IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 6 de 7

Primitivas de potencias e integral indefinida

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Integrar es deshacer la derivada: dada $f$ , buscamos una primitiva $F$ cuya derivada sea $f$ . En el examen aparece sobre todo con potencias y polinomios, y casi siempre viene acompañado de una condición que permite calcular la constante que aparece en el resultado.

Primitivas y la constante de integración

Si $F$ es una primitiva de $f$ , también lo es $F (x) + C$ para cualquier número $C$ , porque la derivada de una constante es cero. Por eso una función tiene infinitas primitivas, que se diferencian solo en una constante.

Para revisar un resultado, deriva la respuesta: debes obtener el integrando. Es la comprobación más rápida y la que evita casi todos los errores.

La regla de la potencia

Integrar una potencia es el proceso inverso de derivarla. Al derivar, el exponente baja una unidad y multiplica a la potencia; al integrar, el exponente sube una unidad y la potencia se divide entre el nuevo exponente.

Constantes, sumas y múltiplos

Con la regla de la potencia y tres propiedades más se integra cualquier polinomio, término a término.

Hallar una primitiva con una condición

Una primitiva general tiene una constante $C$ sin valor. Para determinar una curva concreta, el enunciado da un punto por el que pasa, y ese punto fija $C$ .

Con un parámetro en la derivada, cada condición da una ecuación. Dos condiciones permiten calcular la constante de integración y el parámetro a la vez.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Primitiva que pasa por un punto

La función $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1$ es la derivada de una función $F$ . Halla la primitiva $F$ que cumple $F (0) = 5$ .

Solución

Integramos término a término: $F (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = \frac{6 x ^{3}}{3} - \frac{4 x ^{2}}{2} + x + C = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$ La condición $F (0) = 5$ da $F (0) = C$ , así que $C = 5$ .

Comprobación: $F (0) = 0 - 0 + 0 + 5 = 5$ , y la derivada de $2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 5$ es $6 x^{2} - 4 x + 1$ , que es $f$ .

Respuesta: $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 5$ .

Ejemplo 2 Medio

Agua que entra en un depósito

Un depósito de agua recibe agua a un ritmo de $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 20$ litros por minuto, para $0 \leq t \leq 10$ , donde $t$ es el tiempo en minutos. Al empezar a medir ( $t = 0$ ), el depósito tiene $150$ litros.

a) Halla la función $V (t)$ que da la cantidad de agua del depósito en el instante $t$ .

b) Calcula la cantidad de agua que hay a los $4$ minutos.

Solución

a) La cantidad de agua es la primitiva del ritmo de entrada: $V (t) = \int (3 t^{2} - 12 t + 20) d t = t^{3} - 6 t^{2} + 20 t + C$ Como $V (0) = 150$ y $V (0) = C$ , tenemos $C = 150$ . Por tanto $V (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 20 t + 150$

b) Sustituimos $t = 4$ : $V (4) = 4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + 20 \cdot 4 + 150 = 64 - 96 + 80 + 150 = 198$ A los $4$ minutos hay $198$ litros en el depósito.

Respuesta: $V (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 20 t + 150$ , y a los $4$ minutos hay $198$ litros.

Ejemplo 3 Difícil

Parámetro en la derivada

La derivada de una función $f$ es $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x$ , donde $a$ es un número real. Se sabe que $f (0) = 1$ y que $f (1) = 4$ .

a) Halla el valor de $a$ .

b) Escribe la función $f (x)$ completa.

Solución

a) Integramos la derivada: $f (x) = \int (3 x^{2} + 2 a x) d x = x^{3} + a x^{2} + C$ Con $f (0) = 1$ se obtiene $C = 1$ , así que $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ . La segunda condición da $f (1) = 1 + a + 1 = 4 \Rightarrow a = 2$

b) Con $a = 2$ , la función es $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 1$ .

Comprobación: $f (0) = 1$ , $f (1) = 1 + 2 + 1 = 4$ , y $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x = 3 x^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x$ , que coincide con la derivada dada.

En el examen: cada condición da una ecuación. Con un parámetro y una constante, necesitas dos condiciones, y el examen puntúa tanto el valor de $a$ como la función final.

Errores típicos

Resumen

Una primitiva de $f$ es una función cuya derivada es $f$ . Todas las primitivas difieren en una constante $C$ .
Regla de la potencia: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ para $n \neq = - 1$ .
Las constantes multiplicativas salen fuera, y la integral de una suma es la suma de las integrales.
Para hallar $f$ con una condición, integra, sustituye el punto y calcula $C$ .
Comprueba siempre el resultado derivándolo.

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