Límites y concepto de derivada

La idea de límite

Si $x$ se acerca a $a$ sin llegar a valer $a$, los valores de $f(x)$ pueden acercarse a un número $L$. Eso es un límite. Lo que importa es lo que ocurre alrededor de $a$, no en $a$ mismo: la función puede no estar definida en $a$, o valer otra cosa allí, y el límite existe igualmente.

Límites laterales

A veces el comportamiento cambia según el lado por el que nos acercamos a $a$. Por eso se usan los límites laterales:

• ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$: $x$ se acerca a $a$ por la izquierda, es decir, con $x<a$.
• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$: $x$ se acerca a $a$ por la derecha, es decir, con $x>a$.

Si los dos límites laterales valen lo mismo, $L$, el límite en $a$ existe y vale $L$. Si valen distinto, o si alguno no existe, el límite en $a$ no existe. Es como cruzar un puente: hay que llegar al mismo punto viniendo de los dos lados.

Calcular límites con la CPG

Hay dos formas de estimar un límite: mirando la gráfica de la función y mirando una tabla de valores. En la tabla eliges valores de $x$ cada vez más cercanos a $a$, unos por la izquierda y otros por la derecha, y observas hacia qué número se acercan los valores de $f(x)$.

La derivada como límite

¿Qué pendiente tiene una curva en un punto? Una curva no tiene una pendiente fija, pero sí una recta tangente en cada punto. Para aproximarla, tomamos dos puntos de la gráfica, $P(a,f(a))$ y $Q(a+h,f(a+h))$. La recta que los une es una secante, y su pendiente es

$$m_{PQ}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Este cociente se llama cociente incremental: cuánto cambia $y$ dividido entre cuánto cambia $x$. Si $Q$ se acerca a $P$, es decir, si $h$ se acerca a $0$, la secante se acerca a la tangente y su pendiente tiende a la pendiente de la tangente.

Para $y=f(x)$, la derivada también se escribe $\frac{dy}{dx}$ (notación de Leibniz), que se lee «derivada de $y$ respecto de $x$».