortas con cuál en cada apartado y deja la raíz con los números antes del decimal. Comprobar $P A = P B$ es una buena forma de detectar un error.

Errores típicos

Resumen

La distancia de un punto $A$ a una recta $r$ es la longitud del segmento perpendicular $A D$ (con $D$ en $r$ ); es el camino más corto.
Método: pendiente de $r$ , pendiente perpendicular, recta por $A$ , punto $D$ de corte (con la CPG) y distancia $A D$ .
La mediatriz de $A B$ es la recta perpendicular a $A B$ por su punto medio $M$ .
Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de $A$ que de $B$ ( $P A = P B$ ), y solo ellos.
Pasos: punto medio, pendiente de $A B$ , pendiente perpendicular, ecuación punto-pendiente.
Para ubicar un punto equidistante de $A$ y $B$ sobre otra recta, se cortan la mediatriz y esa recta.
Comprueba tus respuestas: $m \cdot m^{'} = - 1$ y $P A = P B$ .

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp