IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 2 de 7

Recta tangente y recta normal

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La recta tangente a una curva en un punto es la recta que la imita en ese punto y tiene pendiente $f^{'} (a)$ . La recta normal es la perpendicular a la tangente en el mismo punto. Con las dos se resuelven muchos problemas de tangentes en el examen.

La recta tangente

Una recta queda fijada por un punto y una pendiente: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ . Para la tangente en el punto de abscisa $a$ conocemos los dos datos:

el punto es $(a, f (a))$ , con la ordenada calculada en la función;
la pendiente es $f^{'} (a)$ , el valor de la derivada en $a$ .

Si el enunciado pide la tangente con otra recta paralela o perpendicular, no tienes que buscar el punto a ojo. Basta con igualar $f^{'} (a)$ a la pendiente que te dan y despejar $a$ .

La recta normal

Curva y = x² + 3x − 1 para −1 ≤ x ≤ 4 con el punto P(1; 3), la recta tangente y = 5x − 2 (discontinua) y la recta normal y = −x/5 + 16/5

Cómo escribir las dos rectas

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tangente y normal en x = 1

Sea $f (x) = x^{2} + 3 x - 1$ . Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ . Da las dos en la forma $y = m x + n$ .

a) Recta tangente.

b) Recta normal.

Solución

Primero el punto: $f (1) = 1 + 3 - 1 = 3$ , así que el punto es $(1, 3)$ .

La derivada es $f^{'} (x) = 2 x + 3$ , y la pendiente en $x = 1$ es $f^{'} (1) = 5$ .

a) Tangente: $y - 3 = 5 (x - 1) \Rightarrow y = 5 x - 2$

b) La pendiente de la normal es $- \frac{1}{5}$ : $y - 3 = - \frac{1}{5} (x - 1) \Rightarrow y = - \frac{1}{5} x + \frac{16}{5}$ Comprobación: para $x = 1$ la normal da $y = - \frac{1}{5} + \frac{16}{5} = 3$ , que es el punto.

Ejemplo 2 Medio

Tangente paralela a una recta

Sea $f (x) = x^{3} - 6 x + 1$ .

a) Halla las abscisas de los puntos de la gráfica en los que la tangente es paralela a la recta $y = 6 x$ .

b) Halla la ecuación de la recta tangente en $x = - 1$ .

Solución

a) Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. La pendiente de $y = 6 x$ es $6$ , así que buscamos los $x$ con $f^{'} (x) = 6$ . La derivada es $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6$ : $3 x^{2} - 6 = 6 \Rightarrow 3 x^{2} = 12 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ Comprobamos los puntos: $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ y $f (- 2) = - 8 + 12 + 1 = 5$ . Los puntos son $(2, - 3)$ y $(- 2, 5)$ , y en ambos la pendiente de la tangente es $6$ .

b) En $x = - 1$ : $f (- 1) = - 1 + 6 + 1 = 6$ y $f^{'} (- 1) = 3 - 6 = - 3$ . La tangente es $y - 6 = - 3 (x + 1) \Rightarrow y = - 3 x + 3$

Ejemplo 3 Difícil

Tangente, normal y un parámetro

Sea $f (x) = k x^{2} + x$ , con $k$ un número real.

a) Halla la pendiente de la tangente en $x = 2$ en función de $k$ .

b) La tangente en $x = 2$ es paralela a la recta $3 x - y + 1 = 0$ . Halla $k$ .

c) Con el valor de $k$ del apartado anterior, escribe la ecuación de la recta normal en $x = 2$ en la forma $y = m x + n$ .

Solución

a) La derivada es $f^{'} (x) = 2 k x + 1$ , así que $f^{'} (2) = 4 k + 1$ Esa es la pendiente de la tangente en $x = 2$ .

b) La recta $3 x - y + 1 = 0$ se escribe $y = 3 x + 1$ , y su pendiente es $3$ . Para que la tangente sea paralela, debe cumplirse $4 k + 1 = 3$ , es decir, $k = \frac{1}{2}$ .

c) Con $k = \frac{1}{2}$ , el punto es $(2, f (2))$ con $f (2) = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 4$ . La pendiente de la tangente es $f^{'} (2) = 3$ , así que la pendiente de la normal es $- \frac{1}{3}$ : $y - 4 = - \frac{1}{3} (x - 2) \Rightarrow y = - \frac{1}{3} x + \frac{14}{3}$

En el examen: el parámetro $k$ se despeja de una condición sobre la pendiente, y esa condición tiene que quedar escrita antes de despejar. En la normal, no olvides el signo menos ni la inversa de la pendiente: una normal con pendiente $3$ en vez de $- \frac{1}{3}$ no es perpendicular.

Errores típicos

Resumen

La tangente en $x = a$ es $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ : pasa por $(a, f (a))$ y tiene pendiente $f^{'} (a)$ .
La normal es perpendicular a la tangente: $y - f (a) = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a)$ si $f^{'} (a) \neq = 0$ .
Si la tangente es paralela o perpendicular a una recta dada, iguala $f^{'} (a)$ a la pendiente correspondiente y despeja.
Escribe siempre el punto con su ordenada $f (a)$ antes de dar la ecuación.

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