IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 3 de 7

Reglas de derivación

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Derivar es aplicar unas pocas reglas a cada término de la función. Con ellas se derivan polinomios y expresiones con potencias, incluidos exponentes negativos y fraccionarios, que son las que más aparecen en el examen.

Derivadas básicas

La regla de la potencia

Para potencias de $x$ hay una regla general que sirve para cualquier exponente.

Constantes, sumas y diferencias

Exponentes negativos y fraccionarios

En el examen aparecen funciones como $\frac{1}{x ^{2}}$ o $x$ . Antes de derivar, escríbelas como potencias de $x$ : $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ , $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ y $x = x^{1/2}$ . Así la regla de la potencia sigue valiendo sin cambios.

Desarrollar antes de derivar

En este tema basta con desarrollar. Si la función es un producto de un monomio por un polinomio, como $x (3 x^{2} - 1)$ , desarróllala primero para obtener $3 x^{3} - x$ y deriva después. Así no tienes que recordar ninguna regla adicional, y el resultado es más fácil de comprobar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un polinomio de grado cuatro

Sea $f (x) = 6 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x - 9$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Halla $f^{'} (1)$ .

Solución

a) Derivamos término a término:

$6 x^{4} \to 6 \cdot 4 x^{3} = 24 x^{3}$
$- 5 x^{2} \to - 5 \cdot 2 x = - 10 x$
$3 x \to 3$
$- 9 \to 0$

Por tanto $f^{'} (x) = 24 x^{3} - 10 x + 3$ .

b) Sustituimos $x = 1$ : $f^{'} (1) = 24 - 10 + 3 = 17$ .

Ejemplo 2 Medio

Desarrollar y exponentes negativos

Sean $g (x) = x (3 x^{2} - 1)$ y $h (x) = \frac{6}{x ^{2}} - \frac{1}{x}$ , con $x \neq = 0$ .

a) Halla $g^{'} (x)$ .

b) Halla $h^{'} (x)$ y escríbelo sin exponentes negativos.

c) Calcula $h^{'} (2)$ .

Solución

a) Desarrollamos primero: $g (x) = 3 x^{3} - x$ . Entonces $g^{'} (x) = 9 x^{2} - 1$

b) Escribimos $h (x) = 6 x^{- 2} - x^{- 1}$ . Derivamos cada término: $6 x^{- 2} \to 6 \cdot (- 2) x^{- 3} = - 12 x^{- 3}$ $- x^{- 1} \to - (- 1) x^{- 2} = x^{- 2}$ Así que $h^{'} (x) = - 12 x^{- 3} + x^{- 2} = - \frac{12}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}}$

c) $h^{'} (2) = - \frac{12}{8} + \frac{1}{4} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = - \frac{5}{4}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Dos constantes y dos condiciones

La curva $y = p x^{3} + q x$ , con $p$ y $q$ constantes, pasa por el punto $(1, 4)$ . En $x = 1$ , su pendiente es $7$ .

a) Halla $p$ y $q$ .

b) Con los valores de $p$ y $q$ del apartado anterior, halla $\frac{d y}{d x}$ .

Solución

a) Que la curva pase por $(1, 4)$ significa $p + q = 4$ . La derivada es $\frac{d y}{d x} = 3 p x^{2} + q$ y la pendiente en $x = 1$ es $3 p + q = 7$ . Tenemos el sistema ${p + q 3 p + q = 4 = 7$ Restando la primera ecuación a la segunda, $2 p = 3$ , así que $p = \frac{3}{2}$ , y entonces $q = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ .

Comprobación: $3 \cdot \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = 7$ .

b) Sustituyendo, $\frac{d y}{d x} = 3 \cdot \frac{3}{2} x^{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} x^{2} + \frac{5}{2}$

En el examen: con dos constantes hacen falta dos ecuaciones, y cada condición se traduce en una ecuación: el punto da una ecuación con la función, y la pendiente da otra con la derivada. Si solo escribes una, no puedes obtener los dos valores.

Errores típicos

Resumen

La derivada de una constante es $0$ , y la de $x$ es $1$ .
Regla de la potencia: si $f (x) = x^{n}$ , entonces $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ , para cualquier exponente real.
Las constantes salen fuera, y la derivada se reparte entre sumas y restas término a término.
Escribe $\frac{1}{x ^{m}}$ como $x^{- m}$ y $x$ como $x^{1/2}$ antes de derivar.
Si un producto es sencillo, desarróllalo antes de derivar.

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp