IB Aplicaciones e Interpretación NM · Cálculo diferencial e integral · Apartado 5 de 7

Optimización: máximos y mínimos en problemas de contexto

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un problema de optimización pide el valor que hace máxima o mínima una cantidad: el mayor volumen, el menor gasto o el beneficio más alto. Con derivadas se resuelve siempre igual: expresar la cantidad con una sola variable, derivar, hallar dónde $f^{'} (x) = 0$ y comprobar que ese punto es el máximo o el mínimo que se busca.

Plantear la función

Lo más difícil de estos problemas suele ser escribir la función, no derivarla. La cantidad que quieres optimizar es la función objetivo. El enunciado casi siempre da además una restricción, una condición que relaciona las variables: una longitud total, un volumen fijo o un número de unidades. Úsala para eliminar una de las variables. Despeja una de ellas de la restricción y sustitúyela en la función objetivo. Así acabas con una función de una sola variable.

Comprobar si es máximo o mínimo

La solución de $f^{'} (x) = 0$ indica dónde puede estar el extremo, pero no dice si es un máximo o un mínimo. Para saberlo, mira el signo de $f^{'} (x)$ a cada lado del punto. Si la derivada pasa de positiva a negativa, la función deja de crecer y empieza a decrecer: hay un máximo. Si pasa de negativa a positiva, hay un mínimo. También puedes dibujar la función con la CPG y leer las coordenadas del punto más alto o más bajo.

Gráfica de la función de beneficio B(x) = −x³ + 12x² − 36x + 40 entre x = 3 y x = 8, con el máximo en (6; 40) y el valor final (8; 8), y la recta vertical discontinua en x = 6

Mira la gráfica de la fábrica de bicicletas del tercer ejemplo: el máximo está en un punto interior del intervalo y el mínimo en un extremo, y no tiene derivada nula.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Corral junto a un muro

Un ganadero quiere construir un corral rectangular junto a un muro recto. El muro hace de uno de los lados, así que solo necesita valla para los otros tres. Dispone de $40$ m de valla. Llamamos $x$ a la longitud de cada uno de los dos lados perpendiculares al muro, e $y$ a la del lado paralelo al muro.

a) Escribe el área del corral en función de $x$ .

b) Halla las dimensiones que dan el área máxima, y esa área.

Solución

a) La valla suma $40$ m: dos lados de longitud $x$ y un lado de longitud $y$ . Entonces $2 x + y = 40$ , y despejamos $y = 40 - 2 x$ . El área es $A = x \cdot y = x (40 - 2 x) = 40 x - 2 x^{2}$

b) Derivamos y resolvemos $A^{'} (x) = 0$ : $A^{'} (x) = 40 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 10$ Entonces $y = 40 - 2 \cdot 10 = 20$ . Comprobamos el tipo de extremo: $A^{'} (5) = 20 > 0$ y $A^{'} (15) = - 20 < 0$ , así que el área crece hasta $x = 10$ y decrece después. Es un máximo. El área máxima es $A (10) = 40 \cdot 10 - 2 \cdot 1 0^{2} = 200$

Respuesta: el corral tiene $10$ m de lado perpendicular al muro y $20$ m de lado paralelo, con un área máxima de $200 m^{2}$ .

Ejemplo 2 Medio

Caja sin tapa de volumen fijo

Una empresa fabrica cajas sin tapa de base cuadrada. Cada caja debe tener un volumen de $108$ cm³. Llamamos $x$ al lado de la base, en cm, y $h$ a la altura, en cm.

a) Escribe la superficie total de cartón de la caja en función de $x$ . La superficie incluye la base y las cuatro caras laterales.

b) Halla el lado de la base y la altura que hacen mínima la cantidad de cartón, y esa cantidad mínima.

Solución

a) El volumen es $x^{2} h = 108$ , así que $h = \frac{108}{x ^{2}}$ . La superficie es la base, $x^{2}$ , más las cuatro caras laterales, $4 x h$ : $S = x^{2} + 4 x h = x^{2} + 4 x \cdot \frac{108}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{432}{x}$

b) Derivamos y resolvemos $S^{'} (x) = 0$ : $S^{'} (x) = 2 x - \frac{432}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow 2 x^{3} = 432 \Rightarrow x^{3} = 216 \Rightarrow x = 6$ La altura es $h = \frac{108}{6 ^{2}} = 3$ . Para comprobar el mínimo: $S^{'} (5) = 10 - \frac{432}{25} \approx - 7, 3 < 0$ y $S^{'} (7) = 14 - \frac{432}{49} \approx 5, 2 > 0$ . La derivada pasa de negativa a positiva, así que es un mínimo. La superficie mínima es $S (6) = 36 + \frac{432}{6} = 108$

Respuesta: la base mide $6$ cm de lado y la altura $3$ cm; la cantidad mínima de cartón es $108$ cm².

Ejemplo 3 Difícil

Fábrica de bicicletas con capacidad limitada

Una fábrica de bicicletas eléctricas estima su beneficio mensual, en miles de euros, según el número de bicicletas que fabrica. Si fabrica $x$ centenares de bicicletas, el beneficio es $B (x) = - x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + 40, 3 \leq x \leq 8$ El intervalo viene de la capacidad de la fábrica: nunca fabrica menos de $300$ ni más de $800$ bicicletas al mes.

a) Halla los valores de $x$ en los que $B^{'} (x) = 0$ y di cuáles están dentro del intervalo.

b) Halla el número de bicicletas que maximiza el beneficio y el beneficio máximo.

c) Halla el beneficio mínimo que puede obtener la fábrica dentro de ese intervalo, y el número de bicicletas en el que se alcanza.

Solución

a) Derivamos y factorizamos: $B^{'} (x) = - 3 x^{2} + 24 x - 36 = - 3 (x^{2} - 8 x + 12) = - 3 (x - 2) (x - 6)$ Los valores que anulan la derivada son $x = 2$ y $x = 6$ . Solo $x = 6$ está dentro de $[3, 8]$ .

b) Estudiamos el signo de $B^{'} (x)$ en el intervalo. Por ejemplo, $B^{'} (4) = - 3 \cdot 2 \cdot (- 2) = 12 > 0$ y $B^{'} (7) = - 3 \cdot 5 \cdot 1 = - 15 < 0$ . La función crece hasta $x = 6$ y decrece después, así que $x = 6$ es un máximo. Con esa cantidad: $B (6) = - 216 + 432 - 216 + 40 = 40$ El beneficio máximo es de $40$ miles de euros, con $600$ bicicletas.

c) Como $x = 2$ queda fuera del intervalo, el mínimo no puede estar en un punto con derivada nula dentro de $[3, 8]$ . Comparamos los extremos y el máximo: $B (3) = - 27 + 108 - 108 + 40 = 13 B (6) = 40 B (8) = - 512 + 768 - 288 + 40 = 8$ El valor más bajo es $8$ , en $x = 8$ , es decir, con $800$ bicicletas. El beneficio mínimo es de $8$ miles de euros.

En el examen: el punto $x = 2$ es un mínimo local, pero queda fuera de la fábrica. Si el intervalo tiene extremos, evalúa siempre los extremos además de los puntos donde $f^{'} (x) = 0$ .

Errores típicos

Resumen

Un problema de optimización se resuelve en cuatro pasos: función objetivo, restricción, derivada igualada a cero y comprobación.
Con una restricción, reduce la función a una sola variable antes de derivar.
Para saber si $f^{'} (x) = 0$ da un máximo o un mínimo, mira el cambio de signo de $f^{'} (x)$ , o usa la gráfica con la CPG.
Si la variable está en un intervalo cerrado, compara los puntos con $f^{'} (x) = 0$ con los extremos del intervalo.
Responde en contexto, con unidades, y a la pregunta que se hace.

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