Ejercicios IB del tema 3

a) El área de un círculo es $\pi R^2$.

1. $\pi R^2=36\pi$, así que $R^2=36$.
2. $R=6$ cm (descartamos la raíz negativa, porque una longitud es positiva).

Resultado: $R=6$ cm

b) El triángulo $AOB$ es isósceles, con $OA=OB=6$ cm y el ángulo entre ellos de $110^{\circ }$. Conocemos dos lados y el ángulo que forman: usamos el teorema del coseno.

1. $A{B}^2=6^2+6^2-2\cdot 6\cdot 6\cdot \cos 110^{\circ }=72-72\cos 110^{\circ }$.
2. Con la CPG en grados: $A{B}^2\approx 72+24,63\approx 96,63$.
3. $AB\approx 9,83$ cm.

Comprobación: la altura desde $O$ divide el triángulo en dos rectángulos con ángulo $55^{\circ }$, y $AB=2\cdot 6\sin 55^{\circ }\approx 9,83$ cm.

Resultado: $AB\approx 9,83$ cm

c) El área del cuadrado es $L^2$ y debe ser igual a la del círculo.

1. $L^2=36\pi$.
2. $L=\sqrt{36\pi }=6\sqrt{\pi }\approx 10,6$ cm.

Resultado: $L\approx 10,6$ cm

Resultado: a) $R=6$ cm; b) $AB\approx 9,83$ cm; c) $L\approx 10,6$ cm

Con la CPG en modo grados.

a) Un kilómetro son 1000 metros.

1. $TS=\frac{328}{1000}$ km.

Resultado: $TS=0,328$ km

b) El ángulo de elevación desde $B$ hasta $T$ es el que forma la horizontal $BS$ con la línea de visión $BT$. Se rotula con $x$ el ángulo del vértice $B$ del triángulo $TSB$, entre $BS$ y $BT$.

Resultado: $x$ es el ángulo $T\hat{B}S$, en el vértice $B$.

c) El triángulo $TSB$ es rectángulo en $S$. Respecto de $x$, $TS$ es el cateto opuesto y $BS$ el cateto contiguo, así que usamos la tangente.

1. $\tan x=\frac{TS}{BS}=\frac{0,328}{3}$.
2. $x=\arctan \left(\frac{0,328}{3}\right)\approx 6,24^{\circ }$.

Resultado: $x\approx 6,24^{\circ }$

d) Usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo $TSB$, con $TB$ como hipotenusa y las dos longitudes en kilómetros.

1. $T{B}^2=T{S}^2+B{S}^2=0,328^2+3^2=0,107584+9=9,107584$.
2. $TB=\sqrt{9,107584}\approx 3,018$ km.

Comprobación con el seno: $TB=\frac{TS}{\sin x}=\frac{0,328}{\sin 6,24^{\circ }}\approx 3,02$ km.

Resultado: $TB\approx 3,02$ km

Resultado: a) $0,328$ km; b) $x=T\hat{B}S$; c) $x\approx 6,24^{\circ }$; d) $TB\approx 3,02$ km

a) El ángulo de depresión es el que forma la horizontal trazada desde la cima del acantilado (hacia el mar) con la línea de visión hasta el barco. Se dibuja con vértice en la cima, entre la línea horizontal de trazos y el segmento cima-barco, y se rotula $64^{\circ }$. Por ser ángulos alternos internos, es igual al ángulo que forma la línea de visión con el suelo en el barco.

b) En el triángulo rectángulo cima-base-barco, el ángulo en el barco es $64^{\circ }$, el cateto opuesto es la altura $142$ m y el cateto adyacente es $x$.

1. $\tan 64^{\circ }=\frac{142}{x}$.
2. $x=\frac{142}{\tan 64^{\circ }}\approx 69,258$ m (CPG en grados).

Resultado: $x\approx 69,3$ m

c) En el triángulo rectángulo cima-base-boya, un cateto es la altura $142$ m y el otro es la distancia horizontal hasta la boya, $x+100$ (el barco está a 100 m de la boya).

1. $x+100\approx 169,258$ m (sin redondear).
2. Teorema de Pitágoras: $d^2=142^2+169,258^2=20164+28648,9\approx 48813$.
3. $d=\sqrt{48813}\approx 220,9$ m.

Resultado: $d\approx 221$ m

Resultado: a) ángulo de $64^{\circ }$ entre la horizontal desde la cima y la visual al barco; b) $x\approx 69,3$ m; c) $d\approx 221$ m

a) El ángulo de elevación de C desde B es el que forma la horizontal por B con el segmento BC.

1. Desnivel entre B y C: $16-4=12$ m. Distancia horizontal: $9$ m.
2. En el triángulo rectángulo, $\tan \theta =\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$.
3. Con la CPG en grados: $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53,13^{\circ }$.

Resultado: $\theta \approx 53,1^{\circ }$

b) La escalera (hipotenusa de $30$ m) forma con la horizontal el ángulo máximo de $70^{\circ }$. La altura que sube sobre su base es el cateto opuesto a ese ángulo.

1. $\sin 70^{\circ }=\frac{h}{30}$, luego $h=30\sin 70^{\circ }\approx 28,19$ m.
2. La base está a $4$ m del suelo, así que la altura sobre el suelo es $4+28,19=32,19$ m.

Resultado: $\approx 32,2$ m

Resultado: a) $53,1^{\circ }$; b) $32,2$ m

Trabajamos con la calculadora en grados.

a) En el triángulo ABC, recto en B, el lado $AC$ es la hipotenusa y $BC=5,45$ m es el cateto opuesto al ángulo $\widehat{CAB}=76^{\circ }$.

1. $\sin 76^{\circ }=\frac{BC}{AC}=\frac{5,45}{AC}$.
2. $AC=\frac{5,45}{\sin 76^{\circ }}=5,6168\dots \approx 5,62$ m.

Resultado: $AC\approx 5,62$ m

b) El triángulo TRS es rectángulo en R, así que sus catetos RS y RT son base y altura.

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}RS\cdot RT$, es decir, $10,7=\frac{1}{2}\cdot 2,80\cdot RT=1,4RT$.
2. $RT=\frac{10,7}{1,4}=7,6428\dots \approx 7,64$ m.

Resultado: $RT\approx 7,64$ m

c) En el triángulo TRS, $RT$ es el cateto opuesto al ángulo $\widehat{RST}$ y $RS$ el adyacente.

1. $\tan \widehat{RST}=\frac{RT}{RS}=\frac{7,6428\dots }{2,80}=2,7295\dots$
2. $\widehat{RST}={\tan }^{-1}(2,7295\dots )=69,879{\dots }^{\circ }\approx 69,9^{\circ }$.

Resultado: $\widehat{RST}\approx 69,9^{\circ }$

Resultado: a) $\approx 5,62$ m; b) $\approx 7,64$ m; c) $\approx 69,9^{\circ }$

a) (i) La altura del edificio es el lado vertical $TB$: se escribe «80 m» junto a $TB$.

(ii) El ángulo de depresión es el que forma la línea de visión con la horizontal que sale de $T$, por debajo de esa horizontal. Se dibuja en $T$ una recta horizontal hacia la derecha (paralela a $BC$) y se marca $30^{\circ }$ entre esa horizontal y el segmento $TC$. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas, también $T\hat{C}B=30^{\circ }$.

Resultado: $TB=80$ m; ángulo de depresión de $30^{\circ }$ entre la horizontal por $T$ y $TC$

b) En el triángulo rectángulo $TBC$ (recto en $B$), $TB=80$ m es el cateto opuesto al ángulo $T\hat{C}B=30^{\circ }$ y $BC$ es el cateto adyacente. Usamos la tangente.

1. $\tan 30^{\circ }=\frac{TB}{BC}=\frac{80}{BC}$.
2. $BC=\frac{80}{\tan 30^{\circ }}$.
3. Con la CPG en grados: $BC\approx 138,56$ m.

Resultado: $BC\approx 139$ m

c) El valor real es $138,56$ m y la estimación de Fabián es $150$ m.

1. Error absoluto: $150-138,56=11,44$ m.
2. Error porcentual: $\frac{11,44}{138,56}\cdot 100\approx 8,25\%$.

Resultado: error $\approx 8,25\%$

Resultado: a) $TB=80$ m y ángulo de depresión $30^{\circ }$ marcados; b) $BC\approx 139$ m; c) $\approx 8,25\%$

Con la CPG en modo grados.

a) En el triángulo rectángulo $GAH$, respecto del ángulo de $20^{\circ }$ en $G$, $AH=350$ es el cateto opuesto y $GH$ el cateto contiguo. Usamos la tangente.

1. $\tan 20^{\circ }=\frac{350}{GH}$.
2. $GH=\frac{350}{\tan 20^{\circ }}\approx 961,6$ m.
3. Redondeamos al metro: $GH=962$ m.

Resultado: $GH=962$ m

b) El punto $T$ está en $GH$ con $GT=250$ m.

1. $TH=GH-GT=962-250=712$ m.
2. En el triángulo rectángulo $ATH$, $AH=350$ es el cateto opuesto al ángulo $A\hat{T}H$ y $TH=712$ es el contiguo: $\tan A\hat{T}H=\frac{350}{712}$.
3. $A\hat{T}H=\arctan \left(\frac{350}{712}\right)\approx 26,2^{\circ }$.

Resultado: $A\hat{T}H\approx 26,2^{\circ }$

Resultado: a) $GH=962$ m; b) $A\hat{T}H\approx 26,2^{\circ }$

a) El triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$, con hipotenusa $AC=20$ y cateto $BC=12$. Usamos Pitágoras.

1. $A{B}^2=A{C}^2-B{C}^2=20^2-12^2=400-144=256$.
2. $AB=\sqrt{256}=16$ cm.

Resultado: $AB=16$ cm

b) El triángulo $DBC$ es rectángulo en $B$. En el ángulo $\angle DCB$, el cateto opuesto es $DB$ y el adyacente es $BC=12$.

1. $\tan \angle DCB=\frac{DB}{BC}=0,6$.
2. $DB=0,6\cdot 12=7,2$ cm.

Resultado: $DB=7,2$ cm

c) El triángulo $ADC$ tiene como base $AD$ y como altura $CB=12$ (perpendicular a $AB$, que contiene a $AD$).

1. $AD=AB-DB=16-7,2=8,8$ cm.
2. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 8,8\cdot 12=52,8{\text{cm}}^2$.

Resultado: área $=52,8{\text{cm}}^2$

Resultado: a) $16$ cm; b) $7,2$ cm; c) $52,8{\text{cm}}^2$

a) $1\text{km}=1000$ m.

1. $1,38\cdot 1000=1380$ m.

Resultado: $1380$ m

b) En el triángulo rectángulo, la base ($1380$ m) es el cateto adyacente al ángulo de $28,3^{\circ }$ y la altura $h$ del precipicio es el cateto opuesto. Usamos la tangente, con la calculadora en grados.

1. $\tan 28,3^{\circ }=\frac{h}{1380}$.
2. $h=1380\cdot \tan 28,3^{\circ }=743,05\dots$ m.
3. Redondeamos al metro: $h=743$ m.

Resultado: $h\approx 743$ m

c) El porcentaje de error compara la diferencia con el valor real.

1. Error $=\frac{|743-718|}{718}\cdot 100$.
2. $=\frac{25}{718}\cdot 100=3,48\dots \%$.

Resultado: $3,48\%$

Resultado: a) $1380$ m; b) $743$ m; c) $3,48\%$

a) (i) Diagrama.

1. Dibujamos un triángulo rectángulo: ponemos $B$ abajo a la izquierda, $A$ justo encima de $B$ y $C$ a la derecha de $B$, en la misma horizontal.
2. Marcamos el ángulo recto de $90^{\circ }$ en $B$, el ángulo de $60^{\circ }$ en $C$ y rotulamos el lado $AB$ con $7,3$ cm.

(ii) El triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$. Respecto al ángulo $C=60^{\circ }$, $AB$ es el cateto opuesto y $BC$ el cateto adyacente.

1. $\tan 60^{\circ }=\frac{AB}{BC}=\frac{7,3}{BC}$.
2. Despejamos: $BC=\frac{7,3}{\tan 60^{\circ }}\approx 4,21$ cm.

Resultado: $BC\approx 4,21$ cm

b) (i) Diagrama.

1. Prolongamos la recta $AC$ más allá de $C$, hacia abajo y a la derecha, y marcamos el punto $D$ en esa prolongación.
2. Unimos $B$ con $D$ y marcamos en $D$ el ángulo de $20^{\circ }$ entre $DC$ y $DB$.

(ii) En el triángulo $BCD$, el ángulo $A\hat{C}B=60^{\circ }$ es un ángulo exterior, porque $D$ está en la prolongación de $AC$. Un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

1. $A\hat{C}B=C\hat{D}B+C\hat{B}D$, es decir, $60^{\circ }=20^{\circ }+C\hat{B}D$.
2. $C\hat{B}D=60^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }$.

Comprobación: el ángulo interior en $C$ del triángulo $BCD$ es $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, y $120^{\circ }+20^{\circ }+40^{\circ }=180^{\circ }$.

Resultado: $C\hat{B}D=40^{\circ }$

Resultado: a) (ii) $BC\approx 4,21$ cm; b) (ii) $C\hat{B}D=40^{\circ }$

a) $AC$ es vertical y $AB$ forma $5^{\circ }$ con la horizontal (el suelo horizontal pasa por $A$).

1. La vertical y la horizontal forman $90^{\circ }$.
2. $\widehat{BAC}=90^{\circ }-5^{\circ }=85^{\circ }$.

Resultado: $\widehat{BAC}=85^{\circ }$

b) En el triángulo $ABC$ conocemos $AB=8$ m, $AC=6$ m y el ángulo entre ellos, $85^{\circ }$. Usamos el teorema del coseno.

1. $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 85^{\circ }$.
2. $B{C}^2=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 85^{\circ }=100-96\cos 85^{\circ }\approx 91,633$.
3. $BC\approx 9,5725$ m $\approx 9,57$ m.

Resultado: $BC\approx 9,57$ m

c) Usamos el teorema del seno en el triángulo $ABC$. El lado $AC=6$ es opuesto al ángulo $\widehat{CBA}$ y el lado $BC=9,5725$ es opuesto al ángulo de $85^{\circ }$.

1. $\frac{\sin \widehat{CBA}}{AC}=\frac{\sin 85^{\circ }}{BC}$, es decir, $\sin \widehat{CBA}=\frac{6\sin 85^{\circ }}{9,5725}\approx 0,6244$.
2. Con la CPG en grados: $\widehat{CBA}={\sin }^{-1}(0,6244)\approx 38,64^{\circ }$.
3. Como $\widehat{CBA}$ es opuesto al lado menor ($6<9,57$), es agudo y no hay ambigüedad.
4. Con 3 cifras significativas, $\widehat{CBA}\approx 38,6^{\circ }$.

Resultado: $\widehat{CBA}\approx 38,6^{\circ }$

Resultado: a) $85^{\circ }$; b) $BC\approx 9,57$ m; c) $\widehat{CBA}\approx 38,6^{\circ }$

a) Conocemos dos lados (AB y BC) y el ángulo comprendido entre ellos ($\widehat{ABC}=52^{\circ }$), así que usamos el teorema del coseno para el lado opuesto AC.

1. $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 52^{\circ }=79^2+62^2-2\cdot 79\cdot 62\cos 52^{\circ }$.
2. $A{C}^2=6241+3844-9796\cos 52^{\circ }=10085-6031,1\dots \approx 4053,9$.
3. Con la CPG (en grados): $AC=\sqrt{4053,9}\approx 63,67$ km.

Resultado: $AC\approx 63,7$ km

b) Área con dos lados y el ángulo comprendido: $A=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin \widehat{ABC}$.

1. $A=\frac{1}{2}\cdot 79\cdot 62\cdot \sin 52^{\circ }=2449\sin 52^{\circ }$.
2. $A\approx 1929,8$ km${}^2$.

Resultado: $A\approx 1930{\text{km}}^2$

Resultado: a) $AC\approx 63,7$ km; b) $A\approx 1930{\text{km}}^2$

Trabajamos con la calculadora en grados.

a) Conocemos el lado $AB=5$ cm, opuesto al ángulo $\widehat{ACB}=120^{\circ }$, y queremos $BC$, opuesto al ángulo $\widehat{BAC}=34^{\circ }$. Usamos el teorema del seno.

1. $\frac{BC}{\sin 34^{\circ }}=\frac{5}{\sin 120^{\circ }}$.
2. $BC=\frac{5\sin 34^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=3,2285\dots \approx 3,23$ cm.

Resultado: $BC\approx 3,23$ cm

b) Usamos el área con dos lados y el ángulo comprendido. Los lados $AB$ y $BC$ forman el ángulo $\widehat{ABC}=26^{\circ }$.

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 26^{\circ }$.
2. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 3,2285\dots \cdot \sin 26^{\circ }=3,538\dots \approx 3,54$ cm${}^2$.

Resultado: área $\approx 3,54$ cm${}^2$

Resultado: a) $BC\approx 3,23$ cm; b) $\approx 3,54$ cm${}^2$

Trabajamos con la calculadora en grados.

a) Conocemos dos lados, $MB=1650$ km y $MP=1500$ km, y el ángulo comprendido $\widehat{BMP}=57^{\circ }$. Usamos el teorema del coseno.

1. $B{P}^2=M{B}^2+M{P}^2-2\cdot MB\cdot MP\cdot \cos 57^{\circ }$.
2. $B{P}^2=1650^2+1500^2-2\cdot 1650\cdot 1500\cdot \cos 57^{\circ }=2276536,8\dots$
3. $BP=\sqrt{2276536,8\dots }=1508,8\dots \approx 1510$ km.

Resultado: $BP\approx 1510$ km

b) Área con dos lados y el ángulo comprendido:

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}MB\cdot MP\cdot \sin 57^{\circ }$.
2. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 1650\cdot 1500\cdot \sin 57^{\circ }=1037854,8\dots \approx 1040000$ km${}^2$.

Resultado: área $\approx 1040000$ km${}^2$

Resultado: a) $\approx 1510$ km; b) $\approx 1040000$ km${}^2$

a) M es el punto medio de AB, así que $MB=AM$.

1. $AM=10$ m.
2. Por tanto $MB=10$ m.

Resultado: $MB=10$ m

b) Los triángulos de la figura:

1. $CM=MB=10$ m (dato) y $AM=10$ m, luego $CM=AM$: el triángulo $ACM$ es isósceles con $CM=AM$.
2. En un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales: $A\hat{C}M=C\hat{A}M=55^{\circ }$.
3. Los ángulos de $ACM$ suman $180^{\circ }$: $A\hat{M}C=180^{\circ }-55^{\circ }-55^{\circ }=70^{\circ }$.
4. $A$, $M$ y $B$ están alineados, así que $A\hat{M}C+C\hat{M}B=180^{\circ }$: $C\hat{M}B=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

Resultado: $C\hat{M}B=110^{\circ }$

c) En el triángulo $CMB$ conocemos dos lados, $CM=MB=10$ m, y el ángulo comprendido entre ellos, $110^{\circ }$. Usamos el teorema del coseno.

1. $C{B}^2=C{M}^2+M{B}^2-2\cdot CM\cdot MB\cdot \cos 110^{\circ }$.
2. $C{B}^2=10^2+10^2-2\cdot 10\cdot 10\cdot \cos 110^{\circ }=200-200\cos 110^{\circ }\approx 268,4$.
3. $CB=\sqrt{268,4}\approx 16,38$ m.

Con la CPG en grados, $\cos 110^{\circ }\approx -0,3420$.

Resultado: $CB\approx 16,4$ m

Resultado: a) $MB=10$ m; b) $C\hat{M}B=110^{\circ }$; c) $CB\approx 16,4$ m

a) En el triángulo $ABC$ conocemos $AB=10$ cm y los ángulos $A\hat{B}C=100^{\circ }$ y $A\hat{C}B=50^{\circ }$. Queremos $AC$, que es el lado opuesto al ángulo en $B$, mientras que $AB$ es el lado opuesto al ángulo en $C$. Usamos el teorema del seno.

1. $\frac{AC}{\sin 100^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 50^{\circ }}$.
2. $AC=\frac{10\cdot \sin 100^{\circ }}{\sin 50^{\circ }}$.
3. Con la CPG en grados: $AC=\frac{10\cdot 0,98481}{0,76604}\approx 12,86$ cm.

Resultado: $AC\approx 12,9$ cm

b) En el triángulo $ACD$ conocemos los tres lados: $AC\approx 12,856$ cm (sin redondear), $AD=12$ cm y $CD=7$ cm. El ángulo $A\hat{D}C$ es el opuesto a $AC$, así que usamos el teorema del coseno.

1. $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos A\hat{D}C$.
2. $\cos A\hat{D}C=\frac{12^2+7^2-A{C}^2}{2\cdot 12\cdot 7}=\frac{144+49-165,27}{168}\approx 0,1650$.
3. $A\hat{D}C={\cos }^{-1}(0,1650)\approx 80,5^{\circ }$.

Resultado: $A\hat{D}C\approx 80,5^{\circ }$

Resultado: a) $AC\approx 12,9$ cm; b) $A\hat{D}C\approx 80,5^{\circ }$

a) En el triángulo $ADC$ conocemos $AD=6$ m, $DC=10$ m y el ángulo comprendido $A\hat{D}C=120^{\circ }$. Teorema del coseno:

1. $A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos 120^{\circ }$.
2. $A{C}^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot (-0,5)=136+60=196$.
3. $AC=\sqrt{196}=14$ m.

Resultado: $AC=14$ m

b) En el triángulo $ABC$ conocemos $AC=14$ m (opuesto a $B$, que mide $40^{\circ }$) y $AB=13$ m (opuesto a $C$). Teorema del seno:

1. $\frac{\sin A\hat{C}B}{AB}=\frac{\sin A\hat{B}C}{AC}$, es decir, $\frac{\sin A\hat{C}B}{13}=\frac{\sin 40^{\circ }}{14}$.
2. $\sin A\hat{C}B=\frac{13\cdot \sin 40^{\circ }}{14}\approx 0,5969$.
3. Con la CPG en grados: $A\hat{C}B={\sin }^{-1}(0,5969)\approx 36,6^{\circ }$.
4. La otra solución de la ecuación sería $180^{\circ }-36,6^{\circ }=143,4^{\circ }$, pero $143,4^{\circ }+40^{\circ }>180^{\circ }$, imposible en un triángulo. Solo vale $36,6^{\circ }$.

Resultado: $A\hat{C}B\approx 36,6^{\circ }$

Resultado: a) $AC=14$ m; b) $A\hat{C}B\approx 36,6^{\circ }$

a) En el triángulo $ABC$ el lado $BC=8$ m es opuesto al ángulo $A=40^{\circ }$ y $AC$ es opuesto al ángulo $B=30^{\circ }$. Teorema del seno:

1. $\frac{AC}{\sin 30^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 40^{\circ }}$.
2. $AC=\frac{8\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 40^{\circ }}=\frac{4}{0,6428}$.
3. Con la CPG en grados: $AC\approx 6,223$ m.

Resultado: $AC\approx 6,22$ m

b) Conocemos los lados $BC=8$ m y $AC\approx 6,223$ m con el ángulo comprendido $A\hat{C}B=110^{\circ }$.

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin 110^{\circ }$.
2. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6,223\cdot 0,9397\approx 23,39$ m${}^2$.

Resultado: área $\approx 23,4$ m${}^2$

Resultado: a) $AC\approx 6,22$ m; b) $\approx 23,4$ m${}^2$

Con la CPG en modo grados.

a) En el triángulo $PQR$ conocemos dos lados, $PQ$ y $QR$, y el ángulo comprendido entre ellos, $P\hat{Q}R=102^{\circ }$. Usamos el teorema del coseno.

1. $P{R}^2=P{Q}^2+Q{R}^2-2\cdot PQ\cdot QR\cdot \cos 102^{\circ }$.
2. Sustituimos: $P{R}^2=11,1^2+7,8^2-2\cdot 11,1\cdot 7,8\cdot \cos 102^{\circ }$.
3. Como $\cos 102^{\circ }<0$, el último término suma: $P{R}^2\approx 123,21+60,84+36,00\approx 220,05$.
4. $PR=\sqrt{220,05}\approx 14,834$.

Resultado: $PR\approx 14,8$ m

b) Usamos el teorema del seno en $PQR$. El lado $PQ$ es opuesto al ángulo $P\hat{R}Q$ y $PR$ es opuesto al ángulo de $102^{\circ }$.

1. $\frac{\sin P\hat{R}Q}{PQ}=\frac{\sin 102^{\circ }}{PR}$.
2. $\sin P\hat{R}Q=\frac{11,1\cdot \sin 102^{\circ }}{14,834\dots }\approx 0,7319$.
3. $P\hat{R}Q=\arcsin (0,7319)\approx 47,05^{\circ }$.
4. No hay caso ambiguo: el triángulo ya tiene un ángulo obtuso ($102^{\circ }$), así que los otros dos son agudos.

Comprobación: el otro ángulo es $Q\hat{P}R=\arcsin \left(\frac{7,8\sin 102^{\circ }}{14,834}\right)\approx 30,95^{\circ }$ y $102^{\circ }+47,05^{\circ }+30,95^{\circ }=180^{\circ }$.

Resultado: $P\hat{R}Q\approx 47,0^{\circ }$

c) $PQ$ es vertical y el ángulo entre $QP$ (hacia abajo) y $QR$ es $102^{\circ }$. Entonces $QR$ forma con la vertical hacia arriba un ángulo de $180^{\circ }-102^{\circ }=78^{\circ }$.

1. La altura de $R$ sobre $Q$ es $QR\cdot \cos 78^{\circ }=7,8\cos 78^{\circ }\approx 1,622$ m.
2. La altura de $R$ sobre el suelo es $11,1+1,622\approx 12,722$ m.
3. La caja $W$ cuelga $6,5$ m por debajo de $R$: $h=12,722-6,5\approx 6,22$ m.

Resultado: $h\approx 6,22$ m

Resultado: a) $PR\approx 14,8$ m; b) $P\hat{R}Q\approx 47,0^{\circ }$; c) $h\approx 6,22$ m

a) Primero hallamos el tercer ángulo: la suma de los ángulos de un triángulo es $180^{\circ }$.

1. $\angle BAC=180^{\circ }-65^{\circ }-30^{\circ }=85^{\circ }$.
2. Dibujamos el triángulo $ABC$ con $AC=7$ cm, y colocamos los ángulos $A=85^{\circ }$, $B=65^{\circ }$ y $C=30^{\circ }$. El lado $AB$ está frente a $C$ y el lado $BC$ frente a $A$.
3. Las longitudes de $AB$ y $BC$ se calculan con el teorema del seno (apartado b), así que quedan escritas en el dibujo: $AB\approx 3,86$ cm y $BC\approx 7,69$ cm.

Para $BC$: $\frac{BC}{\sin 85^{\circ }}=\frac{7}{\sin 65^{\circ }}$, luego $BC=\frac{7\sin 85^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx 7,69$ cm.

Resultado: triángulo con $AC=7$ cm, $AB\approx 3,86$ cm, $BC\approx 7,69$ cm, $A=85^{\circ }$, $B=65^{\circ }$, $C=30^{\circ }$

b) El lado $AC$ (7 cm) está frente al ángulo $B=65^{\circ }$ y el lado $AB$ está frente al ángulo $C=30^{\circ }$. Usamos el teorema del seno.

1. $\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{AC}{\sin 65^{\circ }}$.
2. $AB=\frac{7\sin 30^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}$.
3. Con la CPG en grados: $AB\approx 3,86$ cm.

Resultado: $AB\approx 3,86$ cm

c) Conocemos dos lados, $AB$ y $AC$, y el ángulo que forman, $A=85^{\circ }$. Usamos $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A$.

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 3,8618\cdot 7\cdot \sin 85^{\circ }$ (usamos el valor de $AB$ sin redondear).
2. $\text{Aˊrea}\approx 13,5{\text{cm}}^2$.

Resultado: área $\approx 13,5{\text{cm}}^2$

Resultado: a) triángulo con $A=85^{\circ }$, $AB\approx 3,86$ cm, $BC\approx 7,69$ cm; b) $AB\approx 3,86$ cm; c) $13,5{\text{cm}}^2$

a) En el triángulo $ACD$ conocemos $AD=30$, $CD=80$ y el ángulo $D=60^{\circ }$ comprendido entre ellos. Usamos el teorema del coseno.

1. $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cos 60^{\circ }$.
2. $A{C}^2=30^2+80^2-2\cdot 30\cdot 80\cdot 0,5=900+6400-2400=4900$.
3. $AC=\sqrt{4900}=70$ m.

Resultado: $AC=70$ m

b) En el triángulo $ABC$ conocemos $AC=70$ m, $BC=50$ m y $\angle BAC=30^{\circ }$. El lado $BC$ está frente a $A$ y el lado $AC$ está frente a $B$. Usamos el teorema del seno.

1. $\frac{\sin B}{AC}=\frac{\sin A}{BC}$.
2. $\sin B=\frac{70\sin 30^{\circ }}{50}=0,7$.
3. $B={\sin }^{-1}(0,7)\approx 44,4^{\circ }$ (con la CPG en grados).
4. Matemáticamente existe otro ángulo con seno $0,7$, que es $180^{\circ }-44,4^{\circ }=135,6^{\circ }$. Sin embargo, en la figura el ángulo en $B$ es agudo, así que nos quedamos con $44,4^{\circ }$.

Resultado: $\angle ABC\approx 44,4^{\circ }$

Resultado: a) $AC=70$ m; b) $\angle ABC\approx 44,4^{\circ }$

Trabajamos con la calculadora en grados.

a) El segmento $BD$ separa los ángulos $A\hat{B}D$ y $D\hat{B}C$, de modo que $A\hat{B}C=A\hat{B}D+D\hat{B}C$.

1. El triángulo $ABD$ es rectángulo en $D$. La hipotenusa es $AB=9$ y el cateto opuesto a $B$ es $AD=4$.
2. Por la razón seno: $\sin A\hat{B}D=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{9}$.
3. Con la CPG: $A\hat{B}D={\sin }^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)=26,388{\dots }^{\circ }$.
4. Sumamos el ángulo dado: $A\hat{B}C=26,388{\dots }^{\circ }+100^{\circ }=126,388{\dots }^{\circ }$.

Resultado: $A\hat{B}C\approx 126^{\circ }$

b) En el triángulo $ABC$ conocemos dos lados, $AB=9$ y $BC=10$, y el ángulo comprendido entre ellos, $A\hat{B}C$. Usamos el teorema del coseno.

1. $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos A\hat{B}C$.
2. $A{C}^2=9^2+10^2-2\cdot 9\cdot 10\cdot \cos (126,388{\dots }^{\circ })=181+180\cdot 0,59325=287,78$.
3. $AC=\sqrt{287,78}=16,96\dots$ m.

Resultado: $AC\approx 17,0$ m

Resultado: a) $A\hat{B}C\approx 126^{\circ }$; b) $AC\approx 17,0$ m

a) La cerca es un lado de un triángulo cuyos otros dos vértices son el vértice inferior izquierdo del campo y el extremo del lado de $410$ m. Sus ángulos son $75^{\circ }$ (entre el lado izquierdo y la cerca) y $40^{\circ }$ (entre el lado de $410$ m y la cerca).

1. El tercer ángulo, en el vértice inferior izquierdo, es $180^{\circ }-75^{\circ }-40^{\circ }=65^{\circ }$.
2. La cerca es el lado opuesto a ese ángulo de $65^{\circ }$, y el lado de $410$ m es el opuesto al de $75^{\circ }$. Teorema del seno: $\frac{\text{cerca}}{\sin 65^{\circ }}=\frac{410}{\sin 75^{\circ }}$.
3. $\text{cerca}=\frac{410\cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}$.
4. Con la CPG en grados: $\text{cerca}\approx 384,7$ m, es decir, $385$ m.

Resultado: la cerca mide aproximadamente $385$ m

b) El triángulo $ABC$ tiene lados $AC$ (la cerca, de la parte a) y $BC=245$ m, con el ángulo entre ambos $A\hat{C}B=24^{\circ }$. Usamos la fórmula del área con dos lados y el ángulo que forman.

1. $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot \sin 24^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 384,69\cdot 245\cdot \sin 24^{\circ }$.
2. Con la CPG en grados: $\text{Aˊrea}\approx 19168{\text{m}}^2$.
3. Con 3 cifras significativas: $19200{\text{m}}^2$.