IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 7 de 7

Integral definida, área bajo una curva y regla del trapecio

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La integral definida mide un área: la que queda entre la gráfica de una función, el eje $O X$ y dos rectas verticales. En el examen la calculas con la CPG o con una primitiva. Cuando no es posible, aproximas el área con trapecios y calculas el error que cometes.

Integral definida y área

Gráfica de f(x) = x³ − 4x, con cortes con el eje OX en (−2, 0), (0, 0) y (2, 0), máximo local (−1,15; 3,08) y mínimo local (1,15; −3,08); región entre x = −2 y x = 0 sobre el eje en verde y región entre x = 0 y x = 2 bajo el eje en naranja

Cuando la gráfica cruza el eje, la integral resta el área que queda por debajo a la que queda por encima. Por eso, para el área total, hay que partir el intervalo en los cortes con el eje y sumar los valores absolutos de cada trozo.

La regla del trapecio

Cuando no conoces una primitiva, o cuando el enunciado da solo algunos valores de la función, puedes aproximar la integral con trapecios. Se divide $[a, b]$ en $n$ subintervalos de igual anchura $h$ , y en cada uno la gráfica se sustituye por una recta que une los dos puntos. El área de cada trapecio es la media de sus bases por su altura. Sumando los $n$ trapecios, los valores intermedios aparecen dos veces, y de ahí sale el factor $2$ .

Curva f(x) = x³ + 1 entre x = 0 y x = 2 con los puntos (0, 1), (1, 2) y (2, 9) y dos trapecios apoyados en el eje OX sobre (0, 1) y (1, 2) cuyos lados superiores son cuerdas de la curva

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Área bajo una recta

La función $f (x) = 2 x + 1$ es positiva en el intervalo $[1, 4]$ . Calcula el área de la región limitada por su gráfica, el eje $O X$ y las rectas $x = 1$ y $x = 4$ .

Solución

Como $f (x) > 0$ en $[1, 4]$ , el área es la integral definida: $\int_{1}^{4} (2 x + 1) d x$ Una primitiva es $F (x) = x^{2} + x$ . Entonces $\int_{1}^{4} (2 x + 1) d x = F (4) - F (1) = (16 + 4) - (1 + 1) = 20 - 2 = 18$

Comprobación: la gráfica es una recta, así que un único trapecio da el valor exacto. Los valores en los extremos son $f (1) = 3$ y $f (4) = 9$ , y el trapecio tiene altura $3$ : su área es $\frac{3 + 9}{2} \cdot 3 = 18$ .

Respuesta: el área es $18$ unidades cuadradas.

Ejemplo 2 Medio

Curva que cruza el eje

Considera la función $f (x) = x^{3} - 4 x$ en el intervalo $[- 2, 2]$ .

a) Calcula $\int_{- 2}^{2} f (x) d x$ .

b) Calcula el área total limitada por la gráfica de $f$ y el eje $O X$ entre $x = - 2$ y $x = 2$ .

Solución

a) Una primitiva de $f$ es $F (x) = \frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2}$ . Entonces $\int_{- 2}^{2} (x^{3} - 4 x) d x = F (2) - F (- 2) = (4 - 8) - (4 - 8) = - 4 - (- 4) = 0$

b) Los cortes con el eje $O X$ son $x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2) = 0$ , es decir, $x = - 2$ , $x = 0$ y $x = 2$ . Entre $- 2$ y $0$ la gráfica está por encima del eje, porque $f (- 1) = 3 > 0$ . Entre $0$ y $2$ está por debajo, porque $f (1) = - 3 < 0$ . Por tanto: $a ˊ rea = \int_{- 2}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{2} f (x) d x$ Calculamos cada trozo: $\int_{- 2}^{0} f (x) d x = F (0) - F (- 2) = 0 - (- 4) = 4 \int_{0}^{2} f (x) d x = F (2) - F (0) = - 4$ El área es $4 - (- 4) = 8$ unidades cuadradas.

Las dos respuestas son distintas porque en el apartado a) se restan el área positiva y la negativa, que son iguales en valor absoluto y se anulan.

Ejemplo 3 Difícil

Trapecios sobre una curva que sube

Se quiere aproximar la integral $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x$ con la regla del trapecio.

a) Calcula la aproximación con $n = 2$ .

b) Calcula la aproximación con $n = 4$ .

c) Halla el valor exacto y el error porcentual de la aproximación con $n = 4$ . Escribe el error como fracción exacta.

Solución

a) Con $n = 2$ la anchura es $h = \frac{2 - 0}{2} = 1$ . Los puntos son $x = 0$ , $1$ y $2$ , con valores $y_{0} = 1$ , $y_{1} = 2$ e $y_{2} = 9$ : $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x \approx \frac{1}{2} [1 + 2 \cdot 2 + 9] = \frac{14}{2} = 7$

b) Con $n = 4$ la anchura es $h = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$ . Los puntos son $0$ , $\frac{1}{2}$ , $1$ , $\frac{3}{2}$ y $2$ , con valores $1$ , $\frac{9}{8}$ , $2$ , $\frac{35}{8}$ y $9$ . Como $\frac{35}{8} = \frac{27}{8} + 1$ , el valor en $x = \frac{3}{2}$ es $\frac{35}{8}$ . Entonces $\int_{0}^{2} (x^{3} + 1) d x \approx \frac{1/2}{2} [1 + 2 (\frac{9}{8} + 2 + \frac{35}{8}) + 9] = \frac{1}{4} \cdot 25 = \frac{25}{4}$

c) Una primitiva es $F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + x$ , así que el valor exacto es $F (2) - F (0) = (4 + 2) - 0 = 6$ . El error porcentual con $n = 4$ es $\frac{\frac{25}{4} - 6}{6} \times 100 = \frac{\frac{1}{4}}{6} \times 100 = \frac{25}{6} % \approx 4, 17 %$ Con $n = 2$ el error sería $\frac{∣7 - 6∣}{6} \times 100 \approx 16, 7 %$ . Al duplicar los subintervalos el error baja mucho, y el trapecio sobreestima porque la curva se curva hacia arriba.

En el examen: escribe la anchura $h$ y la fórmula con los números antes del resultado, y no olvides que los puntos intermedios llevan el factor $2$ . Un error de $h$ invalida toda la aproximación.

Errores típicos

Resumen

La integral definida $\int_{a}^{b} f (x) d x$ es el área con signo entre la gráfica, el eje $O X$ y las rectas $x = a$ y $x = b$ .
Si la curva cruza el eje, parte el intervalo en los cortes y suma los valores absolutos de cada trozo para el área total.
Con una primitiva $F$ , $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . La CPG da el mismo resultado.
Regla del trapecio: $h = \frac{b - a}{n}$ y $\frac{h}{2} [y_{0} + 2 (y_{1} + \dots + y_{n - 1}) + y_{n}]$ .
El error porcentual compara la aproximación con el valor exacto. Con más subintervalos, el error baja.

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