IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 4 de 7

Crecimiento, máximos y mínimos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La derivada dice si una función sube o baja en cada tramo, y dónde cambia de sentido. Así se localizan los máximos y los mínimos relativos, que son la base de los problemas de optimización. En el examen se pide casi siempre con una tabla de signos o con la gráfica de $f^{'}$ .

Crecimiento según el signo de f′

La pendiente de la tangente indica si la gráfica sube o baja en ese punto. Si $f^{'} (x) > 0$ en un intervalo, todas las tangentes suben y la función crece. Si $f^{'} (x) < 0$ , todas bajan y la función decrece.

Puntos estacionarios y extremos relativos

Arriba, gráfica de f(x) = x³ − 6x² + 9x entre x = −1 y x = 5, con el máximo relativo (1; 4) y el mínimo relativo (3; 0). Abajo, el signo de f′: positivo en (−1, 1), negativo en (1, 3) y positivo en (3, 5)

Tabla de signos

Los ceros de $f^{'}$ dividen la recta real en intervalos. Dentro de cada intervalo, $f^{'}$ no cambia de signo, así que basta con un valor de prueba para saber el signo en todo el intervalo. Para resumirlo, se usa una tabla como esta:

Intervalo	$] - \infty, x_{1} [$	$] x_{1}, x_{2} [$	$] x_{2}, + \infty [$
Signo de $f^{'}$	$+$	$-$	$+$
Comportamiento de $f$	creciente	decreciente	creciente

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un mínimo con una parábola

Sea $f (x) = x^{2} - 8 x + 3$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Halla la abscisa del extremo relativo de $f$ .

Solución

a) $f^{'} (x) = 2 x - 8$ .

b) Igualamos la derivada a cero: $2 x - 8 = 0$ , luego $x = 4$ . Para $x < 4$ la derivada es negativa (por ejemplo, $f^{'} (0) = - 8$ ), así que $f$ decrece. Para $x > 4$ es positiva (por ejemplo, $f^{'} (5) = 2$ ), así que $f$ crece. La derivada pasa de $-$ a $+$ , luego en $x = 4$ hay un mínimo relativo.

Ejemplo 2 Medio

Crecimiento de una curva cúbica

Sea $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

a) Halla $f^{'} (x)$ y factorízala.

b) Halla los valores de $x$ donde $f^{'} (x) = 0$ .

c) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ .

d) Halla el valor de $f$ en el máximo relativo y en el mínimo relativo.

Solución

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$ .

b) $f^{'} (x) = 0$ cuando $x = 1$ o $x = 3$ .

c) Tabla de signos:

Intervalo	$] - \infty, 1 [$	$] 1, 3 [$	$] 3, + \infty [$
Signo de $f^{'}$	$+$	$-$	$+$
Comportamiento de $f$	creciente	decreciente	creciente

Por tanto, $f$ crece en $] - \infty, 1 [$ y en $] 3, + \infty [$ , y decrece en $] 1, 3 [$ . Por ejemplo, $f^{'} (0) = 9 > 0$ y $f^{'} (2) = - 3 < 0$ confirman los signos.

d) La derivada pasa de $+$ a $-$ en $x = 1$ , así que hay un máximo relativo. Su valor es $f (1) = 1 - 6 + 9 = 4$ . En $x = 3$ , la derivada pasa de $-$ a $+$ , así que hay un mínimo relativo, con $f (3) = 27 - 54 + 27 = 0$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una función creciente en todo ℝ

Sea $f (x) = x^{3} + k x^{2} + 3 x$ , con $k$ un número real.

a) Halla $f^{'} (x)$ .

b) Halla el mayor entero positivo $k$ para el que $f$ es creciente en todo $R$ .

Solución

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 k x + 3$ .

b) Para que $f$ sea creciente en todo $R$ , la derivada tiene que ser mayor o igual que $0$ para todo $x$ , y solo puede anularse en puntos aislados. Como $f^{'}$ es una parábola con coeficiente principal positivo, esto ocurre cuando no tiene dos raíces reales distintas. La condición es que el discriminante no sea positivo: $(2 k)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 \leq 0 \Rightarrow 4 k^{2} \leq 36 \Rightarrow k^{2} \leq 9 \Rightarrow - 3 \leq k \leq 3$ El mayor entero positivo que cumple la condición es $k = 3$ .

Comprobación: con $k = 3$ , $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x + 1)^{2} \geq 0$ , y solo se anula en $x = - 1$ . Con $k = 4$ , en cambio, $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 8 x + 3$ tiene dos raíces reales distintas, $x = \frac{- 4 \pm 7}{3}$ , y entre ellas es negativa (por ejemplo, $f^{'} (- 1) = - 2$ ). Así que $f$ deja de ser creciente en todo $R$ .

En el examen: para que una función sea creciente en todo $R$ hay que justificar que $f^{'} \geq 0$ para todo $x$ , no solo dar el valor de $k$ . Sin el argumento con el discriminante o con un cuadrado perfecto, la respuesta no se puntúa completa.

Errores típicos

Resumen

Si $f^{'} (x) > 0$ en un intervalo, $f$ es creciente en él; si $f^{'} (x) < 0$ , es decreciente.
Un punto estacionario cumple $f^{'} (x_{0}) = 0$ , pero solo es máximo o mínimo si $f^{'}$ cambia de signo en él.
Máximo relativo: $f^{'}$ pasa de $+$ a $-$ . Mínimo relativo: $f^{'}$ pasa de $-$ a $+$ .
Estudia el signo de $f^{'}$ con una tabla y escribe los intervalos con la notación $] a, b [$ .
Da los extremos como puntos $(x_{0}, f (x_{0}))$ .

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